Контр. Раб. по математике

2. Вычитание:

3. Умножение на число: . Если k >0, то ;

если k <0, то . Справедливы следующие свойства:

1); 2).

Теорема 1: Два ненулевых вектора и компланарны тогда и только тогда, когда существует число такое, что .

Теорема 2: В плоскости любой вектор можно разложить по двум данным некомпланарным векторам и , причем единственным образом: .

Теорема 3: Три вектора компланарны, когда один из них можно записать в виде линейной комбинации двух других.

Теорема 4: В пространстве R³ существует единственное разложение вектора по трем некомпланарным векторам, , :

Проекция вектора на ось и координаты вектора

Пусть в пространстве даны две точки А и В, через них проведем плоскости a и b, перпендикулярные оси l, которые пересекают ось в точках А₁ и В₁. Тогда вектор – это проекция вектора на ось l.

Скалярная проекция на ось – это число, равное по абсолютной величине длине вектора и взятое со знаком плюс, если сонаправлен с осью l и со знаком минус, если противоположно направлен.

Т.е.

Можно доказать, что скалярная проекция на l равна: , где .

1) ()=+

2) _где .

Пусть даны некомпланарные векторы: , , Î R³, тогда для любого вектора существуют такие числа x, y, z, что . Числа x, y, z – это координаты разложения вектора в базисе , , . Эти координаты являются скалярными проекциями вектора на оси, за единицу измерения которых взяты длины векторов , , соответственно. Если базисные векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину, то они определяют прямоугольно-декартовую систему координат в пространстве.

- радиус-вектор т. М

=(x; y; z)

Координаты т. М определяют как координаты её радиус-вектора.

Действия с векторами в координатной форме

Если , то _.

Длина этого вектора равна _.

Если , то .

Пусть , , тогда , а .

Из последней формулы имеем, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны, т.е. .

Пусть вектор образует с координатными осями углы , тогда где ­ направляющие косинусы вектора .

Вектор ­ орт вектора .

Векторы и сонаправлены и .

Очевидно, что , откуда имеем , , .

Скалярное произведение векторов, основные свойства

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними: .

Свойства:

1.

2.

3.

4. .

Доказательство: , где .

5. ; ()

6. Физический смысл скалярного произведения это работа по перемещению материальной точки по вектору под действием силы :

7. Если , то

Векторное произведение векторов

Три вектора образуют правую тройку если из конца вектора кратчайшее перемещение от к видно против часовой стрелки.

Векторным произведением двух векторов называется вектор перпендикулярный данным, образующий с ними правую тройку, а его длина равна произведению длин данных векторов, умноженному на синус угла между данными векторами: .

Свойства векторного произведения:

1.

2.

3. Если ; , то

Следствие:

4.

5. Если , то

6. Геометрический смысл векторного произведения: модуль векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на составляющих.

7. Физический смысл векторного произведения: векторное произведение угловой скорости на радиус–вектор движущийся по окружности точки равно линейной скорости этой точки.

Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов называют число равное векторному произведению двух векторов умноженному на вектор скалярно. Т.е.

Свойства смешанного произведения:

1. Если , , то

2. Геометрический смысл смешанного произведения: модуль смешанного произведения равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на составляющих.

3. Три ненулевых вектора компланарны тогда и только тогда когда их смешанное произведение равно нулю.

Различные уравнения прямой в плоскости

Прямая – это линия первого порядка, т.е. переменные x и y входят в уравнение линейно (в первой степени).

Основные уравнения прямой.

– это уравнение прямой, проходящей через две данные точки А(х₁, у₁) и В(х₂, у₂)..

=(m;n), уравнение прямой, проходящей через данную т. А, параллельную , запишется в виде: .

Пусть прямая l проходит через т. А (х₁, у₁), перпендикулярную :

a(x–x₁)+b(y–y₁)=0 – уравнение прямой, проходящей через данную точку, перпендикулярную данному вектору.

Если в последнем уравнении раскроем скобки, то получим общее уравнение прямой: ax+by+c=0.

Пусть прямая l отсекает на координатных осях отрезки p и q. A(p; 0); B(0; q) ­ точки пересечения с осями, тогда ­ это уравнение прямой в отрезках.

Уравнение прямой, проходящей через т. А(x₁; y₁) с заданным угловым коэффициентом имеет вид: y–y₁=k(x–x₁) (6).

Уравнение прямой, отсекающей на оси ОХ отрезок b с угловым коэффициентом k, запишется y=kx+b (7).

Если прямая l задана уравнением ax+by+c=0, то расстояние от точки М(x₀; y₀) до l можно найти по формуле: .

Взаимное расположение прямых.

Если l₁: a₁x+b₁y+c₁=0, а l₂: a₂x+b₂y+c₂=0 и если , то l₁ || l₂ ,

а если , то l₁ º l₂ , если a₁a₂+b₁b₂=0, то l₁ ^ l₂.

Кривые второго порядка, их канонические уравнения, параметры

Кривые второго порядка – это линии плоскости, уравнения которых по совокупности переменных х и у, являются уравнением второго порядка. ax²+by²+cxy+dx+ey+f=0, где a, b, c не все раны 0. Существует три типа таких кривых: эллипс (окружность), гипербола, парабола.

Окружность – это множество точек плоскости, каждая из которых равноудалена от центра С.

Если C(x₀; y₀), М(х, у) ­ точка окружности с текущими координатами и СМ=r, то уравнение окружности имеет вид: (x–x₀)²+(y–y₀)²=r²

Если С совпадает с началом координат, СºО ,то x²+y²=r ².

Эллипс – это множество точек плоскости, удовлетворяющих условию: сумма расстояний до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная: F₁M+F₂M=const

Если фокусы F₁ и F₂ расположить на оси ОХ так, чтобы F₁O=OF₂, F₁F₂=2с, a |MF₁|+|MF₂|=2a, a>с, тогда каноническое уравнение эллипса: , где F₁F₂ – фокальная ось, а – большая полуось, b – малая полуось, а b²=a²–c².

Из уравнения видно, что кривая симметрична относительно осей ОХ и ОУ. |x|<a; |y|<b, т.е. эллипс – фигура ограниченная и лежит внутри прямоугольника со сторонами 2а и 2b. Этот прямоугольник называется основным.

Эллипс имеет 4 вершины: А(0;0), A₂(–a;0), B₁(0;b), B₂(0;–b).

Эксцентриситет эллипса характеризует вытянутость эллипса вдоль оси Ох. При с®0, ®0, т.е. оси a и b отличаются между собой не значительно. Если с=0 (=0), то фокусы совпадают, то получаем частный случай эллипса – окружность.

Эллипс имеет две директрисы – это прямые, перпендикулярные фокальной оси, находящейся на расстоянии от центра.

Если центр эллипса находится в точке С(х₀, у₀),

то его уравнение:

Гипербола – множество точек плоскости, для которых разность расстояний для двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная.

Если |F₁M–F₂M|=const=2a, F₁F₂=2с, и лежат фокусы на Ох так что F₁O=OF₂, то каноническое уравнение гиперболы запишется в виде: , где а – действительная полуось, b – мнимая полуось, а b²=c²-a².

Из уравнения следует, что кривая симметрична относительно осей Ох и Оу.

Так как |a|³0, a>0, a£ |x| < +∞, 0£ |y| +∞.

Гипербола имеет две вершины: А₁(0,0), А₂(-а,0).

Гипербола имеет также две директрисы. Расстояние от центра до директрисы: d=a/E; E=c/a>1. Гипербола имеет 2 асимптоты. На чертеже это прямы, содержащие диагонали основного прямоугольника, их уравнение: y= ± x.

- сопряженная гипербола

Парабола – множество точек плоскости, которые равноудалены от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы). |KM|=|MF|.

Если расстояние от фокуса до директрисы равно К и если фокус лежит на оси Ох, а директриса перпендикулярна Ох, то каноническое уравнение параболы имеет вид:

у²=2рх у²=2рх

.

Если фокус принадлежит ОУ:

х²=2ру х²= –2ру

Если вершина находится в т. С(х₀, у₀), то каноническое уравнение имеет вид:

(x–x₀)²= ±2p(y–y₀)

(y–y₀)²= ±2p(x–x₀)

Различные уравнения плоскости

Пусть даны точки: M₁(x₁; y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂), M₃(x₃; y₃; z₃), M(x; y; z). Образуем векторы .Эти три вектора лежат в одной плоскости, они компланарны, а смешанное произведение компланарных векторов равно 0, т.е. . Если _,,

(1)

Если дана точка. А(x₀; y₀; z₀) и даны два направляющих вектора ₌(a_x; a_y; a_z) и

₌(b_x; b_y; b_z), которые параллельны плоскости ,тогда (2)

Если плоскость проходит через т. А(x₀; y₀; z₀) и плоскость перпендикулярна вектору =(a, b, c), а М(x, y, z) ­ произвольная точка плоскости, тогда _{. В координатной форме имеем}

a(x–x₀)+b(y–y₀)+c(z–z₀)=0 (3)

Если раскроем скобки в последнем равенстве, то получим общее уравнение плоскости: ax+by+cz+d=0 (4),

Уравнение плоскости в отрезках: если плоскость проходит через точки , и , то применяя уравнение (1) получим (5)

Взаимное расположение плоскостей.

Пусть , а , то

π ₁ || π ₂ Û

π ₁º π ₂ Û

π ₁^ π ₂ Û a₁a₂+b₁b₂+c₁c₂=0

Расстояние от т. А(x₀; y₀; z₀) до плоскости π: ax+by+cz+d=0 вычисляется по формуле

Уравнение прямой в пространстве.

Общее уравнение прямой: (1).

Пусть даны точки: M₁(x₁; y₁;z₁), M₂(x₂;y₂;z₂), M(x; y; z). Образуем векторы =(x–x₁; y–y₁; z–z₁); =(x₂–x₁; y₂–y₁; z₂–z₁)_{, которые , тогда} уравнение прямой, проходящей через две данные точки имеет вид (2)

Если прямая проходит через точку М(x₀; y₀; z₀), параллельно вектору =(m; n; p), т.е. , тогда получаем каноническое уравнение прямой:

(3)

Приравнивая (3) к параметру t, получаем параметрическое уравнение прямой:

Взаимное расположение прямых

Пусть даны прямые и .

Если L₁ || L₂, то _.

Если L₁^L₂, то m₁m₂+n₁n₂+p₁p₂=0.

Для того, чтобы определить являются ли прямые скрещивающимися необходимо вычислить определитель:

Если он не равен 0, то прямые скрещиваются.

Примеры решения задач

Задача 1. Даны два вектора и . Найти угол между ними и площадь треугольника построенного на этих векторах как на составляющих. Определить высоту треугольника, опущенную на сторону . Будут ли коллинеарны векторы и ?

Из определения скалярного произведения следует что .

Вычислим: ; ; .

Тогда . Следовательно .

Из свойств векторного произведения следует .

Вычислим векторное произведение . Тогда .

С другой стороны . Откуда следует .

Вычислим и .

Два вектора коллинеарны, если их координаты пропорциональны. В данном случае это условие не выполнено, так как .

Задача 2. Доказать, что векторы некомпланарны. Найти разложение по векторам .

Если векторы компланарны, то их смешанное произведение равно нулю. Вычислим смешанное произведение векторов.

, значит векторы компланарны.

Разложение вектора по векторам имеет вид . В координатной форме этому уравнению соответствует система Решим эту систему по правилу Крамера. ; ; ; .