называется равносторонней. Ее каноническое уравнение имеет вид

3. Парабола.

Параболой γ называется множество всех точек плоскости,

расстояние от каждой из которых до данной точки F равно расстоянию до данной прямой d , не проходящей через точку F . Точка F называется фокусом параболы, а прямая d – ее директрисой. Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметром параболы и обозначается через p .

d

y

M (x, y)

x

F

Рис. 3

Найдем уравнение параболы в декартовой системе координат Oxy . Пусть O – середина отрезка FD , где D – ортогональная проекция точки F на прямую d . В этой системе координат фокус F

Расстояния от точки M до фокуса F и директрисы d вычисляются

определения параболы следует равенство:

Возводя обе части этого равенства в квадрат, получим следующее уравнение

Доказали, что точки параболы удовлетворяют уравнению (7). Как обычно, докажем обратное: точка M , координаты которой удовлетворяют уравнению (7), принадлежит параболе. В самом деле, подставим выражение (7) в формулу расстояния FM , получаем:

Следовательно, FM = ρ(M , d) , т.е M (x, y) γ . Уравнение (7)

называется каноническим уравнением параболы.

Из уравнения (7) следуют следующие свойства параболы. Все точки параболы принадлежат полуплоскости, определяемой неравенством x ≥ 0 . Так как переменная y входит в уравнение (7) во второй степени, то из того, что M (x0 , y0 ) γ следует, что

M (x0 , − y0 ) γ . Следовательно, парабола симметрична относительно

оси OF . Точка O пересечения этой оси с параболой называется

вершиной параболы.

По определению считают, что эксцентриситет параболы ε =1.

4. Пара пересекающихся прямых.

Рассмотрим линию второго порядка, заданную уравнением

распадается на пару пересекающихся прямых (рис. 4). Эти прямые проходят через начало координат. Оси координат являются осями симметрии пары прямых, а начало координат – их центром симметрии.

распадается на пару параллельных прямых (рис. 5). Эти прямые отстоят на одинаковом расстоянии от оси ox , следовательно, ось ox является их осью симметрии.

6. Пара совпавших прямых.

Рассмотрим линию второго порядка, заданную уравнением

y2 = 0 . (10)

Уравнение (10) распадается на пару совпавших прямых y = 0 .

7. Мнимый эллипс.

Кривая второго порядка, которая задается уравнением вида

где a > 0,b > 0 , не имеет ни одной вещественной точки и называется

мнимым эллипсом. Этому уравнению удовлетворяют лишь точки с комплексными координатами.