Раздел 3. Кривые второго порядка

Необходимость изучения линий в трехмерном пространстве вытекает из их роли в человеческой деятельности, и в частности необходимости знания их преподавателем математики в средней школе, так как со многими из них школьник встретится не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии, биологии. Действительно, изучение линий связано с тем ,что все расчеты, связанные с их прочностью, требуют знаний линий, которые описывают различные их подвижные точки. Линии, по которым движутся небесные тела, – это эллипсы (траектории планет), параболы и гиперболы (траектории комет). Искусственные спутники и межпланетные ракеты часто движутся по достаточно сложным кривым, и для того чтобы направлять, а иногда и исправлять движения, надо знать свойства их траекторий.

Линии, по которым прогибаются балки различных сооружений (мостов, каркасов зданий и т.д.), очень часто имеют сложную форму, но и с этими линиями приходится иметь дело при всевозможных расчетах.

Все это требует ознакомления с методами изучения различных линий. И учитель должен быть знаком хотя бы с принципиальной стороной этих методов, так как все эти вопросы проникают даже на страницы газет, которые читают и школьники.

Целью данного раздела является изучение возможностей использования метода координат (алгебраического метода) для исследования кривых второго порядка.

Здесь перед геометрией стоят две основные задачи: во-первых, научиться по уравнениям кривых исследовать свойства этих кривых и, во-вторых, научиться по свойствам кривой составлять ее уравнение. Действительно, составив уравнение кривой по одному какому-то ее свойству, можно с помощью уравнения как вести различные расчеты в технике, так и обнаружить новые свойства этой кривой.

Тема 3.I. Окружность

Литература: [1], гл .6, §§ 2-4, стр. 119–129; [7], гл. 4, § 27, стр. 91–95.

Основные определения, теоремы и формулы

Линия называется алгебраической линией второго порядка, если в какой-либо аффинной системе координат ее можно задать алгебраическими уравнениями второй степени, то есть уравнением вида:

,

где хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля.

Это уравнение второго порядка с двумя переменными в прямоугольной декартовой системе определяет окружность, еслии, то есть, если его можно записать в следующем виде:

Если разделим обе части уравнения на и выделим полные квадраты, то получим: – это каноническое уравнение окружности с центром в точкеCи радиусомR(Рис. 25); или (x–a)²+(y–b)²=0 – вырожденную окружность (точкуС; или– мнимую окружность (пустое множество точек)).

Уравнения: (0)

называются параметрическими уравнениями окружности,С– центр окружности,R– ее радиус,t –величина ориентированного угла между положительным направлением осиОХи подвижным радиусомCM. В полярной системе координат окружность определяется уравнением:

²-2₀cos(₀)+₀²=R² ,

где () – координаты произвольной точки окружности; (₀,₀) – координаты ее центраСиR –ее радиус.

Примеры решенных задач

Пример 1. Определить центр и радиус окружности, заданной уравнением.

Решение: Так как в рассматриваемом уравнении коэффициенты прииравны между собой, и отсутствует член с произведением координат, то это уравнение окружности. Чтобы определить координаты ее центра и радиус, необходимо, выделяя полные квадраты, привести уравнение к каноническому виду:

,

,

.

Значит, центр окружности имеет координаты (1,–2), и радиус окружности равен 5.

Координаты центра и радиус окружности можно найти и неприводя данное уравнение к каноническому виду. Для этого достаточно сравнить рассматриваемое уравнение с уравнением окружности в общем виде:

и .

Сравнивая коэффициенты в приведенных уравнениях, получим:–2=–2; –2=4;. Следовательно,=1;=–2;R²=25,R=5. Ответ: C(1,–2),R=5.

Пример 2. Составить уравнение окружности, проходящей через точкиА(–1, 1) иВ(1, –3), если центр ее лежит на прямой 2x–y+1=0.

Решение: Запишем каноническое уравнение окружности: . Так как окружность проходит через точкиАиВ, то координаты этих точек должны удовлетворять уравнению окружности. Имеем два уравнения:

, .

Если центр окружности лежит на прямой 2x–y+1=0, то координаты центра должны удовлетворять уравнению этой прямой:

2–+1=0. Решив систему из полученных уравнений, получим

С(–,–),r²=и уравнение искомой окружности имеет вид:

.

Задачи

1. Найти уравнение окружности, для которой точки (2,2) и (8,10) являются концами одного диаметра.

2. Составить уравнение окружности, касающейся оси OXи проходящей через точкиA(–2,1) иB(6,5).

3. Составить уравнения касательных, проведенных из начала координат к окружности x²+y²–4x–8y+18=0.

4. Найти центр и радиус окружности, вписанной в треугольник со сторонами 3x+4y–13=0, 4x–3y+12=0, 8x+6y+9=0.

5. Вычислить расстояние от окружности 16x²+16y²+48x–8y+28=0 до прямой 8x–4y+73=0.

6. Составить уравнение окружности c центром C(R, φ₀) в полярных координатах, если радиус ее равенR.

7. Найти множество точек, сумма квадратов расстояний от двух данных точек AиBесть величина постоянная.

8. Окружность и ромб имеют общий центр. Доказать, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности до вершин ромба постоянна.

9. Доказать, что если через некоторую точку Mпровести прямую, пересекающую окружность в точкахAиB, то произведениеMAּMBне зависит от выбора этой прямой.

10. В окружность вписан правильный треугольник ABC, точкаMпринадлежит меньшей дугеABэтой окружности. Доказать, чтоMC=MA+MB.