ИсследОпераций
.pdfНа втором этапе находится решение x2 ЗЛП с дополнительно введенным ограничением. (Здесь удобно использовать двойственный симплекс-метод). Если точка x2 не является целочисленной, то вводится новое правильное отсечение и
т.д. до тех пор, пока решение очередной ЗЛП не будет удовлетворять требованию целочисленности.
Конкретные алгоритмы различных методов отсечения определяются конкретными способами построения правильных отсечений. Наиболее известны алгоритмы Гомори и их модификации.
Методы отсечения позволяют использовать для решения целочисленных ЗЛП обычные методы линейного программирования. К недостаткам методов отсечения относятся необходимость учета все большего числа ограничений и чувствительность к ошибкам округления.
§ 2. Построение правильного отсечения методом Гомори
Как известно, целой частью вещественного числа a называется наибольшее целое число, не превосходящее a . Дробной частью числа a называется разность между этим числом и его целой частью. Целая и дробная части числа a обозначаются соответственно a и a . Очевидно, что для любого вещественного чис-
ла a |
0 a 1 |
и a a a . Так, например, 5,3 5 , |
5,3 0,3 и |
5,3 5,3 5,3 ; |
3,6 4, 3,6 0,4 и 3,6 3,6 3,6 . |
Рассмотрим предложенный Гомори метод построения правильного отсечения для полностью целочисленных ЗЛП. Не умаляя общности рассуждений, ограничимся случаем ЗЛП с четырьмя переменными и двумя ограничениями
min z c , x |
, |
x E4 , |
|
||
Ax B, |
B E2 , |
(2.1) |
|||
x 0, |
|
|
|
|
|
на все переменные которой наложено требование целочисленности |
|
||||
|
|
|
|
|
|
xk – целые, |
k 1, 4 . |
(2.2) |
Отбросив условие целочисленности (2.2), получим каноническую ЗЛП (2.1). В предположении, что решение этой задачи существует, решим ее сим- плекс-методом.
Рассмотрим завершающую симплексную таблицу и запишем соответствующую ей простейшую систему ограничений, которая имеет, например, вид
a x a x x |
b , |
|
|||||
|
11 |
1 |
12 |
2 |
3 |
1 |
(2.3) |
a21x1 a22 x2 |
|
x4 b2. |
|
93
Известно, что система (2.3) равносильна системе ограничений задачи (2.1), а ее основное опорное решение x 0, 0, b1, b2 является оптимальным планом зада-
чи (2.1).
Теорема 2.1. Если число bk ( k 1 или 2) – нецелое, то неравенство
ak1 x1 ak 2 x2 bk
является правильным отсечением. |
|
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть b1 – нецелое число (случай, когда b2 |
– неце- |
лое, аналогичен). Проверим, что неравенство |
|
a11 x1 a12 x2 bk |
(2.4) |
удовлетворяет всем требованиям, содержащимся в определении правильного отсечения.
Подставив компоненты плана x в неравенство (2.4), получим 0 b1 , что невозможно, так как по условию b1 – нецелое и, следовательно, b1 0. Значит,
оптимальный нецелочисленный план задачи (2.1) не удовлетворяет неравенству
(2.4).
Пусть теперь x x1, x2, x3, x4 – произвольный целочисленный план задачи
(2.1), (2.2). Его компоненты удовлетворяют системе ограничений задачи (2.1), а, следовательно, и равносильной ей системе (2.3). Подставив компоненты плана x в первое уравнение системы (2.3), запишем коэффициенты этого уравнения в виде суммы их целых и дробных частей
a11 a11 x1 a12 a12 x2 x3 b1 b1 .
Перепишем полученное равенство следующим образом
a11 x1 a12 x2 x3 b1 b1 a11 x1 a12 x2 . |
(2.5) |
Левая часть равенства (2.5) является целым числом, тогда и правая часть – целое число. Кроме того
b1 a11 x1 a12 x2 b1 1. |
(2.6) |
Учитывая неравенство (2.6) и доказанную целочисленность его левой части, получаем, что
b1 a11 x1 a12 x2 0
или
a11 x1 a12 x2 b1 .
Таким образом, все целочисленные планы задачи (2.1), (2.2) удовлетворяют
неравенству (2.4), а для компонент плана x это неравенство не выполняется. Следовательно, неравенство (2.4) является правильным отсечением.
94
§ 3. Алгоритм метода Гомори
Пусть дана полностью целочисленная ЗЛП. Процесс ее решения методом Гомори включает следующие этапы:
1.Используя симплекс-метод, находим решение исходной ЗЛП без учета требования целочисленности переменных.
2.Если все элементы столбца B завершающей симплексной таблицы целые числа, то основной опорный план, построенный по этой таблице, является оптимальным решением исходной целочисленной ЗЛП.
3.Если же в столбце B завершающей таблицы содержатся нецелые числа, то выбираем среди них компоненту с наименьшим порядковым номером и рассматриваем соответствующую ей строку симплексной таблицы. Пусть эта строка имеет вид
|
ae1 |
ae2 |
|
… |
aen |
|
be |
|
|
По выбранной строке записываем правильное отсечение |
|
||||||||
|
ae1 x1 ae2 x2 |
... aen xn bn . |
(3.1) |
||||||
Вводя неотрицательную дополнительную переменную |
xn 1 , |
преобразуем нера- |
венство (3.1) в равенство. Изменяя знак у обеих частей полученного равенства (так чтобы новая переменная xn 1 входила в него с коэффициентом 1), приведем
его к виду
ae1 x1 ae2 x2 ... aen xn xn 1 be . |
(3.2) |
4. Используя двойственный симплекс-метод, находим оптимальное решение задачи, получающейся из решенной нецелочисленной задачи в результате добавления к ее системе ограничений построенного равенства (3.2). Исходная для применения двойственного симплекс-метода таблица получается из завершающей симплексной таблицы предыдущего этапа добавлением к ней строки, соответствующей ограничению (3.2), и столбца новой базисной переменной xn 1 . Ре-
шив полученную ЗЛП, возвращаемся к этапу 2 данного алгоритма.
З а м е ч а н и е. Можно доказать, что если у полностью целочисленной ЗЛП все коэффициенты целевой функции – целые числа, а допустимое множество (без условия целочисленности) ограничено, то описанный алгоритм приводит к оптимальному решению этой задачи за конечное число шагов.
Пример 1. Решить ЗЛП
min z 3x1 x2 ,
4x1 x2 5, |
|
|
|
x2 2, |
|
|
|
|
xk 0, |
xk целые, |
k 1, 2. |
|
95 |
|
Р е ш е н и е. Применяя метод Гомори, решаем сначала данную ЗЛП без учета требования целочисленности переменных. Для этого преобразуем задачу к канонической форме
min z 3x1 x2 ,
5,
x x 2,
2 44x1 x2 x3
|
|
|
xk 0, |
k 1,4 |
инайдем симплекс-методом ее решение (табл. 9).
Встолбце B завершающей симплексной таблицы есть нецелые числа. Поэтому нужно перейти к новой ЗЛП, добавив к системе ограничений задачи (3.3) правильное отсечение
1 |
x |
|
3 |
x |
|
3 |
, |
(3.4) |
|
|
|
||||||
4 |
3 |
|
4 |
4 |
|
4 |
|
|
записанное по первой строке завершающей симплексной таблицы (табл. 9). Преобразовав неравенство (3.4) к виду
|
1 |
x |
|
3 |
x |
x |
|
3 |
x |
0 , |
(3.5) |
|
|
|
|||||||||
|
4 |
3 |
|
4 |
4 |
5 |
|
4 |
5 |
|
|
составим первую симплексную таблицу новой задачи (табл. 10). Она получается из завершающей таблицы (табл. 9) добавлением строки соответствующей новому ограничению (3.5) и столбца переменной x5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
cбаз |
|
xбаз |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
|
B |
|
|
3 |
1 |
0 |
0 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
|
x3 |
4 |
1 |
1 |
0 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x4 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
z |
3 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
1 |
1 / 4 |
1 / 4 |
0 |
|
5 / 4 |
|
|
|
|
|
x4 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
0 |
1 / 4 |
3 / 4 |
0 |
|
15 / 4 |
3) |
|
|
|
x1 |
1 |
0 |
1 / 4 |
1 / 4 |
|
3 / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
0 |
0 |
3 / 4 |
1 / 4 |
|
17 / 4 |
96
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xбаз |
x1 |
x2 |
x3 |
|
x4 |
|
x5 |
|
B |
x1 |
1 |
0 |
1 / 4 |
|
1 / 4 |
|
0 |
|
3 / 4 |
x2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x5 |
0 |
0 |
1 / 4 |
|
3 / 4 |
|
1 |
|
3 / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
0 |
0 |
3 / 4 |
|
1 / 4 |
|
0 |
|
17 / 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя двойственный симплекс-метод, получаем следующую таблицу.
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
xбаз |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
B |
x1 |
1 |
0 |
1 / 3 |
0 |
1 / 3 |
1 |
x2 |
0 |
1 |
1 / 3 |
0 |
4 / 3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
0 |
0 |
1 / 3 |
1 |
4 / 3 |
1 |
z |
0 |
0 |
2 / 3 |
0 |
1 / 3 |
4 |
Так как |
все элементы столбца B в табл. 11 – целые числа, план |
|
x 1,1, 0,1, 0 |
оптимален не только для построенной ЗЛП, но и для исходной за- |
|
дачи. Таким образом, для данной целочисленной ЗЛП |
||
|
xопт 1,1 , |
zmin 4. |
97
ГЛАВА 6. ТРАНСПОРТНАЯ ЗАДАЧА
§ 1. Постановка транспортной задачи
Симплекс-метод является универсальным методом решения ЗЛП, но число его итераций, необходимых для нахождения оптимального плана, может быть весьма большим. Вместе с тем многие широко распространенные на практике классы ЗЛП имеют особенности, которые позволяют получить для них принципиально новые методы решения. К таким задачам относится, в частности, транс-
портная задача (в дальнейшем ТЗ), которая формулируется следующим образом. |
|||||
|
Пусть m поставщиков располагают ai i |
|
единицами некоторой про- |
||
1, m |
|||||
дукции, которая должна быть |
доставлена n потребителям в количествах b j |
||||
j |
|
. Известны стоимости cij |
перевозки единицы продукции от i -го постав- |
||
1, n |
щика к j -му потребителю. Требуется установить такие объемы перевозок xij от
каждого поставщика к каждому потребителю, чтобы суммарные затраты на перевозки были наименьшими и потребности всех потребителей были бы удовлетворены (если только общий объем возможных поставок покрывает объем потребностей).
m
Очевидно, что общий объем возможных поставок продукции равен ai , а
|
|
i 1 |
n |
|
|
объем потребностей – bj . Если выполняется равенство |
|
|
j 1 |
|
|
m |
n |
|
ai bj , |
(1.1) |
|
i 1 |
j 1 |
|
т.е. сумма возможных поставок в точности равна сумме потребностей, то соответствующая ТЗ называется закрытой. Если же равенство (1.1) не выполняется, то говорят об открытой ТЗ.
Обычно условие закрытой ТЗ записывают в виде транспортной таблицы (табл. 12).
Каждая клетка этой таблицы (исключая правый столбец клеток и нижнюю их строку) соответствует определенной паре поставщик-потребитель. В левый верхний угол каждой клетки заносится стоимость перевозки единицы продукции cij по соответствующему маршруту, а в правый нижний угол – объем соответ-
ствующей перевозки xij .
Отметим очевидные свойства транспортной таблицы (табл. 12):
1)сумма значений xij в клетках i -ой строки равна ai ;
2)сумма значений xij в клетках j -го столбца равна b j ;
98
3) сумма элементов последнего столбца равна сумме элементов последней строки.
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 12 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c11 |
c12 |
|
c13 |
|
… |
|
c1n |
|
a1 |
|
|
|
x11 |
x12 |
|
x13 |
|
x1n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
c21 |
c22 |
|
c23 |
|
… |
|
c2n |
|
a2 |
|
|
|
x21 |
x22 |
|
x23 |
|
x2n |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
… |
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cm1 |
cm2 |
|
cm3 |
|
… |
|
cmn |
|
am |
|
|
|
xm1 |
xm2 |
|
xm3 |
|
xmn |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
b1 |
b2 |
|
b3 |
|
… |
|
bn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим математическую модель закрытой ТЗ. Так как от i -го поставщи- |
||||||||||||
ка к j -му потребителю запланировано перевезти xij |
единиц продукции, то стои- |
|||||||||||
мость такой перевозки составит |
cij xij . Стоимость же всех перевозок выразится |
|||||||||||
двойной суммой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
z cij xij . |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|
|
Систему ограничений получаем из следующих условий закрытой ТЗ: а) все запасы продукции у поставщиков должны быть вывезены, т.е.
n
xij ai , i 1, m ;
j 1
б) все запросы потребителей должны быть удовлетворены, т.е.
m |
|
|
|
xij bj , |
|
|
|
j 1, n . |
|||
i 1 |
|
|
|
Таким образом, математическая модель закрытой ТЗ имеет следующий вид
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
min z cij xij , |
||||||||||
|
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xij ai , |
i 1, m; |
|||||||||
j 1 |
|
|
|
|
(1.2) |
|||||
|
|
|
|
|
||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1, n, |
|||||||
xij bj , |
|
|||||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
xij 0, |
i 1,m; |
j 1,n . |
||||||||
|
99 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что это каноническая ЗЛП с m n переменными и m n ограничениями.
Любая открытая ТЗ может быть сведена к равносильной закрытой ТЗ введением фиктивного поставщика или потребителя. В случае превышения запасов
|
|
|
|
m |
n |
|||
продукции над ее потребностями, т.е. |
ai |
bij , вводится фиктивный n 1 -й |
||||||
|
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|||
|
|
|
m |
|
n |
|
|
|
потребитель с потребностью bn 1 ai bj и соответствующие стоимости cij |
||||||||
|
|
|
i 1 |
|
j 1 |
|||
считаются равными нулю: ci n 1 0 |
i |
|
. |
|||||
1, m |
||||||||
|
m |
n |
|
|
|
|
|
|
Аналогично, при |
ai |
bj |
вводится фиктивный m 1 -й поставщик с |
|||||
|
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
m |
|
со стоимостями cm 1, j 0 j |
|
. |
||
запасом продукции am 1 |
bj ai |
|
||||||
1, n |
||||||||
|
j 1 |
i 1 |
|
|
|
|
|
|
§ 2. Разрешимость закрытой ТЗ
Теорема 2.1. Любая закрытая ТЗ имеет решение.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана задача (1.2), у которой
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
ai bj S 0 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Тогда величины xij |
aibj |
|
i |
|
|
|
; |
|
j |
|
являются планом этой ТЗ, так как они |
||||||||||||||||
|
1, m |
1,n |
|||||||||||||||||||||||||
S |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удовлетворяют ее системе ограничений. Действительно, |
подставляя значения xij |
||||||||||||||||||||||||||
в систему ограничений задачи (1.2), находим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
n |
|
n |
a b |
|
|
|
|
a |
|
n |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
xij |
j |
|
|
|
|
bj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
i |
S ai , |
i 1,m . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
j 1 |
j 1 |
S |
|
|
|
|
S |
|
j 1 |
|
|
S |
|
|
|
|
|
||||||||||
m |
|
m |
a b |
|
|
|
|
b |
|
|
m |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
xij |
|
|
|
|
|
|
|
ai |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i |
j |
|
|
j |
|
|
|
j |
|
|
S bj , |
j 1,n . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
i 1 |
i 1 |
S |
|
|
|
|
S i 1 |
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Выберем из чисел cij наибольшее c и, |
заменив в целевой функции задачи |
||||||||||||||||||||||||||
(1.2) все коэффициенты на c , получим, что для любого плана этой задачи |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
n |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
n |
|
(2.1) |
||||||||
|
z cij xij c xij |
c S . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
i 1 |
j 1 |
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
j 1 |
|
|
|
|
|
Кроме того очевидно, что
100
m |
n |
|
z cij xij 0 . |
(2.2) |
|
i 1 |
j 1 |
|
Объединяя неравенства (2.1), (2.2) в одно двойное, получаем, что для любого
плана задачи (1.2)
0 z c S .
Таким образом, допустимое множество задачи (1.2) не пусто, а ее целевая функция ограничена на этом множестве. Следовательно, по теореме 3.1 главы 2 задача 2.1 имеет решение.
§3. Понятие цикла. Теорема о существовании цикла
Оп р е д е л е н и е. Конечный упорядоченный набор различных клеток транспортной таблицы будем называть циклом, если
1) в этом наборе не менее четырех клеток; 2) любые две последовательные клетки данного набора, включая послед-
нюю и первую, расположены в одном ряду (строке или столбце) таблицы; 3) никакие три последовательные клетки этого набора не находятся в одном
итом же ряду таблицы.
Так, например, в табл. 13 размером 5 6 циклами являются следующие наборы клеток:
1)(1,1), (1,2), (4,2), (4,1);
2)(4,4), (4,6), (1,6), (1,5), (5,5), (5,4).
Если соединить центры последовательных клеток цикла прямолинейными отрезками, мы получим, возможно, самопересекающуюся замкнутую ломаную линию, в каждой вершине которой встречаются два ее звена (горизонтальное и вертикальное).
|
|
|
|
|
|
Таблица 13 |
||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
5 |
6 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
… |
… |
|
|
|
|
… |
… |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
… |
… |
|
… |
….. |
… |
|
|
||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
… |
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 3.1. Если в таблице размером m n m 1, n 1 произвольным
образом выделено m n клеток, то в этой таблице существует по крайней мере один цикл, состоящий только из выделенных клеток.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произвольную таблицу размером m nm 1, n 1 , в которой выделено m n клеток. Вычеркнем в этой таблице все ее
101
строки, содержащие ровно по одной выделенной клетке; затем вычеркнем все столбцы, содержащие ровно по одной выделенной клетке; затем снова строки и т.д. до тех пор, пока будут оставаться ряды, содержащие (без учета уже вычеркнутых рядов) ровно по одной выделенной клетке. Не умаляя общности рассужде-
ний, предположим, что при последнем вычеркивании (на k -м шаге) |
было вы- |
||||||||
черкнуто mk mk 0 строк. Ход описанного процесса представим в виде следу- |
|||||||||
ющей таблицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Номер шага |
1 |
2 |
3 |
… |
k 1 |
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число вычеркнутых строк |
m1 |
m2 |
m3 |
… |
mk 1 |
|
mk |
|
|
Число вычеркнутых столбцов |
n1 |
n2 |
n3 |
… |
nk 1 |
|
|
|
Покажем, что вычеркнуты не все выделенные клетки. Действительно, всего было вычеркнуто m m1 m2 ... mk строк и N n1 n2 ... nk 1 столбцов.
Очевидно, что M m , N n , где m и n соответственно число строк и столбцов в исходной таблице. Но равенство N n невозможно, так как при его выполнении после k 1 -го шага вычеркнута вся исходная таблица и на k -м шаге нельзя вы-
черкнуть ни одной строки. Значит
M m, N n . (3.1)
Поскольку в каждом вычеркнутом ряду содержалась одна выделенная клетка, количество вычеркнутых выделенных клеток M N . Но, ввиду неравенств (3.1), M N m n . Следовательно, в исходной таблице остались невычеркнутыми некоторые выделенные клетки. Кроме того в любом невычеркнутом ряду этой таблицы либо нет ни одной выделенной клетки, либо находится не менее двух выделенных клеток.
Возьмем теперь в исходной таблице любую невычеркнутую выделенную клетку. Перейдем от нее к другой выделенной клетке, находящейся в той же строке. Затем перейдем к новой выделенной клетке, расположенной в том же столбце, что и последняя клетка. Затем снова осуществим переход по строке и т.д. Так как в таблице выделено конечное число клеток, то на некотором шаге мы вернемся к уже встречавшейся ранее выделенной клетке и тем самым получим цикл.
§ 4. Циклические и ациклические планы
Пусть дана закрытая ТЗ с некоторым планом перевозок. Запишем условия данной задачи и ее план перевозок в виде транспортной таблицы. Клетки транспортной таблицы, в которых находятся отличные от нуля перевозки xij , называ-
ются занятыми, остальные клетки – свободными. Свободные клетки принято заполнять прочерками.
102