Аналитическая геометрия

2

2,

2

3

2

2,

(2)

3

8.

Решив систему (2), найдѐм

1,

2,

3 . Следовательно, a

p

2g

3r .

Задача

2.

Найти

вектор

коллинеарный

вектору

1;

2

и

x

a 2;

удовлетворяющий условию

27 .

x

a

Решение.

В силу

коллинеарности векторов

вектор

можно

a

и x

x

представить в виде

где

– пока неизвестный множитель. Для его

x

a

определения используем второе условие:

a

2

4 1 1 9

27 .

x a

a a

Отсюда

3, поэтому

6;

3;

6; .

x

3a

Задача

3. Найти

вектор

перпендикулярный

1; 1;

и

x ,

векторам a 1;

6 .

b 2; 0; 1; и образующий с осью Ох тупой угол, если

x

Решение. Найдѐм вектор

i

j

k

c

a

b

1

1

1

i

j

2k .

2

0

1

Так как

перпендикулярен векторам

и

x

a

b , то он коллинеарен вектору

c . Следовательно, x

c

i

j

k .

2

2

4 2

По условию

6, т.е.

6

или

1. Вектор

x

x образует

тупой угол

с

осью

Ох, поэтому

его проекция

на

эту

ось

должна быть

отрицательной, отсюда

1 и x

c

j

i

2k .

Поверхности в пространстве ......................................................................................................

33

Плоскость .....................................................................................................................................

33

Неполные уравнения плоскости.................................................................................................

35

Уравнение плоскости в «отрезках» ...........................................................................................

35

Угол между плоскостями............................................................................................................

36

Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой ....

37

Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости.................................

38

Расстояние от точки до плоскости.............................................................................................

39

Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду ............................................

40

Примеры задач на тему «Плоскость». .......................................................................................

40

Пример:

уравнение (x )2 ( y )2 (z )2 r 2 задает сферу с центром

в точке ( , ,

), радиусом r .

Ax

By

Cz D

0

Ax2

By2

Cz2

2Dxy

2Fyz

2Gx 2Hy 2Kz L 0

Уравнение Ax

By

Cz D

0 – общее уравнение первой степени.

Плоскость

координат каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Доказательство. Пусть существует произвольная плоскость

. Пусть

точка M 0 (x0 , y0 , z0 ) . Пусть задан вектор n :

n

0, n

, n A, B,C

. Пусть

Условие принадлежности точки М плоскости

– это перпендикулярность

векторов M0 M и n

:

.

M

M0M

n

Выразим

условие принадлежности

т.

M

к плоскости

через

координаты векторов M0M

x

x0 , y

y0 , z z

и

A, B,C .

n

Условие перпендикулярности векторов:

(*)

M0M

0

A(x

x0 )

B( y

y0 )

C(z z0 )

0

n

– это и есть уравнение плоскости

,

поскольку

ему удовлетворяют

только точки плоскости. Преобразуем его:

Ax By

Cz

( Ax0

By0

Cz0 ) = 0 или

D

Ax By Cz D 0 .

(1)

Уравнение (1) – это общее уравнение плоскости. Таким образом,

плоскость

действительно определяется уравнением первой степени.

Докажем второе утверждение. Пусть дано произвольное уравнение

первой степени (1): Ax

By

Cz

D

0 .

Пусть

x0 , y0 , z0 - решение данного уравнения .

Тогда равенство Ax0

By0

Cz0

D 0 – тождество.

(2)

Вычтем тождество (2) из уравнения (1), получим

A(x x0 )

B( y y0 ) C(z z0 )

0 .

(3)

Это

уравнение

плоскости,

проходящей

через

заданную

точку

M 0 (x0 , y0 , z0 )

и имеющей нормаль n

A, B,C (см. уравнение (*)).

одну и ту же плоскость

A1x B1 y C1z D1

0

(4)

A2 x B2 y C2 z D 0

Тогда нормали

и

2

A2 , B2 ,C2

коллинеарны, а, следовательно,

n1 A1, B1,C1

n

коэффициенты уравнений пропорциональны:

A2

A1, B2 B1, C2 C1 .

Умножим первое уравнение системы на

и вычтем его из второго

уравнения. Получим: D2

D1

0

D2 D1 .

уравнения равны нулю.

1.

D=0, Ax

By

Cz

0 – плоскость проходит через начало координат.

2.

A=0, By

Cz

D

0, n O, B,C

Ox , плоскость параллельна оси Ох.

3.

B=0, плоскость параллельна

оси Oy .

Точка M принадлежит плоскости ( M1M 2 M3 )

тогда и только тогда, когда

векторы M1M , M1M2 , M1M3 компланарны.

Условие компланарности трех векторов – это равенство нулю их

смешанного произведения:

x

x1

y

y1

z

z1

x2

x1

y2

y1

z2

z1

0 .

(7)

x3

x1 y3

y1 z3

z1

Z

n

Q

M

M*

P

d

p

0

Y

X

Пусть существует плоскость

. Проведем нормаль

через начало

n

координат О. Пусть заданы , ,

– углы, образованные нормалью

с осями

n

координат.

1. Пусть p – длина отрезка нормали

OP

до пересечения с

n

Пусть

M (x, y, z ) – произвольная точка плоскости. Вектор единичной

нормали имеет координаты

n c o s , c o s , c o s

. Найдем проекцию вектора

на нормаль.

OM x, y, z

z cos .

прn OM

x cos

y cos

Поскольку точка М принадлежит плоскости, то

p .

прn OM

x cos

y cos

z cos

p

0

(8)

положительное

направление нормали

, и число (-d),

если

точка

n

расположена по другую сторону плоскости:

d .

Теорема. Пусть

плоскость

с

единичной нормалью

задана

n

нормальным уравнением:

x cos y cos

z cos

p 0 .

x * cos

y * cos

z * cos

p .

(9)

Доказательство. Проекцию т. M * на нормаль обозначим Q. Отклонение

точки М* от плоскости равно

PQ OQ OP .

p ;

OQ прn OM *, OP

p

прn OM *

z *cos ;

прn OM *

x *cos

y *cos

x * cos

y * cos

z * cos

p

(9)

Ax

By

Cz

D

0 - общее уравнение,

x cos

y cos

z cos

p

0 -

нормальное уравнение.

Поскольку оба уравнения задают одну плоскость, их коэффициенты

пропорциональны:

A

cos ,

B

cos ,

C

cos , D

p .

Первые три равенства возведем в квадрат и сложим:

2

A2

B 2

C

cos2

cos2

cos2

1.

Отсюда найдем – нормирующий множитель:

1

.

(10)

A2

B2

C 2

Пример 1. Составить уравнение плоскости

, проходящей через

заданную точку M1 (2,1,-1) и параллельной плоскости

1 : x 2 y 3z 1 0 .

Решение.

Нормаль к плоскости 1 : n1 1, 2,3 .

Поскольку плоскости

параллельны,

то нормаль n1 является и нормалью к искомой плоскости .

получим для плоскости

уравнение:

1(x

2)

2( y

1) 3(z

1) 0,

x

2 y

3z 3

0.