- •Алгебра и аналитическая геометрия
- •4. Содержание дисциплины
- •§1. Основные понятия о множествах.
- •1.2 Способы задания множеств.
- •1.3 Отношения между множествами.
- •Определение 1.1
- •Определение 1.2
- •Определение 1.3
- •§2. Операции над множествами.
- •2.1 Пересечение множеств.
- •Определение 1.4
- •2.2 Объединение множеств.
- •2.3 Разность множеств. Определение 1.6
- •2.4 Дополнение к множеству. Определение 1.7
- •Определение 1.8
- •Тема 2. Матрицы
- •Тема 3. Система линейных уравнений.
- •Тема 4. Линейное пространство
- •Тема 5. Пространство геометрических векторов, как пример линейного пространства
- •§15.Уравнение прямой линии на плоскости.
- •10. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой.
- •20. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.
- •30. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.
- •§ 16. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§ 17. Уравнение прямой в пространстве.
30. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.
Пусть на плоскости задана прямоугольная декартова система координат , тогда угол между прямыми, определяющийся углом между направляющими векторами может быть определен формулой:.
Отметим, что угол между прямыми принимает значение от , угол между направляющими.
Поэтому угол между прямыми определяется углом между векторами. Получаем, что прямые (7), (8) в прямоугольной системе координат ортогональны (15)
Отметим, что только прямоугольной декартовой системе координат вектор является перпендикулярной к прямой
В дальнейшем построим нормальное уравнение на плоскости. В начале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.
y
N
l1
P
M
0 x
Рис.3.
Пусть прямая и пусть длина
,- угол междуl1 и . Если т.М лежит на l1, то очевидно, что проекция
Последнее условие является необходимым и достаточным, для того, чтобы т. М.
или , (16)
где - расстояние от т. М до начала координат,
- угол между и.
Другими словами, - полярные координаты т. М. Таким образом, уравнение (16) является уравнением прямой в полярной системе координат. Уравнение (16) можно переписать:
,
где - координаты т. М в соответствующей прямоугольной декартовой системе координат.
Получаем:(17) – нормальное уравнение прямой на плоскости, где
- длина перпендикуляра, проведенного из начала координат на прямую,
- угол наклона нормали к оси абсцисс.
Отметим, что и- координаты ортонормали. Покажем, что общее уравнение прямой привели к нормальному виду.
Пусть прямая l : , тогда нормальное уравнение получается умножением на некоторый нормирующий множитель:при этом, знаквыбирается из условия
Если С=0, то знак произвольный.
Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.
y l1
M0 N
M P
x 0
Рис.4.
Произвольная точка .
,. Очевидно, что расстояние отдоl:
Рис.4.
Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты т. и полученную величину взять по модулю.
Замечание. Из рисунка видно, что если т.и начало координат лежат по разные стороны отl, то . В первом случае:, во втором -.
Последнее может быть использовано, чтобы узнать лежит ли т.и начало координат по одну сторону или по разные от прямойl.
Пример. .
§ 16. Уравнение плоскости в пространстве.
10. Различные виды уравнения на плоскости.
Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от ??? плоскости на единицу. Размерность плоскости отличается на единицу от ??? пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно-независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит.
Утверждение 1. Пусть в плоскости задана т.и два неколлинеарных вектораи. Тогда т.. (1)
Доказательство.
| Пусть т. М лежит в плоскости, тогда это означает, что компланарны в силу неколлинеарности и, векторможет быть представлен как линейная комбинацияи, т.е. справедливо (1).
| если справедливо (1), то компланарен си , ч.т.д.∎
Уравнение (1) будет называться уравнением плоскости в векторной форме. Оно означает лишь, что плоскость проходит через т.и параллельнои. Зафиксируем в пространстве аффинновую систему координат. Пустьи- радиус-вектора т.иМ.
Тогда (1) перепишем: - векторное уравнение плоскости. (2)
Если теперь зафиксировать координаты векторов ,,,, например, то уравнение (2) :(3)
Уравнение (3) называется параметрическим уравнением плоскости. Если его переписать в виде:
,
Представляет собой линейную зависимость столбцов матрицы: = 0 (4)
Разлагая этот определитель по первому столбцу получим:
(5)
где (6)
Уравнение (4) является уравнением плоскости, проходящей через т.и параллельно.
Если в плоскости заданы 3 точки ,, то в качестве векторови:.
Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки: (7)
Если в уравнение (5) раскрыть скобки и обозначить , то-общее уравнение плоскости (8)
Отметим, что в силу неколлинеарности хотя бы один из определителей (6) отличен от нуля уравнением первой степени.
Таким образом, показали, что любое уравнение плоскости может быть записано в виде уравнение первой степени.
Докажем и обратное: любое уравнение первой степени вида (8) представляет собой уравнение некоторой плоскости.
Пусть в (8) , тогда (8) имеет частное решение:, которое определяет координаты точки, через которую проходит плоскость. А вектора имеют значения.
Покажем, что плоскости, проходящие через полученную точку параллельно иопределяются уравнением (8). Действительно, уравнение плоскости имеет вид:
, где эквивалентно (8)
доказана теорема 1: Пусть в пространстве- в точности поверность первого порядка.
20. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства.
Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости, заданной уравнением (8)(9)
Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо и достаточно показать, что, если отложить от некоторой точки плоскости, то конец также будет лежать на плоскости.
Пусть ,,, проверим, что. Подставляя в уравнение (8):,ч.т.д.∎
Утверждение 2. Плоскости (10)
(11)
параллельны (12)
Доказательство.
| Плоскости параллельны, если вектор параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны.
| пусть , тогда вектора, которые параллельны плоскости, должны быть параллельны в силу утверждения 1 выполняется:
, ч.т.д.∎
Утверждение 3. Плоскости и, заданные уравнениями (10,11), совпадают(13)
Доказательство.
| очевидно
| пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из утверждения 2 и доказываем третье равенство.
Пусть тобеим плоскостям, тогда
В силу соотношения (12) получим: .
Умножим первое уравнение последней системы на и прибавим ко второму:мы доказали уравнение (13), ч.т.д.∎
Утверждение 4. Плоскости и, заданные уравнениями (10,11), параллельны и не совпадают (14)
Утверждение 5. Плоскости и, заданные уравнениями (10,11), пересекаются - неколлинеарны.
Утверждение 6. Пусть плоскости и, заданные уравнениями (10,11), пересекаются на прямойl, тогда плоскость проходит через эту прямую её уравнение имеет вид:
, (15)
где одновременно.
Доказательство. Аналогично для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.
30. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.
Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Пусть плоскостьпроходит через т.и- некоторый вектор, тогда.
Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе:
В ортогональном базисе коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно ??? как коэффициенты векторной нормали.
Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д.
По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости.
Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат задана плоскость . Проведем из начала координат ось.
Пусть т. N – это точка пересечения прямой l с плоскостью ,
Тогда произвольная т. М пространства
Другими словами, , (16)
г
Рис.5.
Рис.5.
Получаем нормальное уравнение плоскости: .