Примеры линий второго порядка
1. Эллипс.
Эллипсом γ называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2
равна длине данного отрезка [PQ], причем PQ > F1 F2 . Точки F1 и F2
называются фокусами эллипса, а расстояние между ними –
фокальным расстоянием.
Если M γ , то отрезки [F1 M ] и [F2 M ] называются фокальными радиусами точки M . Фокальными радиусами называют обычно и длины этих отрезков. Обозначим F1 F2 = 2c , PQ = 2a . В силу определения эллипса a > c .
|
y |
|
M (x, y) |
F1 O |
x |
F2 |
|
Рис. 1 |
|
Выведем уравнение эллипса. Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат Oxy , в которой фокусы F1 и F2
расположены на оси абсцисс симметрично относительно начала координат. Тогда F1 и F2 имеют координаты (−c, 0) и (c, 0) ,
соответственно. Пусть M (x, y) – произвольная |
точка |
эллипса γ , |
тогда фокальные радиусы этой точки равны |
F M = |
(x + c)2 + y2 , |
|
1 |
|
F M = |
(x −c)2 |
+ y2 |
. Из определения эллипса следует |
равенство |
2 |
|
|
|
|
F1 M + F2 M = 2a , поэтому получаем следующее уравнение |
|
|||
|
|
|
(x −c)2 + y2 + (x + c)2 + y2 = 2a . |
(2) |
Возведем обе части равенства (2) в квадрат, после несложных преобразований получим
x2 − 2xc + c2 + y2 |
x2 + 2xc + c2 + y2 = 2a2 − x2 −c2 − y2 . |
|||
Обозначим |
p = x2 + y2 |
+ c2 , с |
учетом |
введенного обозначения |
последнее |
равенство |
примет |
вид |
p − 2xc p + 2xc = 2a2 − p . |
Возведем полученное равенство в квадрат, после несложных
преобразований с учетом обозначения для |
p получим следующее |
||||
равенство |
|
|
|
|
|
(a2 |
−c2 )x2 |
+ a2 y2 |
= (a2 |
−c2 )a2 . |
(3) |
Выражение a2 −c2 > 0, |
так |
как |
a > c . |
Поэтому |
обозначим |
a2 −c2 = b2 . С учетом введенного обозначения равенство (3) примет вид b2 x2 + a2 y2 = a2b2 . Разделим обе части этого равенства на a2b2 ,
получим уравнение
x2 |
+ |
y2 |
=1. |
(4) |
|
a2 |
b2 |
||||
|
|
|
Значит, если точка принадлежит эллипсу, то ее координаты должны удовлетворять уравнению (4). Докажем теперь обратное. Пусть координаты произвольной точки M (x, y) удовлетворяют уравнению
(4). Тогда фокальные радиусы этой точки вычисляются по формулам:
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
x2 |
|
|
F1 M |
|
= (x + c) |
|
+ y |
|
= (x + c) |
|
+b |
1 |
− |
|
|
, |
|
|
|
|
a2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
2 |
2 |
|
|
x2 |
|
|
F2 M |
|
= (x −c) |
|
+ y |
|
= (x −c) |
|
+b |
1 |
− |
|
|
. |
|
|
|
|
a2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых, найдем:
F M = |
|
a + |
c |
x |
|
, |
F M = |
|
a − |
c |
x |
|
. Из уравнения (4) следует, что |
|
x |
|
≤ a , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
a |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
c |
x |
|
< a , |
|
||||||||
и справедливо |
0 < |
<1, |
|
то |
|
|
|
|
<1. |
Следовательно, |
|
|
т.е. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||
− a < |
c |
x < a . |
Значит, |
a − |
c |
x > 0 |
и |
a + |
c |
x > 0 . |
Поэтому |
в |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
выражениях для фокальных радиусов модуль можно убрать:
F1 M = a + ac x , F2 M = a − ac x . Следовательно, F1 M + F2 M = 2a . Это означает, что точка M (x, y) удовлетворяет уравнению эллипса, а
значит принадлежит ему. Итак, уравнение (4) является уравнением эллипса. Оно называется каноническим уравнением эллипса. Из канонического уравнения эллипса следует, что если точка с координатами (x0 , y0 ) принадлежит эллипсу, т.е. выполняется
равенство |
x0 |
2 |
+ |
y0 |
2 |
=1, то и точки с координатами (−x0 , y0 ) , |
|
a2 |
b2 |
||||||
|
|
|
|||||
(x0 , − y0 ) , (−x0 , − y0 ) также удовлетворяют уравнению эллипса, так как переменные x , y входят в уравнение эллипса во второй степени.
Это означает, что эллипс симметричен относительно осей координат и начала координат. Прямая Ox , проходящая через фокусы, называется первой или фокальной осью, а перпендикулярная ей ось
Oy – второй осью симметрии. Точка |
O |
является |
центром |
|||||||||||||||||||
симметрии эллипса или просто центром эллипса. Точки |
A1 (a, 0) , |
|||||||||||||||||||||
|
A2 (−a, 0) , |
B1 (0,b) , B2 (0, −b) |
|
пересечения |
эллипса с его осями |
|||||||||||||||||
называются вершинами эллипса. Отрезки [A1 A2 ]и [B1 B2 ]называются |
||||||||||||||||||||||
соответственно |
большой |
и |
|
малой |
осями эллипса. |
|
|
Числа |
||||||||||||||
a = OA1 |
= OA2 , b = OB1 = OB2 называются соответственно большой и |
|||||||||||||||||||||
малой полуосями эллипса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Из канонического уравнения эллипса также следует, что |
|||||||||||||||||
координаты (x, y) точки M γ |
удовлетворяют неравенствам |
|
x |
|
≤ a , |
|||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
y |
|
≤ b . |
Докажем, |
например, |
|
первое соотношение. |
Из уравнения |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
эллипса следует, |
что |
x2 |
=1 − |
y2 |
|
≤1, то есть |
x2 ≤ a2 , |
следовательно, |
||||||||||||||
a2 |
b2 |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
≤ a . |
Второе |
неравенство |
|
доказывается аналогично. Итак, |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
−a ≤ x ≤ a , |
−b ≤ y ≤b . |
Это |
означает, |
что все |
точки |
эллипса |
||||||||||||||||
принадлежат прямоугольнику, который определяется системой этих неравенств.
Эксцентриситетом эллипса называется отношение его фокального расстояния к большой полуоси. Для эллипса это число
ε = |
c |
. Так как |
a > c , |
то |
0 ≤ε <1. Вычислим отношение |
b |
через |
||||||
a |
a |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
эксцентриситет: |
|
b |
= |
a2 |
−c2 |
= |
|
. Отсюда следует, что среди |
|||||
|
1 −ε2 |
||||||||||||
|
a |
a2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
эллипсов, имеющих одну и ту же большую полуось, но разные эксцентриситеты, более продолговатым является тот, у которого эксцентриситет больше.