Контр. Раб. по математике
.doc; ; .
Следовательно
Задача 3. Определить при каком значении параметра k векторы и ортогональны.
Если векторы ортогональны, то их скалярное произведение равно нулю.
;
;
;
.
Задача 4. Даны вершины тетраэдра A, B, C, D. Найти высоту опущенную из вершины D. Определить угол, образуемый ребром AD с плоскостью основания.
Найдём координаты векторов: ; ; . Вычислим объём тетраэдра по формуле .
. Тогда .
Определим площадь основания тетраэдра .
Высоту определим из формулы : .
Вектор является вектором нормали плоскости основания тетраэдра. Из определения скалярного произведения и формул приведения следует, что . . Откуда находим .
Задача 5. Даны координаты вершин треугольника A(1, 2), B(-3, -1), C(4, -2). Составить уравнения сторон треугольника, уравнение медианы и высоты, проведенных из вершины A. Найти длину высоты, опущенной из вершины B. Сделать чертёж в плоскости xOy.
Составим уравнение сторон треугольника по формуле прямой проходящей через две данные точки .
AB:
АС:
ВС:
Высота , то есть вектор нормали основания является направляющим вектором высоты. Используя каноническое уравнение прямой , получим
Медиана АМ проходит через середину отрезка ВС точку М.
М или М( 0,5; -1,5). Тогда уравнение медианы АМ:
Длина высоты равна расстоянию от точки В до прямой АС. Это расстояние найдём по формуле : .
Задача 6. Определить тип кривых второго порядка и их основные параметры. Сделать чертёж.
-
-- окружность с центром в точке и радиусом равным пяти.
-
-- эллипс с центром в точке , большой полуосью b=12, малой полуосью a=7, расстояние от центра до фокуса .
Эксцентриситет эллипса: .
Директриса: .
-
- гипербола с центром в точке , мнимой полуосью b=4, действительной полуосью a=3, расстояние от центра до фокуса .
Эксцентриситет эллипса: .
Директриса: .
Асимптоты гиперболы:
4) - парабола с вершиной в точке и расстоянием от фокуса до директрисы 2. Ветви направлены в лево.
Задача 7. Найти угол между плоскостями и . Написать каноническое уравнение линии пересечения плоскостей.
Угол между плоскостями равен углу между их векторами нормали и . Тогда .
Тогда . Следовательно .
Вектор нормали искомой прямой это векторное произведение и :
.
Найдем точку принадлежащую прямой. Для этого решим систему : Одну координату зададим сами, например . Тогда Очевидно , что эта точка . Уравнение прямой найдем по формуле: .
Задача 8. Найти точку M пересечения прямой l: и плоскости π: Написать уравнение прямой, проходящей через точку A(1; -2; -1): а) параллельно данной прямой (l1 ); б) перпендикулярно данной плоскости ( l2 ). Найти точку B, симметричную данной точке A относительно данной плоскости.
Запишем параметрическое уравнение прямой l:
Решим систему Для этого подставим значения x, y, z из первых трех уравнений в четвертое, получим . Откуда Подставляя в систему найдём M(-1; 0; 1).
Если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны, то есть уравнение прямой l1:
Направляющий вектор прямой, перпендикулярной плоскости будет вектор нормали данной плоскости. Тогда l2:.
Точка B лежит на прямой l2. Середина отрезка AB – это точка О пересечения прямой и плоскости. Найдём её координаты. Для этого подставим значения x, y, z из первых трех уравнений в четвертое, получим . Откуда Подставляя в систему найдём О(0; 0; 0). С другой стороны координаты точки О, как середины отрезка . Приравняв соответствующие координаты и подставив в полученные формулы координаты точки А, получим В(-1; 2; 1).
ОСНОВНАЯ ЛИТЕРАТУРА:
-
Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. М., Наука, 1986. – 576 С.
-
Луканкин Г.Л., Мартынов Н.Н., Шадрин Г.А., Яковлев Г.Н. Высшая математика: пособие для студентов пединститутов. – М.: Просвещение, 1988. – 431 с.
-
Баврин И.И. Курс высшей математики. Учебник для студентов пединститутов. - М., Просвещение ,1992. – 400 с.
-
Пак В.В., Носенко Ю.Л. Высшая математика. – Донецк: Сталкер, 1997. – 599 с.
-
Шипачёв В.С. Курс высшей математики. Учебник. – М.: Проспект, 2004. – 600 с.
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
-
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М.: Айрис – Пресс, 2006. – 608 с.
-
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах (в двух частях). М., Высшая школа, 1980. – Ч.1. – 320 с., Ч.2. – 365 с.