Практикум по прикладой статистике

Таблица 1.4 Показатели хозяйственной деятельности предприятия

20

Тема 2. Факторный анализ

Теоретические основы

Факторный анализ – это совокупность статистических методов, позволяющих выявлять скрытые общие факторы развития изучаемых явлений и процессов.

Возникновение факторного анализа связано с исследованиями

вобласти психологии, долгое время его идеи не находили широкого применения в других областях. Расширение сфер применения факторного анализа, признание его практической значимости непосредственно связано с развитием вычислительной техники. В настоящее время методы факторного анализа широко применяются

всоциологических, маркетинговых, медицинских и прочих исследованиях.

Основная цель факторного анализа состоит в том, чтобы описать множество параметров (признаков) исследуемого объекта посредством меньшего числа общих факторов, которые не поддаются непосредственному измерению и выявляются на основе изучения взаимосвязи исходных признаков. Общие факторы представляют собой интегральную характеристику начальных признаков, т.е. являются показателем более высокого порядка, содержащим информацию о множестве начальных признаков.

Применение факторного анализа позволяет решать следующие исследовательские задачи:

снижение размерности изучаемого признакового пространства, т.е. переход от множества переменных к меньшему числу обобщенных факторов;

изучение структуры исходных переменных, их классификация;

распознавание образов.

Факторный анализ основан на допущении, что вариация начального признака объясняется не только влиянием общих факторов, но и влиянием характерных факторов, присущих только данному признаку, и случайных факторов (ошибки измерения).

Факторы, связанные значимыми весовыми коэффициентами с двумя и более переменными, называются общими факторами, со всеми переменными – генеральными, только с одной переменной -

21

характерными. Соответственно доля общей дисперсии признаков, объясненной общими факторами, называется общностью, а доля дисперсии, не объясненной общими факторами – характерностью.

Математическая модель факторного анализа имеет вид линейной функции от общих факторов и одного характерного фактора:

xij ai1 f1 j ai 2 f2 j ... aim fmj d j vij ,

( i 1, n; j 1, m; r 1, m )

где n - число объектов наблюдения;

m - число показателей, характеризующих объект; r - число значимых общих факторов;

xij - центрированное значение j-го показателя (переменной) у i-го объекта исследования;

fr - r-й общий фактор;

v j - j-й характерный (индивидуальный) фактор, присущий только данной j-й переменной;

a jr - весовой коэффициент j-й переменной на r-м общем факторе;

d j - весовой коэффициент j-й переменной на j-м характерном факторе.

Общий алгоритм факторного анализа:

1.Представление исходных данных в виде матрицы Х, размерностью n×m, где n - число объектов наблюдения, m - число признаков наблюдения;

2.Стандартизация матрицы исходных данных по формуле

при условии, что признаки имеют одни и те же единицы измерения;

22

4. Построение редуцированной матрицы ковариаций ( Sh ) или корреляций ( Rh ), на главной диагонали которой расположены общности;

5.Поиск матрицы факторного отображения А, элементами которой являются весовые коэффициенты a jr ;

6.Вращение пространства общих факторов с целью интерпретации результатов анализа;

7.Определение матрицы общих факторов F , элементами которой являются факторные значения для каждого объекта

наблюдения fir .

Существуют несколько способов определения общностей:

метод наибольшей корреляции, метод Барта, метод триад, метод малого центроида. Подробнее указанные методы изложены в работах [6,7].

Методы факторного анализа (рис. 2.1) различаются по способу определения матрицы факторного отображения. Условно они подразделяются на упрощенные, позволяющие выделять ограниченное количество факторов, и аппроксимирующие методы, которые итеративным путем определяют наилучшее факторное решение.

Описание методов факторного анализа, их основные недостатки и преимущества представлены в таблице 2.1.

Вращение пространства общих факторов позволяет определить наилучшее решение с точки зрения содержательной интерпретации факторов. Вращение факторов может быть ортогональным, когда исключается корреляция между факторами, и косоугольным, когда допускается корреляция между факторами. К методам ортогонального вращения относятся квартимакс,

варимакс, эквимакс, биквартимакс, косоугольного вращения – квартимин, коваримин, облимин, биквартимин, бинорамин, облимакс, ортоблик и максплейн. Целью указанных методов является оптимизация некоторого критерия, в случае ортогонального вращения – максимизация дисперсии элементов матрицы факторных нагрузок. Подробно методы вращения пространства общих факторов рассмотрены в работах [3,4,7].

23

24

25

26

Решение типовой задачи с помощью ППП Statistica

Задача. Для выявления основных факторов, влияющих на выбор автомобиля, опрошено 30 покупателей автомобиля. Респондентам предложено оценить значимость следующих критериев при выборе автомобиля по десятибалльной шкале (1 – абсолютно не имеет значения, 10 –значимо):

х1 – стоимость автомобиля; х2 – объем потребления топлива на 100 км пути;

х3 – техническое состояние автомобиля; х4 – срок эксплуатации автомобиля с момента выпуска.

Значения показателей представлены в таблице.

Таблица 2.2

Результаты опроса респондентов

Решение:

1.Ввод данных в программу ППП Statistica путем непосредственного набора данных в рабочий лист (Spreadsheet) или переноса подготовленной таблицы данных из Excel.

27

2.Открыть меню Статистика (Statistics) и выбрать команду Многомерные исследовательские методы (Multivariate Exploratory Techniques) → Факторный анализ (Factor Analysis). Откроется диалоговое окно факторного анализа (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Диалоговое окно факторного анализа

3. На стартовой панели факторного анализа нажать кнопку Переменные (Variables). Откроется окно выбора переменных (рис. 2.3). В открывшемся окне в качестве переменных для анализа выбрать Var 1- Var 4. Нажать кнопку Ok.

Рис. 2.3. Окно выбора переменных для анализа

28

4. Вернуться в диалоговое окно факторного анализа (рис. 2.4). Нажать кнопку Ok. Откроется окно выбора метода факторного анализа (рис. 2.5).

Рис. 2.4. Окно выбора параметров факторного анализа

5.В открывшемся окне в поле Максимальное число факторов (Maximum no. of factors) установить число 2. В данном поле можно задавать любое число выделяемых факторов, не превышающее число начальных переменных. В поле Минимальное собственное число (Minimum eigenvalue) по умолчанию задается 1. Перейти на вкладку Дополнительно (Advanced).

6.На данной панели необходимо выбрать метод факторного

анализа. Программа предлагает следующие методы: Метод главных компонент (Principal components), Общности равны R2

(Communalities=multiple R2 ), Метод минимальных остатков (Iterated commun. (MINRES)), Метод максимального правдоподобия

(Maximum likelihood factors), Центроидный метод (Centroid method),

Метод главных осей (Principal axis method). В качестве метода факторного анализа выбрать Метод максимального правдоподобия (Maximum likelihood factors). Перейти на вкладку Описательные

(Descriptives) (рис. 2.6).

29