4. Класс

Многозначные числа: разряд и класс. Сложение и вычитание многозначных чисел. Умножение и деление на двузначное и трехзначное число.

Градусная мера углов. Виды углов. Виды треугольников в зависимости от величины углов или длин сторон. Построение треугольников по трем элементам (двум сторонам и углу между ними, стороне и двум прилежащим углам, по трем сторонам). Построение прямоугольника с линейкой и транспортиром.

Многогранник: вершины, ребра, грани. Куб. Прямоугольный параллелепипед. Развертки многогранников. Объем куба: кубический сантиметр и кубический метр.

Координатный угол. Простейшие графики. Диаграммы. Таблицы.

Выражения с одной, двумя и тремя переменными и их значения.

Высказывание и его значение (истина, ложь). Составные высказывания (отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация). Таблицы истинности высказываний. Логические возможности. Отношения, обладающие свойствами рефлексивности, транзитивности и симметричности.

Точные и приближенные значения величины. Измерения с заданной точностью. Округление. Погрешность.

Масштаб. План и карта.

Решение арифметических задач в 3—4 действия.

Сопоставительный анализ всех пяти программ с программой традиционной школы показывает, что объем изучения нумерации и арифметических действий в них единый. Разница только в распределении тем по годам обучения. Программы Л.В. Занкова и «Гармония» не рассматривают задачу в 1 классе, но итоговый уровень сложности рассматриваемых в них задач (в 4 классе) одинаков.

Все альтернативные программы содержат значительно больший объем геометрического материала, чем традиционный учебник, при этом значимым отличием является работа с объемными телами и инструментами для построения фигур на плоскости (циркуль, угольник, транспортир).

Программы И.И. Аргинской и Э.И. Александровой содержат значительный по объему материал работы с дробями: первая — с обыкновенными, вторая — с десятичными, в том числе с процентами.

Программы Л.Г. Петерсон и В.Н. Рудницкой отличаются наибольшим уровнем насыщения курса математики начальной школы алгебраическим материалом и дробями (в том числе и процентами). Программа Л.Г. Петерсон также знакомит учеников начальных классов с элементами теории множеств, а программа В.Н. Рудницкой — с элементами формальной логики.

Программа и учебные пособия Н.Б. Истоминой являются наименее загруженными дополнительным к традиционному объему материалом и в целом наиболее близки к проекту нормативного документа, рассмотренного в данной лекции.

Очевидно, что для работы по упомянутым программам учитель начальных классов должен обладать достаточно глубокими знаниями математики, а также быть знакомым с тем, как нетрадиционное для начальной школы содержание (сложные уравнения, дроби, проценты, элементы теории множеств и логики.) рассматриваются в методике обучения математике в средней школе, чтобы учитывать требования преемственности обучения.

Возникает также закономерный вопрос: каков главный инструмент реализации развивающей функции обучения математике в той или иной альтернативной программе? Ответ на него не является однозначным: в системе Л.В. Занкова во главу угла ставится необходимость соблюдать дидактические принципы организации развивающего обучения и опора на систему проблемных ситуаций на уроке. В программах Л.Г. Петерсон, В.Н. Рудницкой и Э.И. Александровой основной «вес» развивающего потенциала связан с усложнением арифметической (системы счисления и дроби), алгебраической (уравнения) и формально-логической (элементы теории множеств и логики) линий содержательного наполнения программ. Это обусловлено значимым влиянием на эти системы взглядов В. В. Давыдова на ведущую роль теоретического мышления в развитии ребенка младшего школьного возраста. В программе Н.Б. Истоминой основная роль «двигателя развития» ребенка в процессе обучения математике отводится построению методической системы целенаправленного формирования приемов умственных действий (сравнения, обобщения, классификации, аналогии.). Такой подход позволяет без особых содержательных изменений традиционного объема в обучении математике младших школьников нацелить обучающий процесс на развитие таких способов познания ребенка (упомянутые приемы умственных действий определяют процесс познания индивида), которые становятся достоянием субъекта, характеризуя его интеллектуальный потенциал и познавательные способности.

Таким образом, налицо «ситуация неопределенности»: с одной стороны, методика обучения математике младших школьников -это наука, ориентированная на достижение конкретных целей. Предмет ее исследования — отбор и упорядочивание математического содержания (чему учить?), предназначенного для изучения детьми, а также организация совместной деятельности учителя и учащихся (как обучать?). С другой стороны, общий взгляд на цель развивающего обучения (зачем обучать?) сформировался в недрах дидактики и психологии обучения и сформулирован в терминах более психологических, чем методических: цель развивающего обучения — личностное развитие ребенка. Таким образом, результаты этого процесса должны, по идее, оцениваться в логике психологической науки — по линии развития психической деятельности и в аспекте индивидуально-психологических особенностей детей. Вот здесь и возникает то противоречие, которого не было, пока учебный процесс был ориентирован на «знаниевую парадигму», когда ответ на вопрос «зачем учить?» имел простой и понятный учителю (а также всем тем, кто должен был осуществлять контроль этого процесса) ответ: «чтобы знали!». Сегодня такой ответ не может быть принят в качестве главного в соответствии с установкой на развивающее обучение, но с другой стороны -его нельзя и отвергнуть, поскольку существует понятие «стандарт обучения», в отношении которого установка совершенно однозначна: дети должны знать все, что обозначено в стандарте. Однако нигде при этом не доказано, что:

во-первых, то, что обозначенные в стандарте знания и умения обеспечат каждому ребенку необходимые (по целевой установке развивающего обучения) психологические новообразования (т. е. положительные сдвиги в его индивидуальном психологическом развитии);

во-вторых, возникает вопрос: какому контролю отдать приоритет — контролю качества знаний или психологическому тестированию ученика при осуществлении мониторинга учебного процесса?

в-третьих, психологический мониторинг совершенно не сочетается с балльной системой контроля знаний, он требует совершенно иных критериев и специализированных знаний при его проведении, не говоря уже о спорности выбора направлений этого мониторинга (различные школы предлагают для анализа различные психологические новообразования школьников);

в-четвертых, сам термин «оптимальное общее развитие школьников» (Л.В. Занков) является весьма неопределенным) поскольку развитие каждого ребенка является процессом индивидуализированным, присущим только этому индивиду, а также весьма неравномерным, поскольку очень зависит от «внутренней среды» (физиологии, психофизиологии, физического и эмоционального состояния ребенка.).

В этой связи, представляется разумным выделить какое-то одно направление «общего развития», в частности, предметно связанное с математикой как таковой, и поставить целью обучения развитие ребенка преимущественно в этом направлении. В этом случае представляется возможным концентрировать внимание на тех сторонах психического развития ребенка, которые являются базовыми составляющими математического развития. Кроме того, становится обоснованным процесс усвоения математических знаний, поскольку совершенно невозможно доказать, например, необходимость знания наизусть таблицы сложения с точки зрения общего развития ребенка, но эта необходимость очевидна с точки зрения математического развития. Таким образом, выбор математического развития в качестве цели математического образования младших школьников позволяет по-новому взглянуть как на построение его психолого-дидактического обоснования, так и на отбор содержания и выбор методов обучения.