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Калининградский государственный технический университет

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[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

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Тема4. Геометрическаяинтерпретациязадачлинейногопрограммирования. Графическийметодихрешения

______________________________________________________________________________________________

х2

х1

В данном случае целевая функция достигает своего максимального значения в любой точке отрезка [A;B]: хmax [A;B] и записывается в виде выпуклой комбинации хmax = λ A + (1 −λ) B, 0 ≤ λ ≤1.

3. Задача линейного программирования не имеет оптимального решения, так как целевая функция не ограничена сверху, если требуется найти максимум целевой функции (или снизу, если требуется найти минимум).

х2

zmax → ∞

х1

4. Задача линейного программирования не имеет решения, так как система ограничений противоречива, то есть ОДЗ= .

х2

х1 ОДЗ= .

5. Если ОДЗ состоит из одной точки, то в этой точке z принимает своё максимальное и минимальное значение.

72 Ходыкин В.Ф., Преображенский А.А. Сборник задач по математическому программированию

________________________________________________________________________________________________

х2

А	хmax =хmin=А

х1

4.4.Задачи

1.Решить следующие задачи линейного программирования графическим методом.

4.1.01.

4.1.02.

4.1.03.

z =

2x1

x2 → max;

z =

2x2 → min;

z =

4x1

-x2 → min;

2x1

-4x2

≤ 7,

-x1

x2 ≥ 7,

4x2

≤ 5,

2x2

≥ 0,

-3x1

3x2

≤ 3,

4x1

≤ 7,

2x1

4x2

≤ 8,

3x1

3x2

≤ 3,

4x2

≤ 6,

-4x1

4x2

≥ 7,

x1≥0, x2≥0.

3x1

2x2

≤ 4,

x1≥0, x2≥0

x1≥0, x2≥0.

4.1.04.

4.1.05.

4.1.06.

z = 2x1 + 2x2 → max;

z =

2x1

→ min;

z =

3x1

→ min;

2x1

x2 ≤ 5,

- 4x2 ≥ 7,

+ 4x2 ≥ 4,

4x1

2x2

≤ 8,

-4x1

4x2

≤ 0,

2x2

≥ 8,

-3x1

≤ 6,

+ 3x2 ≥ 4,

2x1

x2 ≥ 5,

x1≥0, x2≥0.

4.1.07.

4.1.08.

4.1.09.

z = 2x1 + 4x2 → min;

z = -4x1

4x2

→ max;

z =

4x1

3x1

2x2

→ max;

3x2

≤ 8,

≤ 6,

≤ 4,

-4x1

2x2

≥ 5,

3x1

-4x2

≤ 8,

4x1

3x2

≤ 5,

-2x1

2x2

≤ 4,

4x2

≥ 0,

2x1

≤ 4,

x1≥0, x2≥0.

-3x1

x2 ≤ 7,

3x1

+ 2x2 ≤ 8,

x1≥0, x2≥0.

4.1.10.

4.1.11.

4.1.12.

z = 4x1 + 4x2 → min;

z =

+ 2x2 → min;

z =

3x1

+ 2x2 → min;

-3x1

2x2

≤ 7,

4x1

+ 3x2

≥ 0,

2x1

3x2

≤ 4,

4x1

2x2

≤ 7,

2x1

≥ 6,

2x2

≤ 6,

3x2

≥ 5,

-x1

+ 3x2

≤ 8,

2x1

3x2

≤ 6,

x1≥0, x2≥0.

4x1

+ 2x2 ≥ 4,

x1≥0, x2≥0.

4.1.13.

4.1.14.

4.1.15.

z = -4x1

→ max;

z =

x1 + 4x2 → min;

z =

-4x2 → min;

2x1

2x2

≥ 8,

≤ 6,

-4x1

3x2

≤ 5,

4x1

≤ 4,

+ 2x2

≤ 8,

4x1

3x2

≥ 6,

-x1

3x2

≥ 7,

-2x2

≤ 4,

3x1

≤ 3,

x1≥0, x2≥0.

4.1.16.

4.1.17.

4.1.18.

z = 2x1 + 2x2 → max;

z =

4x1

x2 → min;

z =

-4x1

+ 4x2 → min;

3x1

3x2

≥ 4,

2x1

4x2

≤ 5,

- 3x2

≤ 5,

2x1

4x2

≤ 5,

+ 4x2

≤ 0,

≥ 7,

3x2

≤ 6,

2x1

≤ 3,

4x1

≥ 0,

x2 ≤ 5,

-4x1

+ 2x2 ≤ 5,

x1≥0, x2≥0.

Тема4. Геометрическаяинтерпретациязадачлинейногопрограммирования. Графическийметодихрешения

______________________________________________________________________________________________

4.1.19.

4.1.20.

4.1.21.

z =

3x1

4x2

x2 → min;

z =

4x1

-3x2 → max;

z =

4x1

-x2 → max;

≥ 8,

2x2 ≥ 5,

≥ 5,

- 2x2 ≤ 0,

3x1

x2 ≤ 5,

+ 4x2 ≤ 8,

-2x1

4x2

≥ 5,

4x1

≥ 4,

-3x1

3x2

≤ 8,

x1≥0, x2≥0.

-4x1

+ 4x2 ≤ 5,

x1≥0, x2≥0.

4.1.22.

4.1.23.

4.1.24.

z =

-3x2 → min;

z =

2x2

x2 → min;

z =

-3x1

x2 → min;

3x1

3x2

≥ 6,

≤ 5,

4x2

≤ 6,

2x2

≤ 4,

4x2

≤ 7,

3x1

4x2

≤ 4,

≥ 2,

2x1

≥ 3,

4x1

4x2

≤ 0,

3x1

≤ 0,

x1≥0, x2≥0.

4.1.25.

4.1.26.

4.1.27.

z =

4x1

2x2

→ min;

z =

3x1

+ 2x2 → min;

z =

x1 + 3x2 → min;

-3x1

≤ 3,

3x2

≥ 5,

-4x1

≤ 7,

2x1

3x2

≥ 4,

-2x2

≤ 8,

2x2

≤ 5,

- 3x2 ≤ 6,

- 4x2

≤ 7,

+ 3x2 ≥ 0,

x1≥0, x2≥0.

2x1

x2 ≤ 7,

x1≥0, x2≥0.

4.1.28.

4.1.29.

4.1.30.

z = 3x1 - 3x2 → min;

z =

x2 → min;

z =

-2x1

+ 2x2 → min;

-3x1

+ 2x2 ≤ 3,

+ 2x2

≤ 5,

3x2

≤ 5,

3x1

≤ 5,

4x1

4x2

≥ 4,

≥ 6,

x2 ≥ 1,

-x1

≤ 6,

2x2 ≥ 7,

x1≥0, x2≥0.

4x1

≤ 4,

x1≥0, x2≥0.

4.1.31.

4.1.32.

4.1.33.

z =

-x1

x1 + 3x2 → min;

z =

3x1

→ max;

z =

-x1

x1 + 4x2 → max;

+ 4x2

≥ 6,

+ 2x2

≥ 0,

4x2

≤ 6,

2x1

-3x2

≤ 4,

3x1

4x2

≤ 4,

≤ 6,

≤ 8,

+ 4x2

≤ 8,

3x2

≤ 5,

3x1

3x2

≥ 0,

x1≥0, x2≥0.

-2x2 ≤ 5,

x1≥0, x2≥0.

4.1.34.

4.1.35.

4.1.36.

z =

2x1

x2 → min;

z =

-4x1

+ 4x2 → max;

z =

-x1

-4x2 → max;

-4x1

+ 4x2 ≤ 6,

+ x2

≤ 7,

≥ 4,

-x1

+ 3x2 ≤ 5,

2x1

≤ 4,

2x1

x2 ≥ 5,

3x1

≤ 5,

3x1

≥ 3,

-2x1

-3x2 ≥ 8,

x1≥0, x2≥0.

+ 4x2 ≥ 5,

x1≥0, x2≥0.

4.1.37.

4.1.38.

4.1.39.

z =

2x1

3x1

→ max;

z =

3x1

4x1

x2 → min;

z =

2x1

3x2 → max;

+ 2x2

≤ 7,

- 2x2

≥ 3,

≤ 4,

≥ 5,

+ 4x2

≥ 5,

4x1

- 2x2

≥ 4,

4x1

≤ 4,

-4x1

≤ 8,

4x1

+ 3x2

≥ 4,

3x2 ≥ 6,

x1≥0, x2≥0.

4.1.40.

4.1.41.

4.1.42.

z =

-4x1

→ max;

z =

+ 2x2

2x2 → min;

z = 3x1 - 4x2 → max;

4x1

+ 4x2

≥ 5,

-3x1

≥ 3,

3x1

+ 2x2

≤ 5,

2x1

≤ 7,

2x1

- 3x2

≤ 5,

≤ 4,

≤ 0,

≤ 5,

3x1

≥ 0,

x1≥0, x2≥0.

4.1.43.

4.1.44.

4.1.45.

z =

-4x1

+ 2x2 → min;

z =

3x1

+ 2x2 → min;

z =

3x1

→ max;

- 3x2 ≤ 3,

2x1

2x2

≥ 5,

2x1

≥ 4,

3x1

- 4x2 ≤ 4,

- 3x2

≤ 7,

-3x1

+ 2x2 ≥ 7,

4x1

+ 3x2

≥ 8,

4x1

≤ 6,

3x1

+ 4x2 ≥ 0,

-3x1

+ x2

≤ 8,

x1≥0, x2≥0.

74 Ходыкин В.Ф., Преображенский А.А. Сборник задач по математическому программированию

________________________________________________________________________________________________

4.1.46.

4.1.47.

4.1.48.

z =

2x1

4x2

→ min;

z = 4x1 + 4x2 → min;

z =

-4x2 → max;

-3x1

≥ 6,

3x1

≤ 5,

4x1

3x2

≤ 6,

4x1

2x2

≤ 5,

2x1

2x2

≤ 8,

≥ 4,

3x1

≤ 3,

-4x1

3x2

≥ 6,

2x2

≥ 4,

x1≥0, x2≥0.

4.1.49.

4.1.50.

4.1.51.

z =

3x1 - 2x2 → max;

z =

3x1

x2 → min;

z =

-3x2 → min;

2x1

3x2

≥ 4,

≤ 3,

2x1

≥ 4,

2x1

2x2

≤ 4,

-3x1

≤ 4,

2x1

+ 2x2

≤ 6,

4x1

+ 3x2 ≥ 5,

-4x1

x2 ≤ 7,

≤ 7,

x1≥0, x2≥0.

2x1

≤ 5,

x1≥0, x2≥0.

4.1.52.

4.1.53.

4.1.54.

z =

4x1

- 3x2 → min;

z =

-4x1

+ 3x2 → max;

z =

x1 + 4x2 → min;

-3x1

2x2

≤ 5,

4x2

≤ 4,

≥ 6,

3x2

≥ 0,

3x2

≤ 3,

3x1

4x2

≥ 7,

-4x1

≤ 6,

4x1

2x2

≤ 7,

4x2

≤ 7,

x1≥0, x2≥0.

+ 3x2 ≤ 6,

x1≥0, x2≥0.

4.1.55.

4.1.56.

4.1.57.

z =

3x1

+ 2x2 → max;

z = 4x1 + 4x2 → max;

z = 4x1

+ 4x2 → min;

4x1

2x2

≤ 8,

-4x1

3x2

≤ 4,

3x2

≥ 3,

x2 ≤ 5,

-x1

+ 2x2 ≤ 6,

-x1

-2x2

≤ 7,

3x1

- 3x2 ≤ 5,

2x1

3x2

≤ 6,

≥ 4,

4x1

2x2

≥ 4,

2x1

4x2

≤ 8,

x1≥0, x2≥0.

4.1.58.

4.1.59.

4.1.60.

z =

-4x1

+ 4x2 → max;

z =

-3x1

x2 → min;

z =

x1 + 4x2 → min;

-4x1

+ 2x2

≥ 6,

+ 3x2 ≥ 5,

-4x1

x2 ≥ 4,

2x1

-x2

≤ 4,

4x1

4x2

≤ 6,

2x1

4x2 ≥ 7,

3x2

≥ 4,

4x1

≤ 6,

4x1

≤ 7,

4x1

- 2x2 ≤ 8,

+ 3x2 ≥ 5,

x1≥0, x2≥0.

4.1.61.

4.1.62.

4.1.63.

z =

4x1

→ min;

z =

-4x1

+ 3x2 → max;

z =

→ max;

-4x1

+ 2x2 ≥ 6,

-x1

+ 2x2 ≤ 6,

4x1

≤ 3,

4x1

4x2

≥ 4,

3x1

3x2

≤ 0,

≥ 7,

3x1

≤ 0,

3x2

≥ 4,

3x2

≤ 3,

x1≥0, x2≥0.

4.1.64.

4.1.65.

4.1.66.

z =

2x1 - 2x2 → min;

z =

2x1

x2 → max;

z =

2x1

3x2

→ max;

2x1

+ 2x2

≤ 2,

-4x1

4x2

≤ 8,

3x1

≥ 4,

-x1

≤ 6,

4x1

3x2

≥ 6,

4x2

≥ 7,

3x1

- 4x2

≤ 8,

-2x1

3x2

≤ 0,

-2x1

2x2

≥ 6,

- 3x2

≤ 4,

2x1

2x2

≤ 6,

2x1

≤ 6,

x1≥0, x2≥0.

4.1.67.

4.1.68.

4.1.69.

z =

-2x1

+ 2x2 → max;

z =

3x1

- 2x2 → min;

z = 4x1 + 4x2 → min;

2x1

2x2

≤ 4,

2x2

≥ 2,

4x1

+ 2x2 ≥ 5,

≤ 6,

2x2

≤ 6,

-4x1

+ 4x2 ≥ 5,

+ 3x2 ≤ 4,

- x2 ≥ 5,

-3x1

+ 4x2 ≥ 5,

4x2 ≤ 6,

x1≥0, x2≥0.

4.1.70.

4.1.71.

4.1.72.

z =

2x1

-2x2 → min;

z =

4x1

+ 3x2 → min;

z =

3x2

x2 → max;

+ 3x2 ≤ 8,

-4x1

-3x2

≤ 5,

2x1

≥ 6,

-2x1

+ 3x2 ≥ 3,

+ 4x2

≤ 4,

+ 4x2

≥ 4,

-2x1

≤ 6,

2x1

+ 3x2

≥ 4,

4x1

+ 2x2

≤ 7,

2x1

+ 4x2 ≥ 0,

x1≥0, x2≥0.

2x1

+ 4x2

≥ 6,

x1≥0, x2≥0.

Тема4. Геометрическаяинтерпретациязадачлинейногопрограммирования. Графическийметодихрешения

______________________________________________________________________________________________

4.1.73.

4.1.74.

4.1.75.

z =

-2x2 → min;

z =

-4x1

+ 4x2 → max;

z =

-3x1

+ 2x2 → min;

≤ 5,

-3x1

2x2

≤ 4,

-4x1

3x2

≤ 8,

- 4x2 ≥ 5,

-x1

+ 4x2 ≤ 7,

+ 4x2

≤ 6,

-3x2 ≤ 4,

4x1

4x2

≥ 7,

3x1

3x2

≤ 5,

x1≥0, x2≥0.

+ 4x2 ≤ 8,

x2 ≤ 6,

x1≥0, x2≥0.

4.1.76.

4.1.77.

4.1.78.

z =

3x1

+ 3x2 → min;

z =

4x1

x1 - 3x2 → max;

z =

2x1

2x2 → max;

4x2

≤ 8,

3x2

≥ 7,

≤ 5,

≥ 2,

4x1

3x2

≤ 0,

-2x1

≤ 0,

4x1

-3x2 ≤ 3,

4x1

≤ 0,

4x1

≥ 5,

+ 3x2 ≥ 8,

x2 ≤ 7,

x1≥0, x2≥0.

4.1.79.

4.1.80.

4.1.81.

z = -x1 + 4x2 → min;

z =

4x1

+ 4x2 → max;

z =

-2x1

x2 → min;

4x1

3x2

≥ 0,

2x1

3x2

≤ 7,

2x1

4x2 ≤ 4,

- 3x2 ≤ 6,

+ 4x2 ≤ 6,

-x1

+ 3x2 ≤ 5,

4x1

4x2

≤ 4,

-2x1

≤ 3,

4x1

≥ 6,

+ 3x2 ≤ 5,

3x1

+ 2x2 ≥ 6,

x1≥0, x2≥0.

4.1.82.

4.1.83.

4.1.84.

z =

x1 + 3x2 → min;

z =

4x2

3x2 → min;

z =

-3x1

3x2

→ max;

-4x1

4x2

≥ 6,

≤ 0,

2x1

≥ 4,

4x1

4x2

≥ 7,

4x1

3x2

≤ 8,

≥ 4,

-4x1

3x2

≥ 4,

4x1

2x2

≥ 5,

-4x1

3x2

≤ 4,

-2x1

4x2

≥ 5,

-3x1

3x2

≥ 8,

-3x1

≥ 0,

x1≥0, x2≥0.

4.1.85.

4.1.86.

4.1.87.

z =

4x1

+ 3x2 → min;

z =

4x2

-x2 → min;

z =

-x1

4x2

4x2 → min;

4x1

2x2

≤ 3,

-2x1

≥ 6,

≥ 8,

+ 3x2

≥ 8,

-x1

4x2

≥ 7,

3x1

4x2

≤ 8,

-4x1

≤ 4,

2x1

x2 ≤ 3,

x1≥0, x2≥0.

3x1

x2 ≤ 4,

x1≥0, x2≥0.

4.1.88.

4.1.89.

4.1.90.

z =

2x1

x2 → max;

z =

4x1

x2 → min;

z =

x2 → max;

- 4x2

≤ 6,

4x2

≤ 7,

-4x1

≤ 7,

x2 ≤ 1,

4x1

x2 ≤ 8,

-x1

x2 ≥ 6,

3x2

≤ 6,

-2x1

4x2

≥ 7,

4x1

3x2

≤ 6,

+ 3x2 ≥ 7,

x1≥0, x2≥0.

4x1

- 2x2 ≥ 7,

x1≥0, x2≥0.

4.1.91.

4.1.92.

4.1.93.

z =

2x1

x1 + 2x2 → max;

z = 3x1 + 3x2 → max;

z = 4x1 + 3x2 → min;

+ 4x2 ≥ 7,

2x1

2x2

≤ 4,

≥ 0,

+ x2 ≤ 7,

-3x1

+ 4x2 ≤ 5,

3x1

4x2 ≥ 5,

3x1

- x2 ≤ 8,

2x1

x2 ≥ 0,

+ x2 ≥ 7,

+ 3x2 ≥ 7,

x1≥0, x2≥0.

4.1.94.

4.1.95.

4.1.96.

z =

-4x1

+ 2x2 → max;

z =

4x1

+ 3x2 → max;

z =

4x1

- 3x2 → min;

3x1

≥ 7,

3x1

2x2

≤ 2,

- 3x2

≥ 8,

-4x1

+ 3x2

≤ 4,

4x2

≥ 4,

4x1

≤ 8,

2x1

≥ 2,

4x2

≤ 7,

≥ 4,

x1≥0, x2≥0.

4.1.97.

4.1.98.

4.1.99.

z =

4x1

+ 4x2 → max;

z =

4x1

-2x2 → min;

z =

x1 + 4x2 → max;

2x1

-3x2

≤ 4,

3x2

≥ 7,

+ 3x2 ≤ 6,

+ 4x2

≤ 5,

2x1

≤ 7,

3x1

≤ 6,

-4x1

≥ 8,

2x1

4x2

≥ 6,

4x1

+ 3x2 ≥ 6,

x1≥0, x2≥0.

-3x1

+ 3x2 ≤ 6,

x1≥0, x2≥0.

76 Ходыкин В.Ф., Преображенский А.А. Сборник задач по математическому программированию

________________________________________________________________________________________________
4.1.00.
z =	2x1	3x2	→ max;
4x1	+	3x2	≤ 7,
3x1	+	4x2	≥ 5,
3x1	-	4x2	≤ 4,
x1≥0,		x2≥0.

2. Решить следующие задачи линейного программирования графическим методом, предварительно преобразовав их к стандартному виду.

4.2.01.

4.2.02.

z =

- 4x2 + 2x3 + 4x4 → max;

z =

-2x2 - 3x3

+ 4x5 → max;

-2x1

+ 4x3

=4,

4x1

3x3

+ 4x5 = 7,

2x1

+ 2x3

=7,

x4 -

x5 = 6,

xj≥0, j=

-x1

= 7,

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.03.

4.2.04.

z =

-x1

-x3 - 4x4

- 2x5 → min;

z =

-3x4 - 4x5 → max;

+ 2x3 - 2x4

= 2,

4x4 - x5 = 4,

2x1

+ x3

+ 4x4

+ 2x5 = 0,

-3x3 - 4x4 - 2x5 = 4,

+ 3x5 = 4,

+ x2 - 3x3

= 8,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.05.

4.2.06.

z =

-3x1

x2 - 4x3

→ max;

z =

-x1 - 2x2

+ 4x4

→ min;

3x1

- 3x2

+ x3

= 7,

3x1

+ 4x3

+ 2x5 = 5,

3x1

+ x5 = 7,

4x1

x2 + 4x3

+ x4 + x5 = 7,

-x2 + 3x3

- 3x5 = 6,

= 0,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.07.

4.2.08.

z = -x1 + 3x2 - 3x3

→ max;

z =

+ 4x3

x4 + 4x5 → min;

-4x1

+ 4x3

+ x5 = 6,

-3x1

+ x2

+ 2x5 = 6,

2x1

- x3 + 2x4

= 0,

2x1

- 3x4

= 6,

+ 2x4

= 4,

x3 - 4x4 + 3x5 = 6,

xj≥0, j=

1,5.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.09.

4.2.10.

z =

3x1

+ x2

3x3

- 2x5 → max;

z = -2x1

+ 4x2

+ 2x4

+ 2x5 → min;

+ 3x3

+ x4

= 5,

2x2

= 0,

-3x1

+ x5 = 6,

2x3 + 3x4 + x5 = 6,

4x3

+ 4x5 = 6,

- 4x2 + 2x3

= 0,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.11.

4.2.12.

z = 4x1 + 2x2 - 4x3 - 2x4 → max;

z =

x3 - 4x4 → min;

3x1

- 3x2 + x3 + x4 = 4,

-x1

+ 4x2 - 3x3

= 5,

2x1

+ x2 + 4x3

= 5,

-3x1

+ 2x2 + x3 + x4 = 6,

xj≥0, j=

1,4.

4.2.13.

4.2.14.

z =

-3x1

+ 3x2

- 3x4

→ min;

z =

+ x3

2x4 - 3x5 → max;

+ 3x2 + x3 + 4x4 = 0,

-3x1

+ 3x5 = 7,

-x1

+ 4x2 + 3x3 + x4 = 6,

-2x3 + x4 + 2x5 = 7,

xj≥0, j=

3x1

+ 4x4

= 5,

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.15.

4.2.16.

z =

-4x2

→ min;

z =

-x1

x2 + 2x3

+ 2x4

→ max;

3x2 + 4x3 - 4x4

= 4,

+ 3x2 + x3 - x4 = 7,

+ 3x3

+ 3x4

= 6,

3x2

+ 3x4 = 3,

3x2

x5 = 5,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

Тема4. Геометрическаяинтерпретациязадачлинейногопрограммирования. Графическийметодихрешения

______________________________________________________________________________________________

4.2.17.

4.2.18.

z =

x5 → min;

z =

4x1 + 3x2 - 3x3 +

→ min;

2x3 + x4 - 2x5 = 7,

2x2

+ 3x3

= 8,

-4x2 + 2x3

- 2x5 = 6,

- 4x2 - 4x3 + x4 = 0,

3x2

= 5,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.19.

4.2.20.

z = -3x1 + 2x2 + 2x3

→ min;

z =

-4x1

+ 3x3

x5 → min;

-x1

+ 3x2 + 3x3 + x4 = 7,

-2x1

- x4 - x5 = 7,

- 4x2 + 3x3 + 4x4 = 0,

-4x1

- 4x4

= 7,

xj≥0, j=

+ 3x5

= 6,

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.21.

4.2.22.

z =

-4x2 - 3x3

- 2x5 → min;

z =

+ 4x3

x4 + 2x5 → min;

4x1

+ 4x2

+ x5 = 4,

-4x2

- 2x5 = 7,

-2x1

- x2 + 2x3

= 3,

-4x1

+ x4 + x5 = 5,

-2x3 + x4

= 8,

+ 3x2 - x3

= 6,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.23.

4.2.24.

z =

-4x2

x3 + 3x4

→ min;

z =

-2x1

x3 + 3x4

→ min;

2x1

x2 + x3 + x4

= 1,

x2 + x3

- 3x5 = 8,

- 3x3

+ 2x4

= 5,

2x3 + x4 + 2x5 = 8,

-2x1

+ x5 = 7,

+ x4

= 2,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.25.

4.2.26.

z = -2x1 + 4x2 + 2x3

→ min;

z =

2x2

- 2x4

+ 2x5 → min;

2x1

+ x2

- 4x4

= 7,

-4x2

+ 3x4 + x5 = 7,

-4x1

+ 4x2

+ 3x4

= 6,

2x3 + 4x4

= 7,

xj≥0, j=

- 2x2

= 4,

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.27.

4.2.28.

z = -3x1

+ 2x3

x5 → max;

z =

3x2

+ 3x5 → min;

3x1

x2 - 4x3

+ x5 = 6,

+ x2

2x3 + 4x4

= 6,

+ 4x4 + 4x5 = 8,

-4x3 - 4x4

= 5,

4x1

+ 2x3 - 2x4

= 6,

= 0,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.29.

4.2.30.

z = -2x1 + 2x2 - 3x3

→ min;

z =

x1 -

x2 + 4x3 - 3x4 → min;

3x1

+ x3 - 3x4

= 4,

+ 4x2 + 4x3 - 3x4 = 0,

-4x1

2x3

x5 = 4,

4x1

+ 3x2 + 4x3 - 2x4 = 5,

- 4x4

= 8,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.31.

4.2.32.

z =

4x2

+ 4x5 → min;

z =

4x1

- 3x3

→ max;

+ 2x2 + 2x3

- 2x4

= 5,

x2 - 4x3 + 3x4

= 6,

2x1

3x2 - 4x3

= 4,

- 3x2

+ 4x3 + 2x4

= 6,

- 2x4

x5 = 0,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.33.

4.2.34.

z = 3x1 + 3x2 + 2x3

→ max;

z =

3x1

3x1 +

+ 4x4

→ min;

-4x1

- 4x3 + 2x4

= 6,

- 2x2

x3 + 2x4

= 6,

2x1

+ x2 + 2x3 - x4 = 6,

2x1

+ 2x2 + 3x3 + 3x4 = 0,

xj≥0, j=

1,4.

78 Ходыкин В.Ф., Преображенский А.А. Сборник задач по математическому программированию

________________________________________________________________________________________________

4.2.35.

4.2.36.

z =

4x1

+ 3x4

x5 → max;

z =

2x2 + x3

+ 2x5 → min;

4x1

+ 4x4 + 2x5 = 6,

-x1

x2 + 2x3 + x4

= 7,

- x3 - x4

= 5,

- x3

+ x5 = 0,

-4x1

- 2x3

+ 3x5

= 6,

4x1

+ 3x5

= 6,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.37.

4.2.38.

z =

2x1

+ 2x5 → max;

z =

-3x1 + 3x2 + 2x3 - 3x4 → min;

3x3 - x4 - x5 = 0,

- 3x2 + 3x3 + 4x4 = 7,

2x2 + 4x3

+ 2x5 = 4,

-4x1

- 3x2 + 2x3 + 3x4 = 4,

= 5,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.39.

4.2.40.

z =

x1 + 2x2

+ 2x4

→ max;

z =

-3x1

+ 3x2 + 2x3

→ max;

3x1

x2 + x3

= 7,

4x2 + 3x3 - 2x4

= 6,

+ 4x2

+ x4 + x5 = 7,

- 4x4

= 0,

2x1

+ x4

= 4,

x2 - x3

+ x5 = 5,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.41.

4.2.42.

z =

-x1

- 3x3

+ 2x5 → min;

z =

-x1

4x2 + x3

x4 - 2x5 → min;

2x1

-x2 + x3

+ x5 = 3,

= 4,

+ 4x2

+ 4x4

= 4,

4x2

- 3x4

+ 4x5 = 0,

4x1

+ 2x4

= 6,

+ 3x4

+ 3x5

= 4,

xj≥0, j=

1,5.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.43.

4.2.44.

z =

4x3

+ 4x4

+ 2x5 → min;

z =

x3 + 2x4 + 4x5 → min;

x2 - 3x3

- 3x5 = 3,

-x2

- 3x4

= 0,

+ 4x4 - 4x5 = 5,

+ x4 - x5 = 4,

x3 + 4x4

= 6,

-x2 + x3

- 2x5 = 2,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.45.

4.2.46.

z =

3x2

- 3x3

+ 4x5 → min;

z =

-x1

3x1

- 3x4 - 2x5 → min;

+ x2

+ x5 = 3,

- 2x2 + 2x3

= 7,

-2x1

+ x4

= 4,

-2x1

-3x2

+ x4 - 2x5 = 0,

+ 4x5 = 5,

+ 3x3

+ 3x5

= 7,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.47.

4.2.48.

z =

-2x2 + 4x3

+ 4x5 → min;

z =

-2x1

+ 3x3 - 4x4

→ max;

4x1

3x2 - 2x3

+ 4x4

= 5,

3x1

2x2 + 4x3 + 3x4

= 6,

+ x2 + 3x3

= 5,

+ x2

- x3 - 3x4

+ x5 = 8,

3x1

- 2x4 + x5 = 6,

4x1

= 6,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.49.

4.2.50.

z = -4x1

x2 + 4x3

- 3x4

→ min;

z =

4x3

x4 - 4x5 → min;

-2x1

- 2x2 + x3 + x4 = 6,

- x2 + 4x3

= 5,

-3x1

+ x2 + x3 - 2x4 = 6,

-x3 - 2x4 + 4x5 = 6,

xj≥0, j=

+ 2x5

= 5,

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.51.

4.2.52.

z =

3x2

+ 2x4

→ min;

z =

3x1 + 3x2 + 2x3 +

x4 → min;

-2x1

+ x2

+ x5 = 5,

3x1

+ 2x3 + 4x4 = 7,

x2 + 2x3 + x4

= 5,

-x1

+ x2 - 2x3 + 2x4 = 8,

+ 4x3

+ 2x4

= 4,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

Тема4. Геометрическаяинтерпретациязадачлинейногопрограммирования. Графическийметодихрешения

______________________________________________________________________________________________

4.2.53.

4.2.54.

z =

3x1

+ 2x3 - 2x4

→ min;

z = -4x1 + 4x2 + 2x3 +

→ min;

4x1

x2 + x3 + x4

= 7,

3x1

- 4x2 + 2x3

= 6,

+ 2x3

= 6,

2x1

+ 3x2

- 3x3 +

= 7,

-4x1

+ 4x4

x5 = 4,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.55.

4.2.56.

z =

2x1

2x2

- 3x3 +

- 2x4

+ 2x5 → min;

z =

+ 4x4

→ min;

-4x1

= 0,

4x1

+ x3

+ 2x5 = 8,

- 3x2

+ 3x3

- x5 = 5,

+ 2x5 = 6,

-4x1

+ x5 = 5,

+ x4

= 5,

xj≥0, j=

1,5.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.57.

4.2.58.

z =

4x1

+ 4x3 + 3x4

→ min;

z =

4x1

+ 4x4

+ 3x5 → max;

-3x1

-3x2

- 2x4

x5 = 6,

3x2

- 4x4

= 4,

- 2x3 + x4

= 0,

+ 2x2 + x3

x4 + x5 = 8,

2x1

- 4x2 + 2x3

= 7,

= 4,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.59.

4.2.60.

z =

-4x3

+ 2x5 → min;

z =

-4x2

-3x3

→ max;

+ 4x2

-2x3 + x4 + 3x5 = 3,

2x1

+ x4 + 3x5 = 4,

+ 2x5 = 4,

+ 4x2 + x3

= 5,

2x1

+ 3x2 + 2x3

= 5,

4x1

- 2x4

x5 = 5,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.61.

4.2.62.

z =

3x2

- 3x4

- 4x5 → min;

z =

-x1

→ max;

4x2

- x4

= 7,

-2x1

- x2

+ x4 + x5 = 7,

2x2

+ x3 + 3x4

= 6,

3x1

- 2x5 = 7,

+ x5 = 8,

x2 + x3

= 5,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.63.

4.2.64.

z =

4x2 + 3x3 -

→ max;

z = -4x1

+ 3x3 - 3x4

→ min;

-4x1

- 3x2 + 2x3

= 7,

+ 3x2 + x3

= 5,

-x3 + 3x4 + x5 = 3,

2x1

- 3x2 + 2x3 + x4 = 6,

+ 2x2

= 0,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.65.

4.2.66.

z = -2x1

+ 3x5 → max;

z =

3x1

- 2x3

→ max;

2x1

+ x2 + 2x3

= 5,

-3x1

+ 2x2

+ x5 = 6,

4x1

+ x3

x4 + 4x5 = 4,

3x1

4x2 + x3 + 3x4

= 6,

+ 4x5 = 4,

+ 4x3 + 3x4

= 5,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.67.

4.2.68.

z =

-x2 - 3x3 - 4x4

→ min;

z =

-x1 + 2x2

→ max;

- 4x2

+ 2x4

= 5,

+ 2x2 + 3x3 + x4 = 8,

4x1

+ x5 = 7,

-3x2 + x3 + 4x4 = 4,

- 3x4

= 6,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.69.

4.2.70.

z =

2x1

+ 2x3

→ max;

z =

4x3

x4 + 2x5 → max;

-x1

-3x2 + x3

= 5,

- x4

= 6,

+ 2x2

+ x4

= 4,

x2 + 2x3

+ 2x5 = 7,

2x1

- 2x4 + x5 = 4,

x3 + 2x4 + x5 = 8,

xj≥0, j=

1,5.

xj≥0, j=

1,5.

80 Ходыкин В.Ф., Преображенский А.А. Сборник задач по математическому программированию

________________________________________________________________________________________________

4.2.71.

4.2.72.

z =

3x1

+ 3x4

x5 → max;

z =

2x1 +

x2 - 3x3 - 4x4 → max;

-x1

+ 2x2 + 4x3

+ 3x5

= 6,

-3x2 + x3 + 4x4

= 8,

3x1

-4x2

+ 4x3

= 8,

+ 3x2

+ 4x3 + 3x4

= 5,

+ x4 + 2x5 = 8,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.73.

4.2.74.

z =

2x2

x3 + 4x4

→ max;

z =

3x1 +

+ 3x4

→ max;

4x1

+ 3x2

+ 4x4

= 6,

x2 + x3

= 7,

2x1

x3 - 2x4 - 3x5 = 0,

+ x4 = 3,

+ 3x2

= 7,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.75.

4.2.76.

z =

3x2

-x3 + x4 + 2x5 → min;

z =

4x1

3x2 + 4x3 - 4x4

→ min;

+ 2x3 + 4x4

= 4,

+ 2x2

+ 3x3

= 0,

2x2

- 4x3

= 6,

-4x1

+ 4x2

+ 2x4

= 5,

- 4x4

= 8,

-x3 - 2x4 + x5 = 5,

xj≥0, j=

1,5.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.77.

4.2.78.

z =

3x1

+ 2x4 → min;

z =

3x1

+ 3x4

x5 → max;

+ x2 + 4x3 + x4 = 7,

+ 4x2 + x3

= 6,

+ 3x3

= 6,

3x1

+ 3x2

-x3 +

= 8,

xj≥0, j=

= 3,

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.79.

4.2.80.

z =

x1 - 3x2 + 2x3

→ max;

z =

3x1

x2 + 3x3 - 4x4 → max;

3x1

- 4x3 + 3x4 = 7,

+ 3x2 + x3 - 2x4 = 6,

2x1

+ x2 + x3 + 4x4 = 6,

-x1

+ 4x2 - 2x3 + 4x4 = 4,

xj≥0, j=

1,4.

4.2.81.

4.2.82.

z = -4x1 + 2x2

- 2x3

→ max;

z =

+ 3x4

+ 2x5 → min;

4x1

+ 3x2

x4 + x5 = 7,

2x1

x2 - 2x3 + 3x4

= 7,

= 6,

- x4 + x5 = 0,

4x1

- 2x2

= 5,

4x1

+ 3x3

= 5,

xj≥0, j=

1,5.

4.2.83.

4.2.84.

z =

3x1 +

x2 + 2x3 + 2x4 → max;

z =

-3x1 - 4x2

+ 2x5 → max;

3x1

+ x2 + x3 + 4x4 = 6,

x2 + 2x3

+ 4x5 = 7,

-4x1

+ 4x3 + 2x4 = 8,

2x2

+ 3x3 + x4

= 8,

xj≥0, j=

+ 2x5 = 8,

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.85.

4.2.86.

z =

3x3 + 4x4

x5 → min;

z =

-x1

2x3

x5 → min;

+ x3

= 7,

- 2x2

+ x3 + 4x4

= 6,

+ 3x4 - 3x5 = 4,

-x1

+ 3x4

= 8,

4x4 - 2x5 = 0,

-3x2

= 5,

xj≥0, j=

1,5.

xj≥0, j=

1,5.

4.2.87.

4.2.88.

z =

-3x2 - 3x3 + 4x4

→ max;

z =

-x1 - 4x2 + 4x3 + 2x4 → max;

-2x1

x2 + x3 + x4

= 8,

4x2 + x3 + 3x4

= 0,

- 3x2

+ 3x3

= 6,

+ 2x2

+ 4x3 + 3x4

= 6,

-2x1

x5 = 4,

xj≥0, j=

1,4.

xj≥0, j=

1,5.

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