1.2 Решение типовых задач
Пример. По регионам Приволжского федерального округа за 2008 год изучается зависимость среднего размера вклада (депозита) физических лиц на рублевых счетах в Сберегательном Банке Российской Федерации от величины среднедушевых денежных доходов населения. Исходные данные представлены в таблице 1.
Таблица 1 Исходные данные для корреляционно-регрессионного анализа
|
Регионы |
Средний денежный доход на душу населения, тыс. руб. |
Средний размер вклада, тыс. руб. |
|
1 Республика Башкортостан |
14,253 |
4,676 |
|
2 Республика Марий Эл |
7,843 |
4,444 |
|
3 Республика Мордовия |
8,384 |
3,666 |
|
4 Республика Татарстан |
14,181 |
5,272 |
|
5 Удмуртская Республика |
9,581 |
5,583 |
|
6 Чувашская Республика |
8,594 |
4,744 |
|
7 Пермский край |
16,119 |
8,985 |
|
8 Кировская область |
10,112 |
4,980 |
|
9 Нижегородская область |
13,090 |
7,130 |
|
10 Оренбургская область |
10,184 |
4,665 |
|
11 Пензенская область |
10,173 |
5,718 |
|
12 Самарская область |
15,805 |
7,431 |
|
13 Саратовская область |
9,062 |
5,692 |
|
14 Ульяновская область |
9,756 |
5,091 |
Задание:
1) Для характеристики зависимости среднего размера вклада физических лиц от величины среднедушевых денежных доходов населения рассчитать параметры линейной функции.
2) Определить средний коэффициент эластичности.
3) Рассчитать коэффициент корреляции.
4) Оценить значимость модели через показатель детерминации, среднюю ошибку аппроксимации и F-критерий Фишера.
5) С вероятностью 0,95 указать доверительный интервал ожидаемого значения величины вклада в предположении роста среднего дохода на душу населения на 10,0% от своего среднего уровня и найти доверительный интервал прогноза.
6) Проанализировать все рассчитанные показатели.
Решение:
1) Параметры a
и b
линейной регрессии
рассчитываются с помощью метода
наименьших квадратов. Для этого составим
систему нормальных уравнений (2).
По исходным данным
определим
,
,
,
,
в
расчетной таблице 2.
Таблица 2 Расчет показателей парной линейной регрессии и корреляции
|
№ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
14,31 |
4,7 |
66,6 |
203,1 |
21,9 |
6,7 |
0,42 |
3,94 |
9,17 |
|
2 |
7,8 |
4,4 |
34,9 |
61,5 |
19,7 |
4,4 |
0,02 |
0,01 |
11,43 |
|
3 |
8,4 |
3,7 |
30,7 |
70,3 |
13,4 |
4,6 |
0,24 |
0,80 |
8,07 |
|
4 |
4,2 |
5,3 |
74,8 |
201,1 |
27,8 |
6,6 |
0,26 |
1,86 |
8,74 |
|
5 |
9,6 |
5,6 |
53,5 |
91,8 |
31,2 |
5,0 |
0,11 |
0,35 |
2,70 |
|
6 |
8,6 |
4,7 |
40,8 |
73,9 |
22,5 |
4,6 |
0,02 |
0,01 |
6,92 |
|
7 |
16,1 |
9,0 |
144,8 |
259,8 |
80,7 |
7,3 |
0,18 |
2,75 |
23,96 |
|
8 |
10,1 |
5,0 |
50,4 |
102,3 |
24,8 |
5,2 |
0,04 |
0,04 |
1,24 |
|
9 |
13,1 |
7,1 |
93,3 |
171,3 |
50,8 |
6,2 |
0,12 |
0,78 |
3,48 |
|
10 |
10,2 |
4,7 |
47,5 |
103,7 |
21,8 |
5,2 |
0,12 |
0,29 |
1,08 |
|
11 |
10,2 |
5,7 |
58,2 |
103,5 |
32,7 |
5,2 |
0,09 |
0,27 |
1,10 |
|
12 |
15,8 |
7,4 |
117,4 |
249,8 |
55,2 |
7,2 |
0,03 |
0,05 |
20,98 |
|
13 |
9,1 |
5,7 |
51,6 |
82,1 |
32,4 |
4,8 |
0,16 |
0,79 |
4,67 |
|
14 |
9,8 |
5,1 |
49,7 |
95,2 |
25,9 |
5,1 |
0,01 |
0,00 |
2,16 |
|
Итого |
157,1 |
78,1 |
914,2 |
1869,4 |
460,9 |
78,1 |
1,82 |
11,93 |
105,71 |
|
Среднее |
11,2 |
5,6 |
65,3 |
133,5 |
32,9 |
5,6 |
0,13 |
|
|
2
2
1 – для упрощения расчетов исходные данные округлены до 0,0.
Система нормальных уравнений составит:
Решив систему, получим: a = 1,635; b = 0,354.
Уравнение линейной регрессии имеет вид:
.
Параметры уравнения можно определить и по следующим формулам:
= 5,6 – 0,320∙11,2 = 2,016
Однако, оперируя средними величинами, мы можем столкнуться с ошибками округления. Действительно, как видно, параметры a и b, рассчитанные двумя способами не совпадают. В дальнейшем при решении мы будем использовать значения параметров, полученные при решении системы нормальных уравнений.
Величина коэффициента регрессии b = 0,354 означает, что с ростом денежных доходов на 1 тыс. руб. величина вкладов увеличится в среднем на 0,354 тыс. руб. или на 354 руб.
2) Средний коэффициент эластичности для линейной регрессии находится по формуле:
0,708
При увеличении величины денежного дохода на 1%, величина вклада в среднем увеличится на 0,708%.
3) Линейный коэффициент парной корреляции (r) определяется по формуле:
,
где средние квадратические отклонения:
тогда
=0,732, значит связь между вкладами населения
и уровнем денежных доходов прямая
сильная.
4) Определим коэффициент детерминации:
.
Таким образом, вариация величины вклада на 53,6% зависит от вариации уровня денежных доходов населения, а на остальные (100%-53,6%) 46,4% − от вариации факторов, не включенных в модель.
Подставляя в
уравнение регрессии фактические значения
x,
определим теоретические (расчетные)
значения
(таблица
2) и найдем величину средней ошибки
аппроксимации (
):
=
.
Так как допустимый
предел значений
не более 8-10%, качество модели по данному
показателю неудовлетворительное. Однако
средняя ошибка аппроксимации не является
главным критерием оценки значимости
модели.
С помощью F−критерия Фишера оценим статистическую надежность результатов регрессионного моделирования:
Fфакт=
=
.
Fтабл
= 4,75 при
.
Так как Fфакт > Fтабл, уравнение регрессии значимо, статистически надежно.
5) Если существенность
уравнения регрессии
доказана, то оно используется для
составления прогнозов.
Рассчитаем прогнозное значение денежных доходов населения (х):
=
тыс. руб.
Точечный прогноз
определим путем подстановки прогнозного
значения
в уравнение
регрессии:
тыс. руб.
Среднюю ошибку прогнозируемого значения находим по формуле:
1,038,
где
.
Определим предельную ошибку прогноза:
где 
= 2,1788 (приdf
= n-m-1= 12 и
).
Доверительный интервал прогноза составит:
;
.
Таким образом, с вероятностью 0,95 доверительный интервал ожидаемого значения среднего размера вклада (депозита) физических лиц на рублевых счетах в Сберегательном Банке Российской Федерации в предположении роста денежных доходов населения на 10% от своего среднего уровня составит от 3,734 до 8,258 тыс. руб.