Y1, y2

A

9

R

y₁(t)

D

6

P

y₁= y₂

3

N

B

y₂(t)

T

t

0

/2



F

z

C

D

t₁

–3

P

x

30°

Рис.1

Рис.2

(3)

Подчеркнём, что все переменные силы, входящие в дифференциальное уравнение движения надо обязательно выразить через величины от которых они зависят.

В дальнейшем проекцию V_zcкорости груза на осьAzбудем для краткости обозначатьV.

Подставляя в (3) числовые значения массы mгруза, ускорения свободного паденияg= 9,8 м/с²и разделяя переменные, получаем

или(4)

Проинтегрируем обе части (4) :

(5)

Здесь для установления пределов интегрирования используются начальные условия: при z= 0 (положениеА) скорость грузаV=V₀=5м/с;

а также заданное значение для z_В=L= 2,5 м.

После вычисления интегралов в обеих частях уравнения (5) получим : или.

Потенцируя последнее равенство, находим и определяем скорость груза в положенииВ:

Перейдем к анализу движения груза на участке ВС. Скоростьбудет начальной скоростью движения на этом участке .

Изобразим груз в произвольном положении на ВСи укажем действующие на него силы: силу тяжестиP=mg, нормальную реакцию стенок трубкиN, силу трения о стенкиTи заданную переменную силуF(t) (рис.1).

Согласно основному закону динамики для груза Dна участкеВС:

(6)

Введем координатную ось Вxс началом в точкеВ. Спроектировав на неё (6) получим дифференциальное уравнение движения груза:

(7)

где проекции: ;;;

(8)

Последнее равенство означает, что изменение направления движения тела () вызовет изменение направления силы трения:. В начале движения вдольВС , поэтому примем:

После подстановки значений проекций в (7) получаем:

(9)

Умножая обе части уравнения (9) на dtи интегрируя, найдем

(10)

Будем отсчитывать время от момента, когда груз находится в точке В, тогда приt= 0 :. Подставляя в равенство (10) значенияt= 0,, получим :

При найденном значении уравнение (10) дает

(11)

Умножая в (11) обе части на dtи интегрируя, найдем

(12)

Так как при t= 0 груз находится в положенииВ, а значитx= 0, то из (12) следует. Искомый закон движения груза на участкеВС:

, (x– в метрах,t– в секундах) (13)

Уравнение (13) правильно описывает движение груза только до тех пор, пока его скорость . Поэтому следует определить момент времени, когда груз останавливается или меняет направление своего движения (). Это время находится из уравнения

или(14)

Приближенное решение уравнения (14) можно найти графическим способом. Для этого строим графики функций и(рис. 2). Абсциссаточки пересечения графиков функцийy₁(t) иy₂(t) (рис.2) является корнем уравнения (14).

Итак в момент с груз останавливается () в положении18,9 м . Груз продолжит свое движение лишь тогда, когда силы,Pпреодолеют силу трения т.е. если

или

Последнее неравенство выполняется только при Н. Это значит, что груз будет продолжать движение вдольВС"рывками".

Задача д2

Механическая система состоит двух ступенчатых шкивов 4 и 5 cрадиусами ступенейR₄= 0,3 м ,r₄= 0,1 м иR₅= 0,2 м ,r₅= 0,1 м , грузов 1, 2 и катка 3, связанных гибкой нерастяжимой нитью.

Массы шкивов m₄, m₅следует считать равномерно распределенными по их внешним ободам; каток 3 - сплошной однородный цилиндр

радиусом r₃= 0,1 м .

Под действием силы F, модуль которой зависит от перемещенияsточки её приложения (т.е.F =f (s)), система приходит в движение из состояния покоя.

При вращении шкивов 4 и 5 на них действуют пары сил сопротивления с постоянными моментами M₄иM₅соответственно. Коэффициент трения скольжения грузов 1, 2 о плоскостьf = 0,1. Коэффициент трения качения катка 3 по плоскости= 4 мм .

Определить значение искомой величины в тот момент времени, когда перемещение точки приложения силы Fравно. Искомая величина указана в столбце «Найти» таблицы 2, где обозначено:_- угловая скорость шкива 4,V₁- скорость груза 1,V_{C 3}- скорость центра масс катка 3 и т.д.

Таблица 2

Номер усло-вия	m1кг	m2кг	m3кг	m4кг	m5кг	M4 Нм	M5 Нм	F = f(s) Н	 м	Най- ти
0	2	0	4	6	0	0	0,8	50(2+3s)	1,0	V1
1	6	0	2	0	8	0,6	0	20(5+2s)	1,2	
2	0	4	6	8	0	0	0,4	80(3+4s)	0,8	VC 3
3	0	2	4	0	10	0,3	0	40(4+5s)	0,6	V2
4	8	0	2	6	0	0	0,6	30(3+2s)	1,4	
5	8	0	4	0	6	0,9	0	40(3+5s)	1,6	V1
6	0	6	2	8	0	0	0,8	60(2+5s)	1,0	
7	0	4	6	0	10	0,6	0	30(8+3s)	0,8	
8	6	0	4	0	8	0,3	0	40(2+5s)	1,6	VC 3
9	0	4	6	10	0	0	0,4	50(3+2s)	1,4	V2

Указания.Д2 - задача на применение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы [1],c.307.

(1)

При решении задачи следует учесть, что кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий всех входящих в систему тел. Эту энергию надо выразить через ту скорость (линейную или угловую), которую требуется определить в задаче.

При вычислении кинетической энергии катящегося катка 3 для установления зависимости между его угловой скоростью ₃ и скоростью

его центра масс V_C3следует использовать мгновенный центр скоростей катка.

Рассматриваемая система является неизменяемой (тела - абсолютно твердые, нити – нерастяжимые), поэтому суммарная работа внутренних

сил равна нулю [1], с.308. Следовательно, в правой части (1) учитываются лишь работы внешних сил. Все перемещения, необходимые для вычисления работ, следует выражать через заданное перемещение .

Если по данным таблицы m₁= 0 илиm₂= 0, то соответствующее тело можно на рисунке не изображать.

Образец выполнения задачи Д2

Условия задачи. Массы тел системы, изображенной на рис.3:m₁=4 кг,m₂ = 0 (поэтому тело 2 на рис.3б не показано),m₃ = 2 кг,m₄ = 0,m₅= 5 кг. Радиусы :R₅= 0,2 м ,r₅= 0,1 м ,r₄= 0,1 м ;r₃= 0,1 м.

Сила F= 2(1+2s) Н (s– перемещение катка 3 в м). Момент пары сил сопротивленияM₄= 0,6 Нм. Коэффициенты трения:f = 0,2;= 4мм.

Определить значение скорости V₁груза 1, в тот момент времени когда перемещение катка достигнет величины= 2 м .

Решение.Для определения скоростиV ₁воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии механической системы (1).

Поскольку в начальный момент времени система находилась в покое, то соответствующая кинетическая энергия T₀= 0. Кинетическая энергияT системы в конечном состоянии (когда перемещение катка= 2 м) равна сумме кинетических энергий всех тел системы:

(2)

сюда не включены кинетические энергии тел 2 и 4, массы которых равны нулю.

Учитывая, что тело 1 движется поступательно, тело 3 совершает плоскопараллельное движение, а тело 5 - вращается вокруг неподвижной оси, получим :

,,(3)

Все входящие сюда скорости выражаем через искомую V₁, используя известные из кинематики соотношения:

,,(4)

Входящие в (3) центральные осевые моменты инерции катка 3 (однородного цилиндра) и шкива 5 (масса равномерно распределена по внешнему радиусу R ₅ ) вычисляем по формулам :

,(5)

Подставив выражения (4), (5) для величин _,V_{C 3},_,I _C3,I ₅в (3), получим для кинетической энергии (2) всей системы :

(6)

Теперь найдем сумму работ всех сил, действующих на тела системы, на их перемещениях из начального положения в конечное.

Работа переменной силы F(s) на конечном перемещениинаходится в виде интеграла :

(7)

Работы сил тяжести тел системы :

, (8)

где - вертикальное перемещение центра тяжести катка 3;

, (9)

т.к. перемещения центров тяжести тел 1, 5 вдоль вертикали - нулевые.

Работа силы трения груза 1 о плоскость :

, (10)

где - нормальная реакция плоскости, по которой перемещается груз; - перемещение груза 1.

Работа пары сил сопротивления вращению шкива 4 :

, (11)

где - угол поворота шкива 4 .

Пара сил сопротивления качению катка 3 имеет постоянный момент и совершает работу:

, (12)

где N₃=m₃g cos30- нормальная реакция плоскости качения;- угол поворота катка 3.

Работы остальных внешних сил равны нулю:

A(F_сц)=A(N₃)=0, поскольку точка приложения силF_сциN₃является мгновенным центром скоростей катка 3;

A(N₁) = 0, , т.к. силаN₁перпендикулярна перемещению точки её приложения;

работа реакций осей шкивов (эти силы на рис.3.б не показаны) равна нулю, поскольку точки их приложения не перемещаются.

Все необходимые для вычисления работ линейные и угловые перемещения выражаем через заданное перемещение центра катка 3, учитывая что зависимости между перемещениями будут подобны зависимостям (4) между соответствующими скоростями :

; ; ; (13)

Находим сумму работ (7) - (12) , учитывая (13) :

(14)

Подставим полученные выражения (6) и (14) в уравнение (1) :

Из последнего равенства выражаем скорость груза 1 :

Подставляя числовые значения заданных величин получим V₁= 0,91м/с.