ИсследОпераций

Задача 1

Задача 2

min z c , x

max z2

b

, y

(5.7)

1

AT x

A y c

b

x 0

y 0

1

1

v

;

(5.8)

z1min

z2 max

P vx

; Q v y .

опт

опт

2

1

3

A

1

2

4

.

2

2

2

2

1

A1

2

2

.

5

2

A

1

5

.

Задача 1

Задача 2

min z1 x1 x2 ,

max z2 y1 y2 ,

5x1 x2 1,

y1 0,

y2 0,

2x1 5x2 1,

x1 0,

5 y1 2 y2 1,

x2 0.

y1 5 y2 1.

4

3

3

4

xопт

,

,

yопт

,

23 23

23 23

и соответствующие значения целевых функций

z

z

7

.

2 max

1min

23

Теперь по формулам (5.8) определяем цену игры, заданной матрицей A ,

v

23

и

7

4

3

3

4

оптимальные стратегии ее участников

P

,

,

Q

,

.

7

7

7

7

б) u 2z z2

4

8

2xy .

x

y

О т в е т:

а) 2,1 – локальный минимум,

2, 1 – локальный максимум;

б) 1, 2,1 – локальный максимум.

2. Найти наименьшее значение данной функции в заданной области

а)

z x2 y2 2x y в области x2

y2

5 ;

б) u x 2y 2z в области x2 y2

z2

9 ;

в)

z 4x 6y x2 y2 в области x2 y2 52 .

О т в е т: а) zmin 0 при x 2, y 1;

б) umin 9 при x 1,

y 2, z 2 ;

в)

zmin 104 при x 4, y 6 .

a) min 2x1 5x2

x3 ,

б) max x1 4x3 ,

2x1 5x2 x3 1,

x1 4x2 x3 5,

2x2

3x3 7,

x1

2x1 x2 x3

1,

2x x 2x 4,

x1 0, x2 0;

1

2

3

xk 0,

k 1,3.

4. Данную каноническую ЗЛП свести к равносильной стандартной задаче

минимизации, содержащей лишь две переменные

min 2x1 x2 x3

3x4

,

x 2x 2x x 1,

1

2

3

4

,

2x1 6x2 5x3 3x4 2,

xk 0,

k 1,4.

a) min z 4x1 x2 ,

б) max z 2x1 x2 ,

x x 3,

x x 2,

1

2

1

2

2x1 3x2 12,

x1 x2 2,

x x 1,

x 3x 9,

1

2

1

2

x1 0,

x2 0;

x1 0,

x2 0;

min

г) min z x

x

x

3x ,

в)

max z x1

x2 3x3 ,

max

1

2

3

4

x1 3x2 2x3 x4 16,

x1 x2 x3

x5 2,

x1 2x2 2x3 2x4 x5 6,

3x2

x3

x4

14,

2x1

2x

x

x

4x

4x 10,

xk 0,

k 1, 4;

1

2

3

4

5

xk 0,

k 1,5.

О

т

в

е т:

а)

zmin 2,

xопт 1,2 ;

б) задача

неограничена

zmax ;

в)

zmax 22,

xmax 4,0,6,0 ,

zmin 5,

xmin 0,5,0,1 ;

г)

zmin 4 ,

xmin 0,3,1,0, 2 ,

zmax 11,

xmax 5,0,0,2,3 .

x 3x x

2x

7,

1

2

3

5

2x2

4x3

x4

12,

4x2

3x3

8x5 x6

10,

xk 0,

k 1,6;

б) min z x1 2x2

x3,

в) max z x1 x2 ,

x1 x2 x3

2,

2x1 x2 2,

x4 1,

x1 2x2

2,

x1 x2

xk 0,

x1

x2

5,

k 1,4;

x1 0,

x2

0.

О т в е т:

а) zmin 11,

xопт 0,4,5,0,0,11 ;

б) задача неограничена;

в) zmax 3,

xопт 4,1 .

127

7. Двухфазным симплекс-методом решить следующие ЗЛП:

a) min z x1 x2 x3,

б) min z 2x2

x3 ,

x1 x2 x3 2,

3x1 x2 2x3 1,

x3 5,

3x1 x2 x3 0,

2x1 2x2

xk 0, k 1,3;

xk 0, k 1,3;

в) min z 2x1 x2 x3,

г) max z 4x1 2x2 3x3,

2x1 x2 x3 2,

2x1 x2 x3 2,

x1 2x2 x3 12,

x1 2x2 x3 5,

xk 0,

k 1,3;

xk 0,

k 1,3.

О т в е т:

а)

zmin 4,

xопт 1,3,0 ; б) задача недопустима;

в) zmin 18,

xопт 0,10,8 ;

г)

zmax 16,

xопт 1,0,4 .

Задачи к главе 4

8. Построить двойственные задачи к следующим ЗЛП:

a) min z 2x

x

4x ,

б) max z 4x1 3x3,

1

2

3

3x x x 5,

5x1 x2 2x3 1,

1

2

3

x3 9,

x2 4x3 12,

2x1 4x2

3x1

x

0,

x

0;

2x

x

3x 3,

1

2

3

1

3

x2 0.

9. Используя критерий Канторовича, исследовать на оптимальность задан-

ные планы x0

следующих ЗЛП:

a) min z x1 2x2

x3,

б) max z 2x1 x2

x3,

2x1 x2 x3 6,

3x1 x2 2x3 2,

x1 3x2 x3 2,

x1 2x2 x3 10,

4x 3x 2x 5,

2x 3x 3x 3,

1

2

3

1

2

3

x1 0,

x3 0,

x1 0,

x2 0,

x0 0,4,10

;

x0 0,4,3 .

О т в е т:

а) план x0 оптимален; б) план x0

не оптимален.

10. Для данной ЗЛП составить двойственную задачу и, решив одну их этих

задач, найти решение другой

a) max z x1 2x2 x3,

б) min z 4x1 4x2 x3,

x 2x x 2,

2x x x 1,

1

2

3

1

2

3

2x1 x2

x3 12,

x1 2x2

x3 1,

xk 0,

k 1,3;

xk 0, k 1,3.

xопт 10,0,8 ,

О т в е т: а) zmax zmin 18,

yопт 3,2 ; б) zmin zmax 3 ,

xопт 2 / 3, 0,1 / 3 ,

yопт 1, 2 .

11. Двойственным симплекс-методом решить следующие ЗЛП:

a) min z x1 x2

3x3 ,

б) min z 4x1 x2 2x3 x4 ,

2x1 x2 x3 x4

3,

2x1 x2 3x3

4,

2x3 2x4 x5 2,

2x3 x4

3,

x1

x1

xk 0,

k 1,5;

xk 0,

k 1,4.

О т

в

е

т:

а) zmin 2,

xопт 0,2,0,1,0 ;

б) zmin 72 / 7 ,

xопт 17 / 7, 0, 2 / 7, 0 .

a) min z x1 2x2 ,

б) min z 2x1 3x2 ,

2x 3x 7,

x 2x 11,

1

2

1

2

x1 5x2 8,

2x1 x2 8,

x1 0,

x2 0

целые;

x1 0,

x2

0 целые.

О т в е т: а) zmin 4,

xопт 2,1 ;

б) zmin 19,

xопт 5,3 .

а) a1 18,

a2 17,

a3

15,

б) a1 42,

a2 31,

a3 27,

b1 20,

b2 20,

b3

10,

b1 30,

b2 40,

b3 50,

5

2

3

5

4

3

c

4

7

7

;

c

3

6

2

.

3

6

5

4

5

3

О т в е т:

а)

zmin 175;

б) zmin 319.

129

Задачи к главе 7

Найти решение игры с платежной матрицей.

2

3

2

1

2 2

1

3

A

.

1

2

3

0

1

1

4

2

3

5

5

3

О т в е т. Оптимальные стратегии

P

, 0,

, 0

и Q

,

, 0, 0

; цена

8

8

8

8

игры v

1

.

8

учебное пособие / Е.С. Вентцель – М.: Изд-во «КноРус», 2004.

2. Кремер,

Б.А. Исследование операций в экономике:

учебное пособие

/ Н.Ш. Кремер,

Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман;

под ред. проф.

1 1

1

1

3

5 2

1

1

2

4

1

2

2

4

1-2.

1

1

2

2

1-1.

X

.

X

3 .

4 0

2

1 6

4 0

1

4

1

6

1

8

3

2

1

1

3 3

5

1-3.

1 4

3

0

2

1-4.

1

2 2

2

X

3 .

X

.

5

1

7

2

1

4 4

1

0 1

5

4

3

4

2

1

5 3

3

5 7 .

1-5.

2

2

2

X

3

5

.

1-6. X

1

1

1

1 5

1

1

2

1

1 1

3 3

2

1 2

3

1

1

2

1

0 2

1

2 3

1-7. X

3 8

3

.

1-8. X

2

1 0

.

1 2

1

2 3

1

2

3 1

3

1 5

0

1

1

1 0

1

1

3

1

2

3 1

1-9.

1

0

2

1-10.

X

3

2

X

.

1

.

1

2

0

2 3

4

1

1

3

2 1

1

2,5, 1 ,

a2 1,2,3 ,

a3 2, 1,2 ,

2-1.

a1

b1 1,1,10 ,

b2 3,14,11 .

2, 2, 1 ,

a2 7,2, 3 , a3 3,1,2 ,

2-2.

a1

b1 2,1,9 ,

b2 7,10,4 .

3,1, 2 ,

a2 2,2, 3 ,

a3 3,4,2 ,

2-3.

a1

b1 5, 1,0 ,

b2 7, 4,13 .

3,4, 2 ,

a2 1,3,5 ,

a3 2, 5,2 ,

2-4.

a1

b1 5,2, 2 ,

b2 3,2,17 .

132