Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Аналитическая геометрия

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.05.2015

Размер:

1.59 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Следовательно,		A1	B1	. Но этого не может быть,	т. к. по условию прямые
Следовательно,		A2	B2	. Но этого не может быть,	т. к. по условию прямые
		A2	B2
пересекаются.	Наше			предположение оказалось	неверно,	A1 A2 и
B1 B2 не равны нулю одновременно, т. е. равенство (*)						– уравнение с

двумя переменными (х,у). Это уравнение 1-ой степени, которое определяет прямую.

Остается доказать, что эта прямая проходит через точку S. Пусть х0, у0 –

координаты точки S. Они удовлетворяют каждому из двух уравнений

прямых, следовательно, для любых значений и	выполняется равенство
α(А1х0 + В1у0 + С1) + β(А2х0 + В2у0 + С2) = 0.	(**)

Значит, все прямые, определяемые уравнением (*) при различных значениях

и , проходят через точку S. Теорема доказана.

Пусть требуется найти прямую пучка (*), проходящую через заданную

точку М(х, у*). Должно выполняться равенство
α (А1х+В1у+С1) + β (А2х+В2у+С2) = 0.
Для любого значения	0 можно принять	. Тогда из уравнения

А1х*+В1у*+С1+ λ (А2х*+В2у*+С2) = 0 можно найти , а уравнение

А1х+В1у+С1 + λ (А2х+В2у+С2) = 0 определяет искомую прямую.

Примеры задач на тему «прямая на плоскости»

Задача 1. Расстояние от точки до прямой.

Пусть прямая L задана уравнением 3x 4 y 10 0 . Точка М*(4, 3) –

произвольная точка плоскости. Найти отклонение и расстояние точки М* от прямой L.

Решение. Приведем уравнение прямой к нормальному виду. Найдем нормирующий множитель:

	1				1	.
				5		.
3	2	4	2	5
	2		2

Умножив уравнение прямой на нормирующий множитель, получим нормальное уравнение прямой:

53 x 54 y 2 0 .

Подставив в нормальное уравнение прямой координаты точки М*,

получим отклонение точки от прямой:

3	4	4	3 2 2 . Расстояние d 2 .
5		5

Задача 2. Проекция точки на прямую.

Найти проекцию точки Р(4, 9) на прямую, проходящую через точки А(3, 1) и

В(5, 2).

Решение.

1). Построим прямую L1 , проходящую через две заданные точки:

x x1			y y1			x	3 y	1	y	1	x	1	.

x	2	x	y	2	y	5	3 2	1		2		2
	2	1		2	1

2). Через точку Р(4, 9) проведем прямую L2 , перпендикулярную прямой

L1 .

Используем уравнение y y1 k x x1 . Угловой коэффициент k найдем из условия перпендикулярности прямых:

k	1	1	2 .

	k1	1/ 2

Уравнение прямой L2: y 9 2 x 4				y 2x 17 .

3). Найдем точку пересечения прямых L1 и L2 . Для этого решим систему уравнений, задающих эти прямые.

7, y

Проекцией точки Р на прямую L1

является точка P1 (7, 3).

Задача 3. Дана прямая

L : 3x 5y

15 0 . Составить уравнение прямой L

«в отрезках».

Решение. Уравнение прямой преобразуем к виду

15 и разделим на (-15):

Точки пересечения данной прямой с координатными осями (-5, 0) и (0,

3).

Векторное произведение векторов

Определение. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов называется правой, если из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого ко второму виден против часовой стрелки.

Определение.

Векторным

произведением вектора a на вектор b

такой, что:

называется вектор c ab a b

sin a,b ,

a и c

(14)

b ,

3) a, b , c образуют правую тройку векторов.

Понятие векторного произведения также пришло из механики: если b –

это сила

приложенная

в точке

М,

вектор a

= OM , то векторное

произведение

F – это момент силы

относительно точки О.

c a

b OM

(15)

M0 (F )

Свойства векторного произведения

Геометрические свойства

1.Векторное произведение a b равно нулю тогда и только тогда,

когда эти векторы коллинеарны:

a b 0 a || b .

Доказательство. Пусть угол между векторами a и b равен .

a) Докажем, что					0 .
		a \|\| b a	b
	0 или	1800					0 .
a \|\| b				sin	0	a b

б) Докажем, что

a b

a || b .

sin

если a

180 0 ,

0, b

0, sin

0, или

a || b .

Если a

a || b ,

или b

a || b .

Модуль

векторного

произведения

равен площади

параллелограмма, построенного на этих векторах.

Доказательство. Из курса геометрии S

sin

a b

Из

свойства

следует,

что

a b S e , где

–

единичный вектор,

перпендикулярный векторам a и b и образующий с ними правую тройку:

а)

=1,

б)

a , e

b ,

в) a , b , e

– правая тройка.

Алгебраические свойства

3.Антикоммутативность: a b = b a

равны по определению

Доказательство. Модули векторов a b и

векторного произведения. Проверим их направление:

а) a || b

0 равенство выполняется;

б)

b не параллельны.

Но

b || b

по определению векторного

произведения, тогда либо a

a ,

либо

b a .

Пусть

a b , а

a .

Тройка векторов

правая,

тройка

–

левая.

c2 b

a,b , c1

a , b ,

Следовательно, c1

c2 и a b =

a .

4.Ассоциативность относительно умножения на число.

a b a b

проверяем модуль:

а)

sin

где – угол между векторами a и b , а

– угол между векторами

a и b .

, если

=> sin

sin

180

, если

поверяем направление:

б) если

если

a b

b .

5. Дистрибутивность относительно сложения векторов

Выражение векторного произведения через координаты сомножителей

Теорема 1. Пусть векторы a и b

имеют координаты

x2 , y2 , z2 .

x1 , y1 , z1 ,

Векторное произведение этих векторов имеет координаты

;

(16)

Можно расписать определители:

(16’)

b y1z2

y2 z1 ;

x1z2

x2 z1

; x1 y2

x2 y1

или представить в виде

(16’’)

Доказательство. Рассмотрим векторные произведения базисных

векторов:

0 j

(17)

i k

j .

Разложим векторы a и b по базису i,

j, k :

x1i

z1 k

x2 i

z2 k

На основании свойств векторного произведения мы можем перемножать правые части почленно:

a b x1 x2 i i x1 y2 i j x1z2 i k y1 x2 j i y1 y2 j j y1z2 j k z1 x2 k i z1 y2 k j z1z2 k k y1z2 y2 z1 i x1z2 x2 z1 j x1 y2 x2 y1 k

с учетом формул (17).

Пример 1. Найти координаты векторного произведения векторов

					1, 2, 4 .
a 2, 5, 7 ,				b	1, 2, 4 .

	Решение. Пусть c a									b .
				y1	z1	,	x1	z1	,	x1	y1			7		2	7			2	5	6, 1, 1 .
													5
		c											5		,			,
			y2		z2		x2	z2		x2	y2		2	4		1	4			1	2
	Пример 2: Даны три точки:											A 1,1,1 ,		B(2,2,2),					C 4,3,5 .

Найти площадь треугольника АВС ( S ABC ).

Решение.

	1		1		.
S		Sпараллелог рамма		AB AC
	2		2

Найдем координаты векторов AB 1,1,1 , AC 3, 2, 4 .

1 1

2, 1, 1 .

AB AC

Смешанное произведение трѐх векторов

Даны при произвольных вектора a,b, c .

Определение. Если результат векторного произведения a b скалярно

умножить

на вектор c , то

a b

– это смешанное произведение векторов

a,b, c .

Геометрический смысл смешанного произведения

Теорема

Смешанное

произведение

равно

объему

a b c

параллелепипеда, построенному на приведѐнных к общему началу векторах,

взятому со знаком <+>, если abc – правая тройка векторов, и со знаком <->,

если тройка abc – левая.

Если векторы a,b, c – компланарны, то объем равен нулю, и a b

c 0 .

Доказательство. Пусть

S – площадь параллелограмма, построенного на

векторах a и b , e

– единичный вектор,

перпендикулярный к векторам a и b

образующий с ними правую тройку. (Вектор e

– орт векторного произведения

a b .)

Из геометрического свойства 2 векторного произведения

(18)

b c

пр

S пр

пр

c h

– высота

параллелепипеда,

построенного на

векторах

a,b, c ,

основанием S.

V ,

а прe c h ,

если

a,b, c правая

тройка,

то есть

той же

ориентации, что и a,b, e .

a b

V , а прe c

h ,

если тройка a,b, c левая.

Если векторы a,b, c – компланарны, то пр

a b c

0 .

Следствие 1. a

b c

b c .

Доказательство. Скалярное произведение векторов коммутативно,

следовательно

a b

b c a .

По теореме 2:

a b

V ,

b c a V .

будем

обозначать

смешанное

произведение

abc , так как

a b c

a b

c .

Следствие 2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда,

когда векторы компланарны.

Выражение смешанного произведения через координаты векторов

Теорема 3.

Пусть векторы

a,b, c имеют в ортонормированном базисе

координаты

x3 , y3 , z3 . Тогда смешанное

a x1 , y1, z1

, b

x2 , y2 , z2

, c

произведение этих векторов можно представить в виде

abc

Доказательство. a, b, c

c .

По теореме о векторном произведении:

a b

Умножим векторное произведение скалярно на вектор c :

abc

По следствию 2 необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат векторов:

a,b,c

компланарны.

Пример 3.

Даны четыре точки:

A 1,1,1 , B (4, 4, 4), C 3,5,5 , D 2, 4, 7 .

Найти объем тетраэдра АВСD.

Решение. Объем тетраэдра равен одной шестой объема параллелепипеда с

теми же основанием и высотой:

S h

тетр

осн

3 2

параллелог рама

6 п да

Координаты векторов

По теореме 3

AB 3, 3, 3 , AC 2, 4, 4 , AD 1, 3, 6 .

		3	3	3
V	1	2	4	4	1	18	3 .

тетр	6				6
		1	3	6

Примеры решения задач по теме: «Векторная алгебра».

Задача

Разложить

вектор

по

векторам

a 2; 2;

p 1; 2; 3 ,

1 ,

2; 1 .

g 2;

Решение. Разложить вектор

– значит представить

a по векторам

p, r , g

его в виде

(1)

r ,

где

, ,

- неизвестные пока числа. Переходя в равенстве (1) к координатам

векторов, получим

2 j

3 2 j

k .

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
17.05.201515.46 Кб49анализ урока.docx
#
08.12.20181.77 Mб7анализ финансовой устойчивости УМПО.doc
#
22.08.2019526.92 Кб5анализ.хоз.деятельности предприятия.rtf
#
17.11.20191.53 Mб15аналитическая геометрия.doc
#
17.05.20152.08 Mб496Аналитическая геометрия.doc
#
17.05.20151.59 Mб86Аналитическая геометрия.pdf
#
18.03.20164.59 Mб148Анатомия йоги, асаны.docx
#
17.05.201533.28 Кб12АНКЕТА ДЛЯ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ВОЛОНТЕРОВ.doc
#
18.03.201629.03 Кб17анлатма языу 9 класс (1).docx
#
17.05.201527.28 Кб9анлатмалы языу 6 класс.docx
#
19.09.20191.43 Mб13Аннотированные вопросы к госэкзамену.doc