Тема 5. Пространство геометрических векторов, как пример линейного пространства

1^о. Направленные отрезки.

Рассмотрим в пространстве две точки АиВ. Они определяют отрезокАВ.

Определение 1. Отрезок АВназываетсянаправленным, если его концыАиВупорядочены; если при этом первой является точкаА, а второй – точкаВ, тоА– начало отрезка, аВ– его конец.

Направленный отрезок обозначается или. На чертеже направленный отрезок снабжен стрелкой на конце(см. рис.1)

Определение 2. Длинойнаправленного отрезканазываетсядлина отрезка АВ.

Рис.1. Направленный отрезок АВ.

Определение 3. Направленные отрезкииназываютсясонаправленными(обозначается), если они лежат на параллельных прямых и направлены в одну сторону.

Направленные отрезки иназываютпротивоположно направленными(пишут), если они лежат на параллельных прямых и направлены в разные стороны.

Направленные отрезки иназываютсяпротивоположными.

Каждую точку Апространства можно рассматривать как направленный отрезок с совпадающим началом и концом. Этот отрезок обозначаетсяи называется нулевым направленным отрезком. Его длина считается равной нулю, а направление не определено.

Определение 4. Два направленных отрезкаисчитаютсяэквивалентными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают).

Эквивалентностьявляется отношением эквивалентности в множестве всех направленных отрезков, т.к. из определения эквивалентности следует:

1) отрезок эквивалентен сам себе;

2) если эквивалентен, тоэквивалентен;

3) если эквивалентениэквивалентен, тоэквивалентен.

Так как эквивалентность направленных отрезков является отношением эквивалентности, то множество всех направленных отрезков пространства разбивается на непересекающиеся классы – классы эквивалентности. Классы эквивалентности образуют фактор-множество множества всех направленных отрезков пространства.

Определение 5. Множество всех эквивалентных направленных отрезков называетсявектором(или свободным вектором).

Замечание.Напомним, что в средней школе вектор характеризуетпараллельный перенос.

Направление эквивалентных направленных отрезков называется направлением вектора, а их длина –длиной вектора.

Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс эквивалентных направленных отрезков.

Поэтому часто будем пишут вектор ,.

Определение 6. Векторaтакой, чтоназываетсяединичным векторомилиортом. Множество нулевых отрезков называетсянулевым вектором; Его длина равна нулю, а направление не определено.

Определение 7. Два ненулевых вектора, направления которых совпадают или противоположны, называютсяколлинеарными. Обозначают.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Очевидно, что прямые, на которых лежат представители классов коллинеарных векторов, параллельны.

Определение 8. Три и более векторов называютсякомпланарными, если они параллельны некоторой плоскости.

Для определенности любую тройку векторов, содержащую нулевой вектор, считают комплонарной.

Пусть даны два вектора aиb. Из произвольной точкиO пространства отложими. Тогдаесть направленный отрезок и значит, определяет вектор.

Покажем, что вектор не зависит от выбора точкиO. Для этого выберем другую точку . Пусть,. Тогда– параллелограмм; аналогично,– параллелограмм– параллелограмм, т.е. они определяют один и тот же вектор.

Определение 9. Векторназываетсясуммойвекторови. Пишут:.

Способ сложения векторов, изложенный выше, называется правилом треугольника. Можно также использовать правило параллелограмма.

Свойства сложения векторов.

1. .

2. .

3. , т.к..

4. Для каждого вектора вектор, называемый вектором, противоположным, такой, что . Доказательство свойств может быть проиллюстрировано рис.2

а) б)

Рис.2. Свойства сложения векторов: а) коммутативность, б) ассоциативность

Если , то черезобозначим. Тогда.

Определение 10. Произведениемвекторана число называется вектор, удовлетворяющий следующим условиям:

1. векторы исонаправлены, еслии противоположно направлены, если;

2. .

Произведение вектора на число 0 есть нулевой вектор. Пишут .

Свойства умножения вектора на число.

1. и .

2. и вектора.

3. и вектора.

4. вектора .

Доказательство 1).Пусть для простотыи будем использовать правило параллелограмма для сложения векторов. Если вместоивзятьи, то получим подобный параллелограмм и его диагональ соответственно равна.(см. рис.3)

Рис.3.Иллюстрация свойства сложения векторов

Доказательство 2)–4).Очевидно, такое, что получаются коллинеарные вектора.

Теорема 1.Множество векторов пространства образует линейное пространство.

Доказательство.Следует из свойств сложения векторов и умножения на число.∎

Замечание.Можно определить операцию вычитания векторов по формуле(см.рис.4)

Рис. 4. Вычитание векторов

a) Множество коллинеарных векторов образует линейное пространство

б)Множество компланарных векторов образует линейное пространство.

Далее выясним размерности и базисы перечисленных пространств.

2^о. Размерность линейных пространств геометрических векторов.

Теорема 3.Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство.Если один из векторов нулевой, то очевидно. Поэтому далее предполагаем, что оба вектора ненулевые.

Пусть и– коллинеарны. Отложим их от одной точки. Пусть. Тогда если, то, если, то. В обоих случаяхи– линейно зависимы.

Пусть и– линейно зависимы, т.е., гдене равно 0. Тогда, если,по определению 10 иколлинеарны.∎

Следствие 1.Линейное пространство коллинеарных векторов одномерно и его базисом может служить любой ненулевой вектор.

Следствие 2.Еслии– коллинеарны и, то.

Доказательство.. Если. Т.о.и.

Теорема 4.Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда они линейно зависимы.

Доказательство.Будем предполагать, что никакие два вектора из трех не коллинеарны, т.к. иначе утверждение очевидно в силу §11 (свойство линейно зависимых векторов).

Пусть вектора компланарны. Перенесем их в точкуO, проведем через конец вектораc прямые, параллельные векторам и и рассмотрим параллелограмм.(см. рис. 5) Векторы и, и– коллинеарны , . Но , , – линейно зависимы.

Рис.5. Иллюстрация доказательства теоремы 4.

Пусть , , – линейно зависимы. Тогда , одновременно не равные нулю: . Если, например,, то – диагональ параллелограмма со сторонами, параллельнымии , , лежат в одной плоскости, т.е они компланарны.∎

Следствие.Линейное пространство компланарных векторов двумерно и его базисом может служить любая пара неколлинеарных векторов.

Теорема 5.Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство.Предположим, что никакие три из векторовне компланарны (иначе они линейно зависимы) очевидно. Остальное следует из (рис.6) по аналогии с доказательством теоремы 4. Через точкуDпроведем три плоскости, параллельные парам векторов {, }; {, };{ , }.

, . , , , – линейно зависимы.∎

C

D

d

c

B

b

E

O

A

a

Рис.6. Иллюстрация доказательства 5.

Следствие.Линейное пространство всех геометрических векторов трехмерное. Его базисом могут служить любые три некомпланарных вектора.

3^о. Проекции вектора на ось

Пусть в пространстве задана некоторая прямая и единичный вектор .

Определение 11. Осью будем называть прямую, по которой задано направление. Направление оси задается вектором (направляющий вектор оси).

Рис.7. Проекция точки А на ось L.

Пусть – точка непринадлежащая . Проведем через точку плоскость. Получим точку , которая называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось . Обозначение: (см. рис.7).

Если наряду с точкой взять точку, то можно построить.

Определение 2. Так построенный вектор называется векторной проекцией вектора на ось. Обозначают:.

Иногда говорят, что есть компонента вектора на оси.

Вектора и– коллинеарны .

Определение 13. Такое число называетсяскалярной проекцией (проекцией) вектора на ось. Пишут:.

Таким образом .

Легко видеть, что  .

Свойства проекции.

1⁰. Проекция вектора на ось равна произведению длины вектора на косинус угла между вектором и осью:

.

L

L

Рис.8. - проекция векторана осьL.а) , б)

Действительно, пусть .

Если (см. рис. 8а), то, поэтому

.

Если (см. рис. 8б), то, и

.

2⁰. При умножении вектора на число его проекция на ось также умножается на это число: .

Действительно, если , то угол между векторамииравен углу междуи, т.е. и .

Если , то

3⁰. Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слагаемых:

.

Справедливость этого утверждения следует из рис.9. В случае а) , б)

а) б)

Рис.9. Иллюстрация доказательства свойства о проекции суммы векторов.

Следствие. Свойство (3) справедливо для  количества векторов.

4⁰. Скалярное произведение векторов.

Определение 1. Скалярным произведением двух векторов иназываетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Т.о., если ,– вектора, то скалярное произведение обозначается,и.

Свойства скалярного произведения.

1) Коммутативность: .

Действительно, (т.к. , т.е. четная функция, то).

2) Скалярное произведение двух векторов равно длине одного вектора умноженной на проекцию другого на направление первого.

Действительно, .

Отсюда видно, что если , то.

Следовательно, проекция вектора на ось равна скалярному произведению этого вектора на направляющий вектор оси.

3) .

Действительно,

.

4) .

Действительно, .

5) Для того, что бы два ненулевых вектора были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Пусть     .

Пусть  , т.к. ,   .

6) Пусть  , т.е.  скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора .

Тогда

Вычисление скалярного произведения в прямоугольных координатах.

Пусть ,.

(,).

В прямоугольной декартовой системе координат скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.

Некоторые метрические формулы.

1)  

2) ,   .

3. Если , то,,.

Т.о., прямоугольные координаты вектора есть его ортогональные проекции на оси прямоугольной системы координат.

4) Пусть ,  .

Таким образом,  .

Из формулы косинуса угла между векторами легко найти углы , , , которые вектор образует с осями координат. Эти углы называются направляющими углами.

Имеем:

, ,.

, ,называются направляющими косинусами вектора. Они связаны соотношением

.

Следовательно, вектор есть координаты вектора, т.е. вектораи.

.

5^о. Векторное произведение векторов

Пусть даны два неколлинеарных и не нулевых вектора и.

Определение 1. Векторным произведением векторов иназываетсявектор , удовлетворяющий свойствам:

1. .

2. и .

3. тройка векторов , , – правая.

Если один из векторов нулевой, или вектора коллинеарны, то их векторное произведение равно нулю.

Построение вектора векторного произведения.

Пусть необходимо построить вектор . Для этого выберем в пространстве точку и отложим из нее вектораи.

1. Через точку проведем плоскость.

2. Спроецируем на П точку . Получим вектор.

3. Далее повернем вектор по часовой стрелке на угол/2 (если смотреть из конца вектора ) и получим вектор.

4. Умножив его на длину, получим, который равен.

Докажем это:

1. .

2. Очевидно, что и.

3. Легко видеть, что тройка ,,– правая.

Свойства векторного произведения.

1. Векторное произведение двух не нулевых векторов равно нулю  вектора–сомножители коллинеарны.

Доказательство:

Пусть и   т.к. ,  , т.е. ||.

Пусть ||, тогда   .

2. Длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах.

Доказательство:

Пусть и. На отрезках [OA] и [OB] построим параллелограмм.

.

3. Векторное произведение антикоммутативно, т.е. .

Доказательство:

Легко видеть, что , т.к. вектора ,, образуют правую тройку, то тройка ,, – левая  т.е. вектора и – противоположно направлены. Следовательно, .

4. .

Докажем первое равенство.

1. В начале покажем равенство модулей.

т.к. , то .

.

1. Так как ||, то .

1. Покажем, что . Рассмотрим случайи.

Отсюда вытекает доказываемое свойство.

6. –дистрибутивность.

Если один из векторов нулевой – очевидно. Пусть ,,– не нулевые. Для доказательства воспользуемся описанным ранее методом построения векторного произведения.

Выберем произвольную точку и отложим из нее вектораи. Из конца векторапостроим вектор. Т.о., , , , .

1. Построим плоскость П.

2. Спроецируем на плоскость П: получим.

3. Повернем по часовой стрелке на угол.

4. Умножим отрезки сторон на , получим треугольникподобный.

По построению, , ,  т.к. ), то .

Вычисление векторного произведения в прямоугольных координатах

Пусть задана прямоугольная декартова система координат. Легко видеть, что для базисных векторов ,,справедливо:

очевидно, из коллинеарности.

. Из этого следует, что .

(см. рисунок).

Тогда для двух векторов

и .

Имеем:

Это равенство формально можно переписать в виде

.

Пример. Вычислить синус угла между векторами ,.

Имеем: . . .

Так как модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах, то если , .

Имеем .

Если параллелограмм расположен в плоскости, то и.

Пример. Даны три точки ,и.

Найти .

Решение. , где– площадь параллелограмма, построенного на векторахи. Имеем:,.

.

6^о. Смешанное произведение векторов

Пусть даны три вектора ,,.

Определение 1. Смешанным произведением векторов называется произведение следующего вида: , т.е. вначале вектораиперемножаются векторно, а затем результат умножается скалярно на вектор.

В результате получается скалярная величина.

Свойства смешанного произведения.

1. Модуль смешанного произведения трех векторов равен объему параллелепипеда, построенного на трех исходящих из одной точки векторах. Смешанное произведение больше нуля, если тройка правая, и отрицательная, если она левая.

Доказательство: Отложим вектора ,,из одной точки. Возможны две ситуации:

a) Тройка ,,– правая; б) Тройка,,– левая.

Пусть .

Тогда

2. Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.

Доказательство. Если один из векторов нулевой, то свойство очевидно.

Пусть ,, 0.

Пусть ,,– компланарны. Тогда  .

Пусть  либо , либо .

В первом случае это означает, что вектор  векторам ,, ,,– компланарны. Во втором случае –|| и– линейно зависимы ,,– компланарны.

3. Смешанное произведение не зависит от группировки сомножителей, т.е. .

Доказательство. Тройки ,,и,,ориентированы одинаково, значит знак смешанного произведения одинаковый. Модуль так же одинаковый в силу свойства 1.

Обозначение. Смешанное произведение векторов ,,обозначается.

4. .

Следует из свойства циклической перестановки ориентированных векторов.

5. , .

Следует из свойств скалярного произведения.

Вычисление смешанного произведения в прямоугольных координатах.

Пусть даны три вектора: ,,.

Тогда

.

,

т.е. смешанное произведение трех векторов равно определителю, строками которого являются координаты перемножаемых векторов.

Следствие. – необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов.

Определение 2. Четыре точки называются коллинеарными, если вектора лежат в одной плоскости.

Видно, что ,,,– компланарны если вектора,,лежат в одной плоскости. Если

, ,,, то условие компланарности векторов,,имеет вид:

.

Задача. Вычислить высоту тетраэдра, вершины которого расположены в точках ,,,.

Решение.

. Но

.

Двойное векторное произведение.

Определение 1. Двойное векторное произведение векторов ,,это произведение вида.

Выразим двойное векторное произведение через скалярное.

Пусть   и . Тогда, в силу   лежит в плоскости векторов и  . Умножим это равенство скалярно на. Имеем.

Пусть вектор не перпендикулярен одновременно векторам и (в противном случаев обоих случаях). Тогда  , такое что ,.

Тогда

.

Для того, чтобы найти , вычислим левую и правую части в некотором базисе. Пусть векторнаправлен вдоль вектора,лежит в плоскости векторов и ,определяется из условия, что,,образуют правую тройку. Тогда , , .

Имеем

, .

.

.

Отсюда видно, что . Итак, справедлива формула:

.

Пример 1. Доказать тождество Якоби:

.

Имеем

,

,

.

Суммируя эти равенства, получим тождество Якоби.

Пример 2. Вычислить .

Имеем:

()

.