linear_algebra_2
.pdf
5. (AB) 1 = B 1A 1.
Умножим обе матрицы слева на матрицу AB :
AB (AB) 1 = E ; A B B 1 A 1 = E :
Утверждение теперь следует из единственности обратной матрицы.
Пример
Найти матрицу, обратную к матрице поворота
A = |
cos( ) |
sin( ) |
: |
|
sin( ) |
cos( ) |
|
1) Найдем определитель : jAj = 1. Следовательно, обратная матрица
существует.
2) Найдем транспонированную к A матрицу AT :
AT = |
cos( ) |
sin( ) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
sin( ) |
cos( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
() |
|
|
|
|
|
15 февраля 2012 г. 51 / 82 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) Находим алгебраические дополнения к элементам матрицы AT :
T |
= cos( ); |
AT |
= |
sin |
T |
= |
sin |
( ); |
AT |
= |
cos |
( ): |
A11 |
12 |
|
( ); A21 |
|
22 |
|
Записываем присоединенную матрицу :
|
|
|
|
|
AP = |
|
cos( ) |
sin( ) : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin( ) |
cos( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) Вычислим обратную матрицу : |
|
cos( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
A |
|
= jAjAP |
= |
sin( ) |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
cos( ) |
sin( ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Сделаем проверку : |
|
|
cos( ) |
sin( ) |
cos( ) |
|
|
0 |
1 |
|
|
|
||||||||||||||||
A |
|
A = |
sin( ) |
|
= |
= E : |
||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
cos( ) |
|
|
sin( ) |
|
cos( ) |
sin( ) |
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
() |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 февраля 2012 г. 52 / 82 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Мы видим, что для вычисления обратной к матрице поворота нуж- 
но угол заменить на противоположный.
Пример
Найти матрицу, обратную к данной :
A = |
22 |
1 |
13 |
: |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
4 |
|
5 |
|
11 2
1.Найдем определитель : jAj = 5. Таким образом, матрица A невы-
рожденная, и обратная матрица A1 существует. 2. Найдем матрицу AT , транспонированную к A :
23
|
1 |
2 |
1 |
|
T |
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|||
A = 4 1 |
1 |
25 |
: |
|
3. Найдем присоединенную матрицу AP , учитывая, что AT = Aji :
ij
() |
|
15 февраля 2012 г. |
53 / 82 |
AP = |
2 |
3 |
1 |
13 |
: |
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
4 1 |
2 |
35 |
|
|
4. Вычислим обратную матрицу A 1 = jA1j AP :
A 1 = |
1 |
2 3 |
1 |
13 |
: |
|
|
1 |
3 |
2 |
|
|
|
4 |
|
5 |
|
51 2 3
Пример
Решить уравнение относительно неизвестной матрицы X :
|
2 |
0 , B = |
1 |
A X + B = 0; |
||||||||||||
ãäå A = |
2 . |
|||||||||||||||
|
1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
() |
|
|
|
|
|
15 февраля 2012 г. 54 / 82 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычтем из обеих частей уравнения матрицу B :
A X = B:
Теперь умножим обе части уравнения слева на матрицу A 1 :
A 1 |
|
A |
|
X = |
|
A 1 |
|
B = |
X = A 1 |
|
B: |
|
|
|
|
) |
|
|
Чтобы решить уравнение нам остается найти обратную матрицу A 1.
Мы не будем приводить вычисления. Просто проверим, что матрица
|
|
|
|
|
A |
|
= 2 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
является обратной к A : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
A = |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A |
|
2 |
2 |
1 |
2 |
0 |
= 0 |
|
1 : |
||||||||||||
Таким образом решением уравнения является матрица |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
() |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 февраля 2012 г. 55 / 82 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X = A |
|
B = 2 |
2 |
1 |
|
1 |
2 |
= |
2 |
5 |
4 |
: |
|
1 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
Матрицы элементарных преобразований
Определение 1.17
Матрицами элементарных преобразований называются матрицы следующих трех типов :
1. любая матрица, полученная из единичной матрицы перестановкой любых двух строк или столбцов. Например матрица
() |
|
15 февраля 2012 г. |
56 / 82 |
2 3
1 0 0
I23 = 40 0 15;
0 1 0
которая получается из единичной перестановкой второй и третьей строк; 2. любая матрица, полученная из единичной заменой любого диаго-
нального элемента на любое действительное число, отличное от нуля, например
23
1 0 0
II22 = 40 a 05;
0 0 1
ãäå a 6= 0;
3. любая матрица, отличающаяся от единичной наличием одного внедиагонального элемента, отличного от нуля, например
() |
|
15 февраля 2012 г. |
57 / 82 |
2 3
1 0 0
III23 = 40 1 a5;
0 0 1
ãäå a 6= 0.
Элементарные преобразования матрицы
Определение 1.18
Элементарными преобразованиями назовем такие преобразования строк матрицы A, которые возникают при умножении матрицы A слева на элементарную матрицу.
1. Умножение матрицы A на матрицу Iij слева переставляет строки i и j, например
I23 A = |
20 |
0 |
13 2a21 |
a22 |
a233 |
= |
2a31 |
|
a32 |
|
a333 |
: |
|
|
||||
|
1 |
0 |
0 |
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
a11 |
|
a12 |
|
a13 |
|
|
|
||
|
40 |
1 |
05 4a31 |
a32 |
a335 |
|
4a21 |
|
a22 |
|
a235 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
() |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 февраля 2012 г. 58 / 82 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Умножение матрицы A на матрицу Iii слева равносильно умножению i-й строки матрицы на число a, например
II22 A = |
20 |
a 03 2a21 |
a22 |
a233 |
= |
2a a a21 a a22 |
|||
|
1 |
0 |
0 |
a11 |
a12 |
a13 |
|
11 |
a12 |
|
40 |
0 |
15 4a31 |
a32 |
a335 |
|
4 a31 |
a32 |
|
3
a13
a a235:
a33
3. Умножение матрицы A слева на матрицу IIIij равносильно прибавлению к i-й строке j-й строки, умноженной на b, например
III23 A = |
20 |
1 |
b3 2a21 |
a22 |
a23 |
3 |
= |
|
|
1 |
0 |
0 |
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
40 |
0 |
15 4a31 |
a32 |
a335 |
|
||
= |
2a21 + b a31 a22 + b a32 a23 + b a333 |
: |
|
|
||||||||||
|
4 |
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
||||||
|
a31 |
a32 |
a33 5 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
() |
|
|
|
|
15 февраля 2012 г. 59 / 82 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примечание 5
Элементарные матрицы всех трех типов являются невырожденными.
Примечание 6
Ни одно из элементарных преобразований не может превратить невырожденную матрицу в вырожденную.
Теорема 1.3 (об умножении матрицы на матрицы элементарных преобразований)
Любая невырожденная матрица A путем умножения на матрицы элементарных преобразований E1; E2; :::; Ek может быть сведена к еди-
ничной, т.е. найдутся такие матрицы элементарных преобразований E1; E2; :::; Ek , ÷òî
Ek Ek 1 ::: E2 E1 A = E :
() |
|
15 февраля 2012 г. |
60 / 82 |