§ 17. Уравнение прямой в пространстве.

1⁰. Уравнение прямой в произвольной аффиновой системе координат.

В предыдущем § было указано, что если две плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой. Поэтому в произвольной аффиновой системе координат уравнение прямой в следующем виде:

(1)

Плоскости ине параллельны. Условие не параллельности плоскостейиравносильно:(2)

Тогда система (1) при условии (2) представляет систему линейно независимых уравнений, совместную и имеет общее решение следующего вида: , (3)

где - частные решения (1),-ФСР соответствующей системы линейно ОУ.

Геометрически (3) означает, что т. , тогда т.получается прибавлением к радиус-вектору т.некоторого коллинеарного вектора,

Таким образом,, по аналогии с прямыми на плоскости, являетсянаправляющим вектором прямой. Система уравнений (1), удовлетворяющая условию (2) называется общим уравнением прямой в пространстве. Уравнение (3) называется векторно-параметрическим уравнением прямой в пространстве.

Рис.6.

Можно переписать в виде: , (3’)

где - радиус-вектор т.,- направляющий вектор.

Перепишем уравнение (3): (4)

- параметрическое уравнение прямой в пространстве .

Если исключить из (4) параметр t получим: (5)

- каноническое уравнение прямой в пространстве, (5) – пропорция.

Пример. , значит прямая лежит в плоскости.

Если иравны нулю, то прямая лежит в плоскостяхи, что означает есть линия пересечения плоскостей – прямая параллельная оси.

Если необходимо написать уравнение прямой, проходящей через две точки и.

- направляющий вектор

(6)

- уравнение прямой, проходящей через две точки.

Каждая прямая может быть представлена как линия пересечения двух плоскостей.

Уравнение прямой (5) также можно рассматривать как пересечение двух плоскостей, каждая из которых определяет плоскость параллельную одной из координатных осей.

Утверждение 1. Если прямая l задана как пересечение двух плоскостей системой (1), то вектор (7)

Является направляющим вектором l.

Доказательство.

Отметим, что в силу условия (2) вектор , определенный по формуле (7) должен быть равен 2. Определитель следующего вида, разложим по 1^ой строке:

, в силу утверждения 1 из предыдущего параграфа, означает, что параллелен плоскостями.

 параллелен и их пересечению  значит является направляющим вектором , ч.т.д.∎

Замечание. Если прямоугольная декартова система координат, то

Являются векторами нормали для плоскостей и.

- направляющий вектор искомой прямой, а его координаты вычисляются по формулам (7).

2⁰. Взаимное расположение двух прямых в пространстве.

Будем рассматривать прямые , заданные каноническими уравнениями:

(8)

(9)

Прямые либо пересекаются, либо параллельны (в частном случае совпадают), либо скрещиваются.

Для изучения взаимного расположения прямых вводят 3 основных вектора:

В случае параллельных или пересекающихся прямых существует плоскость, которой эти прямые принадлежат. Поэтому выполняется условие: (10)

 если прямые скрещиваются, то условие (10) не выполняется, т.е. справедливо

Утверждение 2. Прямые скрещиваются .

Если прямые пересекаются, то может решаться задача нахождения угла между прямыми. В этом случае угол определяется углом между направляющими векторами.

Е

сли, то возникает задача нахождения расстояния между ними:

Рис.7.

Плоскость, содержащая параллельные прямые имеет вектор нормали .

Чтобы построить перпендикуляр строим плоскость , содержащие эти прямые и плоскость,

Если прямые пересекаются, то плоскость, содержащая эти прямые в качестве вектора нормали имеет .

Если две прямые скрещиваются, то .

Кроме того, чтобы построить вектор нормали этих плоскостей, найдем . Расстояние между этими плоскостями равно расстоянию между скрещенными прямыми. Другой способ нахождения расстояния между скрещенными прямыми: найти высоту параллепипеда , построенного на векторахесли в качестве основания брать параллелограмм, построенный на векторах: .

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

СМ. ПРИЛОЖЕНИЯ

63