ИсследОпераций

В результате столбцы, соответствующие базисным векторам a1, a2 , преоб-

разовались в единичные столбцы. Элементы остальных столбцов являются координатами соответствующих им векторов в базисе a1, a2 . Остается выяснить, ко-

эффициентом при каком базисном векторе в разложении по базису является каждая из полученных координат.

Для этого рассмотрим заключительную матрицу. Запишем над каждым ее столбцом обозначение соответствующего ему вектора

Рассмотрим поочередно столбцы, соответствующие базисным векторам a1, a2 . В каждом из них содержится только один ненулевой элемент. Перед стро-

кой, содержащей этот элемент, равный единице, поставим название того базисного вектора, который соответствует рассматриваемому столбцу. Получим

Таким образом, первая строка этой матрицы содержит координаты, соответствующие базисному вектору a2 , а вторая – вектору a1 . Теперь мы можем за-

писать разложения векторов b1, b2 по базису a1, a2 . Эти разложения имеют вид

b1 3a1 2a2; b2 2a1 1a2 .

В изучаемых далее темах часто приходится рассматривать базисы одного и того же линейного пространства, отличающиеся друг от друга по составу лишь одним вектором. Для построения таких базисов существенна следующая теорема.

Теорема (о замене базисного вектора). Пусть векторы a1, a2, ..., ak 1, ak , ..., an

образуют базис линейного пространства. Заменим в этом базисе какой-нибудь

из векторов (пусть ak ) некоторым вектором b из этого пространства. Тогда полученная система векторов

a1,a2 ,...,ak 1,b,...an

также будет базисом пространства в том и только том случае, если в разло-

жении

b 1a1 2a2 ... k 1ak 1 k ak ... nan

23

вектора b по исходному базису коэффициент при заменяемом векторе ak отли-

1)Доказать, что векторы a1, a2, a3 образуют базис R3 .

2)Разложить по этому базису векторы b1, b2 .

3)Выяснить, какие из векторов a1, a2, a3 можно заменить на вектор b1 так, чтобы получаемая система векторов оставалась базисом R3 .

4)Заменить в базисе a1, a2, a3 вектор a2 на вектор b2 и получить разложе-

ние остальных векторов по новому базису.

Р е ш е н и е. Чтобы получить ответ на вопрос 1, нужно доказать, что ранг матрицы системы векторов a1, a2, a3 равен трем.

Для ответа на вопрос 2 нужно, как и в предыдущем примере, рассмотреть

матрицу системы всех векторов a1, a2, a3, b1, b2 . Очевидно, это первая матрица яв-

ляется частью второй. Поэтому, чтобы не делать два раза одни и те же вычисления, выполним преобразования матрицы системы всех векторов, заданных в условии, а затем для ответа на вопрос 1 рассмотрим ту ее часть, которая соответствует векторам a1, a2, a3 .

Ведущие элементы исключения выбирались в различных строках и только тех столбцах, которые соответствуют векторам a1, a2, a3 .

1) Выделенная пунктирной рамкой матрица является матрицей системы векторов a1, a2, a3 . В результате выполнения жордановых исключений в ней ока-

залось три ненулевые строки. Следовательно, ее ранг равен трем. Поэтому векторы a1, a2, a3 линейно независимы и образуют базис R3 .

2) Рассмотрим теперь всю матрицу, полученную в результате вычислений.

Ее четвертый и пятый столбцы, соответствующие векторам b1, b2 , содержат координаты этих векторов в базисе a1, a2, a3 . Так же, как и в примере 3, рассмотрев

единичные столбцы последней матрицы, запишем перед каждой ее строкой обозначение соответствующего вектора

24

b 2a1 3a2 0a3 .

Коэффициенты этого разложения при векторах a1, a2 отличны от нуля. Следовательно, по теореме о замене базисного вектора, если в базисе a1, a2, a3 заменить

на b1 либо вектор a1 , либо вектор a2 , то получаемая при замене система векторов снова будет базисом R3 . Если же вектор b1 ввести в базис a1, a2, a3 вместо вектора a3 , то полученная система будет линейно зависима и поэтому не будет бази-

сом R3 .

4) Рассмотрим снова матрицу, полученную в результате преобразования матрицы системы всех данных векторов

В ней базисным векторам a1, a2, a3 соответствуют единичные столбцы, а осталь-

ные столбцы содержат коэффициенты разложения соответствующих векторов по этому базису.

Мы должны заменить в базисе a1, a2, a3 вектор a2 на вектор b2 и получить разложение остальных векторов b1, a2 по новому базису a1, b2 , a3 . Для этого нужно при помощи жордановых исключений преобразовать эту матрицу так, чтобы единичные столбцы соответствовали всем векторам нового базиса a1, b2 , a3 . Чтобы пятый столбец, соответствующий вводимому в базис вектору b2 , преобразо-

вался в единичный, ведущий элемент исключения должен находиться в этом столбце. Столбцы, соответствующие остальным векторам a1, a3 нового базиса и

так являются единичными. Чтобы они не изменились при выполнении жорданова исключения, ведущий элемент должен быть выбран в третьей строке, соответ-

25

ствующей вектору a2 , выводимому из базиса. Таким образом, для получения

матрицы требуемого вида нужно выполнить жорданово исключение с ведущим элементом, расположенном в третьей строке и пятом столбце

Расставив у столбцов и строк полученной матрицы названия соответствующих им векторов

запишем разложения векторов a2 , b1 по новому базису a1, b2 , a3 :

a2 1a1 4b2 1a3; b1 5a1 12b2 3a3 .

З а м е ч а н и е. Жорданово исключение, выполненное над матрицей системы векторов при ответе на вопрос 4 примера 4, принято называть преобразованием однократного базисного замещения. Сформулируем общее правило для выбора ведущего элемента для этого преобразования.

Правило. Пусть матрица системы векторов, включающей в себя некоторый базис, преобразована при помощи жордановых исключении так, что базисным векторам соответствуют единичные столбцы (тогда столбцы, соответствующие остальным векторам, состоят из координат этих векторов в данном базисе). Для того чтобы, заменив в базисе один из векторов на другой вектор заданной системы, получить разложение остальных векторов по новому базису, нужно выполнить жорданово исключение с ведущим элементом, расположенным в столбце, соответствующем вводимому в базис вектору, и в строке, соответствующей век-

висимых векторов. Из данных векторов можно образовать четыре различающихся по составу тройки векторов:

1) a1, a2, a3 ; 2) a1, a2, a4 ; 3) a1, a3, a4 ; 4) a2, a3, a4 .

Но не обязательно каждая из этих троек будет базисом R3 , так как некоторые из них могут оказаться линейно зависимыми.

26

Чтобы не исследовать на линейную зависимость, каждую из троек в отдельности, составим матрицу системы всех данных векторов и при помощи жордановых исключений преобразуем три столбца этой матрицы в единичные столбцы

В результате вычислений столбцы, соответствующие векторам a1, a2, a3

преобразовались в единичные. Значит, ранг матрицы системы этих трех векторов равен трем. Следовательно, тройка векторов a1, a2, a3 линейно независима и яв-

ляется базисом R3 . Четвертый столбец полученной матрицы определяет разло-

4) a2, a3, a4 . Каждая из этих троек отличается от уже найденного базиса a1, a2, a3

только одним вектором.

Так, чтобы получить тройку a1, a2, a4 нужно в базисе a1, a2, a3 заменить вектор a3 на a4 . Но в найденном разложении a4 по базису a1, a2, a3 коэффициент при выводимом из данного базиса вектора a3 отличен от нуля. Следовательно, согласно теореме о замене базисного вектора, тройка векторов a1, a2, a4 является базисом R3 .

Проводя аналогичные рассуждения для двух оставшихся троек, получаем, что тройка a1, a3, a4 – линейно зависима, а тройка a2, a3, a4 образует базис R3 .

Таким образом, базисом пространства R3 является каждая из троек

1) a1, a2, a3 ; 2) a1, a2, a4 ; 3) a2, a3, a4 .

Приведем некоторые факты и определения из теории выпуклых множеств, элементы пространства En будем называть векторами или точками.

Определение 1. Пусть точки x, y En . Отрезком с концами в точках x и y

27

Определение 2. Множество X En называется выпуклым, если с каждыми двумя своими точками x, y X оно содержит и отрезок, соединяющий эти точки,

Пример 2. В пространстве E2 треугольник, круг – выпуклые множества, а

круговой сектор с углом больше 180 (но меньше 360 ) не является выпуклым множеством.

З а м е ч а н и е. Множество, состоящее из одной точки X x , принято считать выпуклым.

Основные свойства выпуклых множеств

1o. Пересечение двух выпуклых множеств – выпуклое множество.

Следствие. Пересечение конечного числа выпуклых множеств – выпуклое множество.

Определение 3. Гиперплоскостью с нормальным вектором a En будем

– уравнение гиперплоскости с нормальным вектором a En .

28

Определение 7. Пусть даны точки x1, x2, ..., xn En . Выпуклой комбинацией этих точек назовем сумму

Теорема 1 (о представлении точек выпуклого ограниченного множества). Любая точка выпуклого ограниченного множества может быть представлена в виде выпуклой комбинации конечного числа угловых точек этого множества.

Пример 1. Определить, лежит ли точка c 3,2,5 на отрезке a,b , где

a 3,6,9 , b 6,0,3 .

Пример 2. Используя теорему о представлении (теорема 1), выразить точку x 3,1 через вершины области (угловые точки) решений следующей системы

неравенств

Р е ш е н и е. Область решений этой системы представляет собой треугольник с вершинами a 1,0 , b 3,5 и c 6, 1 . Согласно теорема о представлении точек выпуклого многогранника, можно записать

x 1a 2b 3c ,

где i 0, i 1,3, 1 2 3 1.

30

Пример 1. Дана система

решением. Записать данную систему в векторной форме и указать среди заданных решений опорные решения этой системы.

Р е ш е н и е. В данной системе число уравнений m 2 ,

Рассмотрим первое решение этой системы x 1 0,2,0,1 . В нем отличны от нуля две компоненты x2 и x4 . Соответствующие векторы A2 и A4 линейно не-

зависимы. Следовательно, x 1 невырожденное опорное решение.

Решение x 2 также является опорным. Но это вырожденное опорное решение, так как в нем только одна ненулевая компонента x1 .

Решение x 3 заведомо не является опорным, так как содержит три ненулевых компоненты, а всякие три векторы в пространстве R2 линейно зависимы.

Определение. Базисом опорного решения системы уравнений называется такой набор из m линейно независимых столбцов Ak , который включает в себя

все столбцы, соответствующие ненулевым компонентам этого опорного решения. Так как невырожденное опорное решение содержит точно m ненулевых компонент, то его базис всегда единственен. Базис вырожденного опорного ре-

шения определен неоднозначно.

Так в примере 1 базис опорного решения x 1 составляют столбцы A2 , A4 , а

базис вырожденного опорного решения x 2 может быть выбран тремя различными способами: либо столбцы A1, A2 , либо – A1, A3 , либо – A1, A4 .

Если задан базис опорного решения, то само это решение определяется всегда однозначно. Для этого нужно положить все неизвестные, соответствующие столбцам, не входящим в базис, равными нулю и, решая оставшуюся систему, найти значения остальных неизвестных.

Пример 2. Найти все опорные решения системы

2x1 3x2 4x3 1,x1 2x2 2x3 10.

32