Раздел 1. Элементы векторной алгебры в пространстве.

Тема 1.1. Направленные отрезки. Векторы.

Сложение и вычитание векторов

Литература:[1], гл. 2, §1,2, стр. 32–38; [2], гл. 3,4 § 10 – 15, стр. 54–70; [3], гл. 1, § 1, стр. 13–15; [7], гл. 4,§ 13–15, стр. 117–130.

Основные определения, теоремы и формулы

Отрезок называется направленным, если указаны его начало и конец. ЕслиA– начало, аB– конец направленного отрезка, то такой направленный отрезок обозначается так:.

Два направленных отрезка называются эквипаллентными, если они одинаково направлены и имеют равные длины.

Например, пусть ABCD – квадрат (рис. 1). Тогда направленные отрезки иэквиполлентны,ине эквиполлентны, они имеют одинаковые длины, но разные направления.

Вектор – это множество направленных отрезков, любые два из которых эквиполлентны. Вектор обозначается одной буквой, над которой ставится стрелка:. Если направленный отрезок- представитель вектора, то направленный отрезоквполне определяет весь класс ему эквиполлентных направленных отрезков. Поэтому если, то векторобозначают также.

Возьмем произвольные векторы и. От какой-нибудь точкиАотложим вектор=, а затем от точкиВотложим вектор(рис. 2). Векторназываетсясуммой векторов ии обозначается так:. Это правило сложения векторов называетсяправилом треугольника:+=.

Иногда неколлинеарные векторы удобно складывать поправилу параллелограмма, например, на приведенном ниже рисунке 3 сумма векторов найдена по правилу параллелограмма: .

Теорема: Для любых векторов,исправедливы следующие равенства:

1. (свойство коммутативности).

2. (свойство ассоциативности).

Разностью двух векторовиназывается вектортакой, что+=. Разность векторовиобозначается–. По правилу треугольника=–.

Вопросы для самоконтроля

1. Как определяется прямое произведение двух множеств?

2. Что такое отношение на множестве М?

3. Какие можете привести примеры отношений на множестве?

4. Какое отношение называется отношением эквивалентности? Приведите примеры отношений, которые являются (не являются) отношением эквивалентности.

5. Какой отрезок называется направленным?

6. Какие направленные отрезки называются эквиполлентными? Какие отрезки будут не эквиполлентными?

7. Сформулируйте и докажите признак эквивалентности направленных отрезков.

8. Что такое вектор? Нуль-вектор? Приведите примеры векторных величин из физки. Является ли векторной величиной: 1) работа;

2) объем; 3) вес? Если да, то укажите направление этого вектора.

9. Сформулируйте и докажите лемму о равенстве векторов.

10. Сформулируйте и докажите утверждение об откладывании вектора от точки.

11. Как определяется сумма двух векторов? Покажите на чертеже.

12. Длины векторов изаданы. Как нужно направить эти векторы, чтобы длина их суммы была: а) наибольшей; б) наименьшей; в) равной длине вектора?

13. Какими должны быть векторы, чтобы их сумма делила угол между ними пополам?

14. Докажите коммутативность сложения векторов.

15. Докажите ассоциативность сложения векторов.

16. В чем смысл “правила многоугольника”?

Пример 1. Показать, что если для любых трех векторов ,иимеет место равенство, то из их представителей можно составить треугольник.

Решение. Равенство согласно правилу сложения векторов означает, что если начало векторасовместить с концом вектора, а начало вектора– с концом вектора , то конец векторасовместится с началом вектора, то есть ломанная, составленная из этих векторов замкнется, образуя треугольник (рис. 4).

Задание: Изобразите три вектора, из которых нельзя составить треугольник.

Пример 2. Пусть АВСD параллелограмм, и О – точка пересечения его диагоналей, M – середина стороны AD (рис. 5). Полагая и, выразить черезивекторы, и.

Решение. По правилу многоугольника для сложения векторов имеем, например:

, ,.

Из возможных способов выберем тот, при котором из точки А можно прийти в точку В, двигаясь только по известным векторам:

. Так как , то. Аналогично находим:.

.

Задачи

1. В параллелограмме ABCDдиагонали пересекаются в точкеO. Указать, какие из следующих пар направленных отрезков эквиполлентны:

а) и; б)и; в)и; г)и.

2. Доказать, что направленные отрезки AB и CD эквиполлентны тогда и только тогда, когда середины отрезков AD и BC совпадают.

3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точкеO, а точкиEиF– соответственно середины отрезковBCиAD. Построить следующие векторы:

а)

4. Доказать, что для произвольных векторов исправедливо равенство: а)– (–)=+; б).

5. Даны параллелограмм ABCDи произвольная точкаOпространства. Доказать, что

6. Даны три точки A,BиC. Построить точкуPтакую, чтобы.

7. A, B, CиD – произвольные точки пространства,MиN – середины отрезковADиBC. Доказать, что 2. Какие можно вывести следствия из последнего утверждения?

8. Доказать, что для произвольных векторов исправедливы следующие соотношения: а).

При каком условии в этих соотношениях имеет место знак равенства?

9. Что можно сказать о векторах, для которых выполнено соотношение: а) ║(; б) (+)║(–); в)?

10. Треугольники ABCиAB₁C₁имеют общую медиануAM. Доказать, что в этом случае

11. Записать в векторной форме необходимое и достаточное условие того, что четырехугольник ABCD– параллелограмм.

1. В пространстве дана фигура, состоящая из конечного числа точек, симметричных относительно точки C. Доказать, что сумма всех векторов с общим началом и концами в точках данной фигуры равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда общим началом векторов является точкаC.

2. В выпуклом пятиугольнике ABCDEBC║AD,CD║BE,DE║AC,AE║BD. Доказать, чтоAB║CE.

3. Периметр пятиугольника равен единице. Строятся последовательно пятиугольники с вершинами в серединах сторон предыдущих пятиугольников. Доказать, что сумма периметров всех этих пятиугольников не больше 8.

Домашнее задание

1. Пусть A,B,C,D– произвольные точки пространства, аM, N, P, Q– соответственно середины отрезковAB, BC, CD, DA. Доказать, что направленные отрезкииэквиполлентны.

2. Точки M, H– середины реберAA₁иBB₁параллелепипеда

ABCDA₁B₁C₁D₁с центромO. Построить следующие векторы:,,

3. Доказать, что если для четырех точек A, B, C, D, не лежащих на одной прямой, и некоторой точкиOпространства имеет место равенство тоABCD– параллелограмм.

4. Доказать, что для любых векторов справедливо соотношение