linear_algebra_2

Определители квадратных матриц

Свяжем с каждой квадратной матрицей A число, вычисляемое по определенному правилу. Назовем это число определителем матрицы и обозначим его jAj èëè .

Определение 1.10

Определителем матрицы первого порядка A = [a11] назовем число

называется число

jAj = a11a22a33 +a12a23a31 +a21a32a13 a31a22a13 a12a21a33 a32a23a11:

Из структуры формулы видно, что в каждое слагаемое в правой части входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Эту формулу несложно запомнить, если воспользоваться правилом треугольников. Берутся произведения элементов, соединенных линиями. На рисунке слева линиями

указаны элементы, которые следует взять со знаком "+\, справа со знаком " \.

Пример

Найти определитель матрицы A = 13 24 . Определитель равен

jAj = 1 2 = 1 4 2 3 = 2:

3 4

Пример

2 3

1 2 3 Найти определитель матрицы A = 44 5 65.

7 8 9

Определитель равен

1 2 3

jAj = 4 5 6 = 1 5 9 + 2 6 7 + 4 8 3 7 5 3 2 4 9 8 4 3 = 0:

7 8 9

Пример

0 1 0 =1 1 1 + 0 0 0 + 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 = 1:

0 0 1

В дальнейшем мы покажем, что определитель единичной матрицы любого размера равен 1.

Пример

Как мы можем видеть, определитель данной треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. В дальнейшем мы покажем, что это справедливо для любой треугольной матрицы.

Для того чтобы ввести понятие определителя более высокого порядка, нам потребуются некоторые дополнительные понятия.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка :

Из общего числа n2 элементов этой матрицы выберем набор, содержащий n элементов, таким образом, чтобы в него входило по одному элементу из каждой строки и каждого столбца. Например, набор элементов (a11a22 ann) или (an1an 1;2 a1n) соответственно главной или побочной диагоналей матрицы.

Любой такой набор можно упорядочить, записав сначала элемент из 1-й строки, затем из 2-й и т.д., т.е.

(a1j1 ; a2j2 ; ; anjn ):

Номера столбцов (j1; j2; ; jn) образуют при этом перестановку J из n чисел : 1,2, ,n. Всего существует n! различных перестановок из n натуральных чисел.

Определение 1.11

Инверсией в перестановке J называется наличие пары чисел, в которой большее число предшествует меньшему. Обозначим через r (J)

количество инверсий в перестановке J.

Пример

Пусть дана перестановка из трех чисел J = (3; 2; 1). Вычислить число инверсий r(J).

В перестановке имеется три инверсии (3; 2), (3; 1) è (2; 1). Ýòî çíà- ÷èò, ÷òî r(J) = 3.

Определение 1.12

Определителем квадратной матрицы n-го порядка называется число, равное алгебраической сумме n! членов, каждый из которых явля-

ется произведением n элементов матрицы, взятых по одному из каж-

дой строки и каждого столбца, причем знак каждого члена определяется как ( 1)r(J), ãäå r (J) число инверсий в перестановке J из

номеров столбцов элементов матрицы, если при этом номера строк запмсаны в порядке возрастания :

a11 a12 ::: a1n

Пример

определитель третьего порядка :

jAj = ( 1)0a11a22a33 + ( 1)2a12a23a31 + ( 1)2a13a21a32+ + ( 1)3a13a22a31 + ( 1)1a12a21a33 + ( 1)1a11a23a32:

На практике для вычисления определителей высоких порядков используют другие формулы. Для их рассмотрения необходимо ввести новые понятия.

Определение 1.13

Пусть дана квадратная матрица A n-го порядка. Минором M ij элемента aij матрицы n-го порядка называется определитель матрицы (n 1)-го порядка, полученной из матрицы A вычеркиванием i-й стро-

ки и j-го столбца.