Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Ответ: x 2 y 3z 3 0.

Пример 2. Основанием перпендикуляра, опущенного из начала

координат на плоскость , является точка M 0 (2, 1, 1) . Найти уравнение плоскости .

Решение. Вектор OM 0 является нормалью к плоскости . Точка М0

принадлежит плоскости. Можно воспользоваться уравнением плоскости,

проходящей через заданную точку (3):

	OM 0	n	2, 1,		1 ,	M 0	2,	1, 1
	2(x	2)	1( y	1)	(z	1)	0,
	2x	y z	(	4 1	1)	0,
	2x y z 6 0.
Ответ: 2x y z 6 0.
Пример			3.	Построить				плоскость		, проходящую через	точки
M 0 (x0 , y0 , z0 ) и				M1(x1, y1, z1)				и	перпендикулярную плоскости		1 :
A1 x B1 y C1 z D1					0 .

M 0 M 1

M 0 M1

M (x, y, z)

M 0 M n,

Следовательно, чтобы некоторая точка М (x, y, z) принадлежала

плоскости

необходимо, чтобы три вектора n1, M0 M , M0 M1 были

компланарны:

y0 z1

=0.

Осталось раскрыть определитель и привести полученное выражение к виду общего уравнения (1).

Пример 4. Плоскость задана общим уравнением:

3x 4 y 12z 14 0 .
Найти отклонение точки M * 4;3;1												от заданной плоскости.
Решение. Приведем уравнение плоскости к нормальному виду.
				1					1	,
								13
32				42	12 2
32				42	12 2
	1		3x	4 y	12z			14		0 .
			3x	4 y	12z			14		0 .
13
Подставим в полученное нормальное уравнение координаты точки М*.
	1	3 4*		4 3*		12 1*				14	2 .
		3 4*		4 3*		12 1*				14	2 .
13
Ответ:					2 ,		d	2 .
Пример				5.		Пересекает					ли	плоскость	: Ax By Cz D 0	отрезок
AB: A x1; y1; z1 , B x2 ; y2 ; z2 .
Решение. Чтобы отрезок АВ пересекал плоскость, отклонения														A и B от
плоскости				должны иметь разные знаки:

sign A sign B .

Пример 6. Пересечение трех плоскостей в одной точке.

A1 x B1 y C1 z D1	A1 B1 C1
A2 x B2 y C2 z D2	A2	B2 C2	0 .
A3 x B3 y C3 z D3	A3	B3 C3

Система имеет единственное решение, следовательно, три плоскости имеют одну общую точку.

Пример 7. Нахождение биссектрис двугранного угла, образованного двумя заданными плоскостями.

1 : x cos	1
2 : x cos	2

y cos y cos

z cos z cos

1 p1 0,

2 p2 0.

Пусть 1 и 2 - отклонение некоторой точки M x; y; z от первой и второй плоскостей.

На одной из биссектральных плоскостей (отвечающей тому углу, в

котором лежит начало координат) эти отклонения равны по модулю и знаку,

а на другой – равны по модулю и противоположны по знаку.

x cos

y cos 1

z cos 1

x cos

y cos 2

z cos

- это уравнение первой биссектральной плоскости.

x cos

y cos 1

z cos 1

x cos

y cos

2 z cos

- это уравнение второй биссектральной плоскости.

Пример 8. Определение местоположения двух данных точек

и B

относительно двугранных углов, образованных данными плоскостями.

Пусть

2 .

Определить:

в одном,

в смежных или в вертикальных

углах находятся точки A и B .

Находим

и A ,

это отклонения точек А и В от

плоскостей

1 и

2 .

а). Если A и B лежат по одну сторону от

и от

2 , то они лежат

в одном двугранном углу.

б). Если A и B лежат по одну сторону от

и по разные от

2 , то

они лежат в смежных углах.

в). Если A и B лежат по разные стороны от

1 и

2 , то они лежат

в вертикальных углах.

Линии в пространстве. Прямая в пространстве........................................................................	45
Канонические уравнения прямой в пространстве ....................................................................	46
Параметрические уравнения прямой.........................................................................................	47
Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки ...................................................	47
Угол между двумя прямыми в пространстве............................................................................	48
Угол между прямой и плоскостью.............................................................................................	48
Условие принадлежности двух прямых одной плоскости .....................................................	49
Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей .........................................................	50
Примеры решения задач по теме «Аналитическая геометрия»..............................................	54

F2(x, y, z)=0 – уравнения двух поверхностей.

Линии в пространстве. Прямая в пространстве

В аналитической геометрии каждая линия рассматривается как пересечение двух поверхностей и соответственно определяется заданием

двух уравнений.

Пусть F1(x, y, z)=0 и

Система

уравнений

x, y, z 0

определяет

линию,

являющуюся

их

x, y, z

пересечением.

Следовательно, прямую L можно задать системой двух уравнений

плоскостей:

A1 x B1 y C1 z D1

(1)

A2 x B2 y C2 z D2

Это возможно только в том случае, когда плоскости не совпадают и не

параллельны, т.е. когда

нормали n 1= A1 , B1 ,C1

n 2= A2 , B2 , C2

не

коллинеарны.

Система (1) – это общее уравнение прямой в пространстве.

Через каждую прямую проходит бесконечное множество плоскостей

(пучок плоскостей).

Определение. Cовокупность всех плоскостей, проходящих через одну и

ту же прямую L, называется пучком плоскостей с центром в L.

Умножим уравнения системы (1) соответственно на коэффициенты

, одновременно не равные нулю.

A1 x

B1 y C1 z D1

A2 x

B2 y C2 z D2 0

–

уравнение плоскости,

проходящей через прямую L.

(Докажите самостоятельно аналогично доказательству для пучка прямых)

Определение. Совокупность всех плоскостей, проходящих через данную

точку M 0 (x0 y0 z0 ) , называется связкой плоскостей с центром в точке M0.

Канонические уравнения прямой в пространстве

Пусть q l, m, n– направляющий вектор прямой L, а M 0 (x0 y0 z0 ) – точка,

принадлежащая прямой. Пусть M (x, y, z) – точка с переменными координатами.

Чтобы

точка

M (x, y, z)

принадлежала

прямой

вектор

M0 M

x x0 , y

y0 , z

должен быть коллинеарным вектору q :

(2)

Уравнения (2) – это канонические уравнения прямой в пространстве.

Пусть прямая L задана общим уравнением:

A1 x B1 y C1 z	D1	0
A2 x B2 y C2 z	D2	0.

Найти канонические уравнения прямой L.

1).

Найдем точку

M 0 (x0 , y0 , z0 )

L . Для этого нужно задать одну из

координат, а две другие определить из решения системы (1).

2). Найдем направляющий вектор прямой q

l, m, n .

L n1 и L n2

q n1 и q n2

q n1 n2 .

A1 , B1 ,C1

A2 , B2 , C2

по

определению векторного

произведения

A B C

Зная координаты точки, принадлежащей прямой, и координаты ее направляющего вектора, можно составить канонические уравнения прямой в виде (2).

Параметрические уравнения прямой

Получаются из канонических уравнений прямой. Пусть

x x0	y y0	z z0	t .
l	m	n	t .
l	m	n

Тогда можно записать три уравнения:

x x0 lt

y y0 mt

(3)

z z0 nt

Система (3) – это параметрические уравнения прямой L, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 , z0 ) и имеющей направляющий вектор q l, m, n .

Параметрические уравнения прямой имеют физический смысл: они описывают движение точки вдоль заданной прямой из начального положения

M 0 (x0 , y0 , z0 ) , где l, m, n – проекции вектора скорости точки на координатные

оси.

Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть заданы две точки, лежащие на прямой: M1 (x1 , y1 , z1 ) и M 2 (x2 , y2 , z2 ) .

В качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор M1M 2 : q x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 .

Подставляем в канонические уравнения (2) координаты одной из точек,

например М1, и координаты направляющего вектора:

x	x1	y	y1	z	z1	.	(4)
						.	(4)
x2	x1	y2	y1	z2	z1

Получили уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Угол между двумя прямыми в пространстве

Определение угла между двумя прямыми сводится к определению угла между их направляющими векторами:

cos

l1l2

m1m2

n1n2

(5)

l 2

Составьте

самостоятельно

условие

параллельности

перпендикулярности прямых в пространстве.

Угол между прямой и плоскостью

Пусть заданы плоскость : Ax + By + Cz + D = 0

и прямая L:	x x0	y y0	z z0	.
и прямая L:				.
	l	m	n

Пусть - угол между нормалью к плоскости n 1= A,B,C и

направляющим вектором прямой q l, m, n . Тогда угол между плоскостью и прямой L - дополнительный к этому углу: 180 . Тогда

cos

n q

sin

(6)

A2 B 2

C 2

l 2 m2 n2

1).

Условие

параллельности

прямой и плоскости:

q n

Al Bm

Cn =0

2). Условие перпендикулярности прямой и плоскости: q || n

3). Условие принадлежности прямой плоскости. Пусть M 0 x0 , y0 , z0 –

любая точка прямой. Чтобы прямая лежала в плоскости должны выполняться

два условия:

а) направляющий вектор прямой должен быть перпендикулярен нормали

к плоскости:

Al Bm Cn =0,

б) произвольная точка прямой должна лежать в плоскости:

M 0 Ax0 By0 Cz 0 D 0 .

Условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Две прямые в пространстве могут пересекаться, быть параллельными или скрещиваться. Пусть прямые заданы каноническими уравнениями:

x x1

y y1

z z1

;

x x2

y y2

z z2

Для принадлежности прямых

и L2 одной плоскости необходимо и

достаточно, чтобы три вектора M1M 2 ,

q1 и q2

были компланарны:

x2 x1

y1 z2

0 .

(7)

Очевидно, что в этом случае прямые или параллельны, или пересекаются.

Для того чтобы прямые пересекались, нужно, чтобы выполнялось условие (7), а направляющие векторы прямых не были параллельны, то есть

нарушалось хотя бы одно из равенств:	l1	m1	n1	.
нарушалось хотя бы одно из равенств:				.
	l2	m2	n2

Некоторые задачи на построение прямых и плоскостей

Задача 1. Найти уравнение плоскости

проходящей

через точку

, y

, z

) и перпендикулярной заданной прямой

L :

z z1

Кратко:

-? : M 0

L1 .

Решение.

Т.к.

L1 , то нормалью к плоскости можно считать направляющий

вектор прямой:

= l1 , m1 , n1

. Воспользуемся уравнением плоскости,

проходящей через заданную точку.

: l1 (x x0 ) m1 ( y y0 ) n1 (z z0 ) 0 .

Задача 2. Найти уравнение плоскости

, проходящей через заданную

прямую

и точку

, y

, z

)

L .

Кратко.

-? : L1

M 0

По

условию задачи нам известны две точки, лежащие в плоскости:

M 0

x0 , y0 , z0

, M1 x1 , y1 , z1 ,

вектор

l1 , m1 , n1

параллельный

плоскости.

Произвольная точка M x, y, z

будет принадлежать плоскости,

если векторы

q, M0 M 1 , M0 M будут компланарны:

0 .

Это и есть уравнение искомой плоскости. Раскрыв определитель, можно

получить общее уравнение плоскости.

Задача 3. Построить плоскость , проходящую через две заданные

параллельные прямые L :

x x1

-?:

, L2

, L1 || L2 .

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 75 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.201515.46 Кб49анализ урока.docx
#
08.12.20181.77 Mб7анализ финансовой устойчивости УМПО.doc
#
22.08.2019526.92 Кб5анализ.хоз.деятельности предприятия.rtf
#
17.11.20191.53 Mб15аналитическая геометрия.doc
#
17.05.20152.08 Mб496Аналитическая геометрия.doc
#
17.05.20151.59 Mб86Аналитическая геометрия.pdf
#
18.03.20164.59 Mб148Анатомия йоги, асаны.docx
#
17.05.201533.28 Кб12АНКЕТА ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ВОЛОНТЕРОВ.doc
#
18.03.201629.03 Кб17анлатма языу 9 класс (1).docx
#
17.05.201527.28 Кб9анлатмалы языу 6 класс.docx
#
19.09.20191.43 Mб13Аннотированные вопросы к госэкзамену.doc