ИсследОпераций

числений (см. пример 2) выбираем в качестве ведущего элемента a31 1 и, выполняя жорданово исключение, получаем матрицу №2.

Вматрице №2 помечаем третью строку, как соответствующую ведущей строке матрицы №1. Остальные строки матрицы №2 непомечены, поэтому в качестве ведущего элемента следующего жорданова исключения можно взять любой ненулевой элемент из этих строк. Осуществив указанный в приведенном решении выбор ведущего элемента, переходим к матрице №3.

Вматрице №3 вычеркиваем полученную нулевую строку, помечаем вторую строку, как соответствующую ведущей, и третью строку, так как соответствующая ей строка матрицы №2 является помеченной. Остается непомеченной только первая строка матрицы №3, поэтому в этой строке и выбираем ведущий элемент для следующего жорданова исключения, в результате которого получаем матрицу №4.

Расставив пометки у строк полученной матрицы, замечаем, что у нее помечены все три строки. Следовательно, ранг исходной матрицы A равен трем.

Пусть дана матрица A , требуется найти обратную к ней матрицу A 1 .

Алгоритм обращения невырожденной матрицы

1)К данной невырожденной матрице A приписываем справа единичную матрицу того же порядка. Получаем новую матрицу, у которой число столбцов вдвое больше числа строк.

2)Любой ненулевой элемент, расположенный в левой половине полученной матрицы, выбираем в качестве ведущего.

3)Выполняем жорданово исключение с выбранным ведущим элементом.

4)В полученной матрице помечаем строку, соответствующую ведущей строке выполненного исключения. Кроме того, если в предыдущей матрице были помечены некоторые строки, то ту же пометку ставим и у соответствующих строк новой матрицы.

5)Проверяем наличие пометок у всех строк полученной матрицы:

а) если помечены не все строки, то любой ненулевой элемент непомеченной строки, расположенный в левой половине этой матрицы, выбираем в качестве ведущего и переходим к шагу 3 данного алгоритма;

б) если помечены все строки, то переставляем строки матрицы так, чтобы в ее левой половине образовалась единичная матрица. После этого правая полови-

на полученной матрицы будет представлять собой искомую матрицу A 1 .

З а м е ч а н и е. Если описанный алгоритм применить к вырожденной матрице A , то на некотором шаге мы получим в левой половине преобразуемой матрицы нулевую строку. Это является признаком того, что определитель исходной матрицы равен нулю и матрица, обратная данной, не существует.

Выяснить, существует ли обратная ей матрица A 1 , и если существует, то найти ее.

Р е ш е н и е. Вычисляя определитель матрицы A , получаем A 3 0 .

Следовательно, данная матрица невырожденная и A 1 существует.

Для нахождения обратной матрицы применим описанный выше алгоритм. Для наглядности будем отделять правую и левую половины преобразуемых мат-

В последней матрице помечены все строки, поэтому процесс выполнения

жордановых исключений закончен. Для нахождения A 1 осталось перестановкой строк получить в левой половине последней матрицы единичную матрицу. Меняя

правая половина которой и есть искомая обратная матрица. Таким образом,

Следует отметить, что ввиду замечания к алгоритму обращения матрицы, при решении данного примера можно было не находить определитель исходной матрицы A , а сразу приступить к выполнению жордановых исключений. В этом слу-

ратную A 1 . Для нахождения неизвестной матрицы X умножим обе части уравнения справа на A 1 . Получим

X A A 1 B A 1 .

Отсюда, учитывая, что A A 1 E , находим

X B A 1 .

Таким образом, для отыскания матрицы X нужно найти A 1 и вычислить произведение B A 1 .

В последней матрице помечены все строки, а в ее левой половине стоит единичная матрица. Поэтому

§ 4. Системы линейных уравнений

Определение. Система линейных уравнений называется системой с единичным базисом, если в каждом уравнении содержится неизвестное с коэффициентом, равным единице, отсутствующее во всех остальных уравнениях этой системы (т.е. входящее в эти уравнения с нулевым коэффициентом).

Эти неизвестные называются базисными, остальные свободными. Базисными могут быть любые неизвестные системы, но их количество в системе с единичным базисом равно числу уравнений.

15

Например, система

2x1 x2 3x3 2x6 5,x1 2x3 x5 3x6 2,3x1 4x3 x4 2x6 1

является системой с единичным базисом. В ней x2, x4, x5 – базисные переменные,

а x1, x3, x6 – свободные. Система

3x1 x2 2x3 5,x1 4x3 7

не является системой с единичным базисом, так как во втором уравнении базисное неизвестное отсутствует.

Если рассмотреть матрицу системы с единичным базисом, то каждому базисному неизвестному в ней соответствует столбец, один из элементов которого равен единице, а остальные элементы нулевые. Такие столбцы принято называть единичными.

З а м е ч а н и е. Иногда может оказаться, что в некотором уравнении системы с единичным базисом определению базисного неизвестного удовлетворяют не одно, а несколько неизвестных. В этом случае только одно из этих неизвестных следует считать базисным, чтобы общее количество базисных неизвестных было равно числу уравнений. Так, в системе

2x1 x2 x3 2x5 63x1 x4 3x5 12

мы можем считать базисными либо неизвестные x2 , x4 (тогда свободные

x1, x3, x5 ), либо x3, x4 (свободные x1, x2, x5 ).

Рассмотрим вопрос о решении системы с единичным базисом. Отметим, что такая система всегда совместна. Если в системе с единичным базисом отсутствуют свободные переменные (это означает, что все переменные базисные и число уравнений равно количеству неизвестных), то такая система имеет единственное решение.

Если же в системе с единичным базисом имеются свободные неизвестные (т.е. общее количество неизвестных больше числа уравнений), то у такой системы бесчисленное множество решений. В этом случае для нахождения всех решений системы с единичным базисом нужно заменить каждое свободное неизвестное своим параметром, принимающим любое числовое значение, и, перенеся эти параметры в правые части уравнений, выразить через них базисные неизвестные.

16

Пример 1. Решить систему

2x1 x2 3x4 5,x1 x3 2x4 7,3x1 x4 x5 2.

Р е ш е н и е. Данная система является системой с единичным базисом. В ней базисные переменные x2, x3, x5 , а свободные – x1, x4 . Наличие свободных пе-

ременных говорит о том, что эта система имеет бесконечное множество решений. Для того, чтобы найти все решения этой системы, положим x1 p, x4 q ,

где p, q – любые действительные числа. Выражая из уравнений системы базисные неизвестные, получаем:

x2 5 2 p 3q, x3 7 p 2q, x5 2 3 p q .

Следовательно, множество решений системы имеет вид

для любых p, q R .

Перейдем теперь к изучению одного из наиболее распространенных методов решения систем линейных уравнений, называемого методом Жордана-Гаусса или методом полного исключения неизвестных. В отличие от правила Крамера и матричного метода решения систем, применимых лишь к системам с квадратной невырожденной матрицей, метод Жордана-Гаусса является универсальным, т.е. пригодным для решения любой системы линейных уравнений.

Прежде чем изложить алгоритм метода Жордана-Гаусса, напомним следующие определения.

Определение. Расширенной матрицей системы называется матрица, получаемая из матрицы этой системы приписыванием к ней справа столбца свободных членов.

Определение. Две системы линейных уравнений называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений, т.е. если либо они обе несовместны, либо каждое решение одной из них является решением другой.

Метод Жордана-Гаусса позволяет либо установить несовместность данной системы, либо заменить ее равносильной системой с единичным базисом, отыскание решений которой не вызывает затруднений.

Алгоритм метода Жордана-Гаусса.

1)Составляем расширенную матрицу данной системы.

2)Любой ненулевой элемент этой матрицы, не стоящий в последнем столбце (столбце свободных членов), выбираем в качестве ведущего.

3)Выполняем жорданово исключение с выбранным ведущим элементом.

4)В полученной матрице помечаем строку, соответствующую ведущей строке выполненного исключения. Кроме того, если в предыдущей матрице были помечены некоторые строки, то ту же пометку ставим и у соответствующих строк новой матрицы.

17

5)В полученной матрице вычеркиваем нулевые строки (если такие строки существуют).

6)Если в полученной матрице все элементы некоторой строки, кроме последнего, равны нулю, то вычислительный процесс заканчиваем, делая вывод о несовместности системы.

7)Проверяем наличие пометок у всех строк полученной матрицы:

а) если помечены не все строки, то любой ненулевой элемент непомеченной строки, расположенный не в последнем столбце, выбираем в качестве ведущего и переходим к шагу 3 данного алгоритма;

б) если помечены все строки, то полученная матрица является расширенной матрицей системы с единичным базисом, равносильной исходной системе. Записав систему с единичным базисом по ее расширенной матрице, находим все решения этой, а, следовательно, и исходной системы.

Пример 2. Методом Жордана-Гаусса решить систему:

Р е ш е н и е.

а) Согласно алгоритму метода Жордана-Гаусса составляем расширенную матрицу системы и выполняем над ней последовательность жордановых исключений

В последней матрице все элементы третьей строки, кроме элемента, расположенного в столбце свободных членов, равны нулю. Следовательно, данная система несовместна.

18

В последней матрице помечены все строки. Значит, выполнение жордановых исключений закончено, и эта матрица является расширенной матрице системы с единичным базисом, равносильной исходной системе уравнений. Соответствующая система с единичным базисом имеет единственное решение, так как у нее число уравнений равно количеству неизвестных (свободных неизвестных нет). Это решение непосредственно определяется записью системы уравнений, соответствующей последней матрице:

x1 4,x3 5,

x2 1.

Тот же набор значений неизвестных x1 4, x2 1, x3 5 является единственным решением и исходной системы.

Последней матрице соответствует система уравнений

Это система с единичным базисом, равносильная исходной системе, имеет бесчисленное множество решений. Придавая свободным неизвестных x3, x5 произ-

вольные значения x3 p, x5 q и выражая через них базисные неизвестные x1, x2, x4 , получаем любое решение построенной, а значит и исходной системы:

где p, q R .

§ 5. Линейные пространства

Определение. Рассмотрим множество матриц-строк, состоящих из n действительных чисел

a a1, a2, ..., an .

Введем для них операции сложения и умножения на число как для обычных матриц. Множество рассмотренных строк с введенными операциями называется арифметическим векторным пространством и обозначается Rn .

Это частный случай линейного пространства.

Будем рассматривать пространства R2 и R3 , их элементы называть векторами, а числа a1, a2, ..., an – координатами вектора.

Определение. Система векторов в Rn a1, a2, ..., an называется линейно зависимой, если существуют числа 1, 2, ..., n , не все равные нулю, такие что

1a1 2a2 ... nan 0 .

Если это равенство верно только в случае, когда 1 2 ... n 0 , то векторы a1, a2, ..., an линейно независимы.

Система векторов a1, a2, ..., an будет линейно зависимой только тогда, когда

хотя бы один этих векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных:

ak 1a1 ... k 1ak 1 k 1ak 1 ... nan .

Определение. Пусть в пространстве Rn задана система из m векторов a1, a2, ..., am . Матрицей этой системы будем называть матрицу An m , столбцами которой являются координаты данных векторов.

a1 11, 12, ..., 1n , ..., am m1, m2, ..., mn ,

20

Р е ш е н и е. Для того, чтобы исследовать систему векторов на линейную зависимость, можно составить матрицу этой системы векторов и найти ее ранг. Если ранг будет равен числу векторов в данной системе, то эта система линейно независима. Если же ранг меньше числа векторов в этой системе, то она линейно зависима. Матрица данной системы векторов имеет вид

ло n – размерностью пространства Rn .

Равенство x 1a1 2a2 ... nan называют разложением вектора x по

базису a1, a2, ..., an .

Теорема. В линейном пространстве размерности n любые n линейно не-

зис пространства R3 ?

Р е ш е н и е. Исследуем данную систему векторов на линейную зависимость. Для этого определим ранг матрицы этой системы векторов

21

Так как ранг матрицы системы векторов равен трем, данные векторы линейно независимы.

Размерность пространства R3 равна трем. Данная система векторов линей-

но независима и состоит из трех векторов. Поэтому, согласно сформулированной выше теореме, эта система является базисом пространства R3 .

Рассмотрим теперь задачу отыскания разложения векторов по заданному базису. Напомним, что если в линейном пространстве задан базис, то разложением некоторого вектора по данному базису называется представление этого вектора в виде суммы входящих в базис векторов с некоторыми числовыми коэффициентами. Эти коэффициенты называются координатами этого вектора в данном базисе.

Для того чтобы разложить по данному базису один или несколько векторов, можно записать матрицу системы, состоящей из всех заданных векторов, и последовательно выполнить над ней столько жордановых исключений, сколько векторов входит в состав базиса. Ведущие элементы исключений следует выбирать в различных строках полученной матрицы, но лишь в столбцах соответствующих заданному базису. В результате вычислений столбцы, соответствующие векторам, образующим базис, преобразуются в единичные столбцы, а в остальных столбцах получаются координаты соответствующих векторов в заданном базисе.

Пример 3. Векторы a1 3,1 , a2 5,2 образуют базис пространства R2 . Разложить по этому базису векторы b1 1,1 , b2 1,0 .

Р е ш е н и е. Согласно сформулированному выше правилу, составим матрицу A системы, состоящей из всех четырех векторов, заданных в условии задачи. Для того чтобы в дальнейших преобразованиях было легче проследить соответствие между столбцами матрицы и заданными векторами, запишем над каждым ее столбцом название соответствующего ему вектора

Поскольку заданный базис состоит из двух векторов, над полученной матрицей нужно последовательно выполнить два жордановых исключения. Ведущие элементы исключений следует выбрать в различных строках и только тех столбцах, которые соответствуют базисным векторам (в нашем случае это первый и второй столбцы матрицы)