Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Дальневосточный федеральный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Конспект лекций по алгебре

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

01.05.2015

Размер:

1.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1415 / 1815 16 17 18 > Следующая >>>

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 141 из
Дегтярева Н.Е.		Алгебры, геометрии и	172
		анализа

где Xoo- общее решение соответствующей однородной системы, а Xчн-

частное решение неоднородной системы.

Для более простого нахождения частного решения, удобно взять свободные неизвестные равными нулю.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 142 из
Дегтярева Н.Е.		Алгебры, геометрии и	172
		анализа

Лекция16.

Понятие линейного оператора. Основные свойства. Собственные числа и собственныевекторы.Квадратичныеформы.

Цель: Изучить понятия линейного оператора и его собственных чисел и собственныхвекторов,методыихнахождения.

Определение. Пусть V и W – линейные пространства размерности n и m соответственно, A – будем называть оператором, действующим из V и

A:V W

, y A x или y Ax, говорят что y – образ элемента x,

A: x y

а x – прообраз y.

Определение. Оператор A, действующий из V в W называется

линейным, если для x1,x2 V и C выполняются соотношения:

1.	A x1,x2 Ax1 Ax2.
2.	A x Ax.
Если	W (комплексная плоскость), то			A –	называют	линейным
функционалом. Если W совпадает с		V ,	то	A –	называют	линейным
преобразованием пространства.
Определение. Произведение λ		на	A	называется оператор λA

определяемый равенством A x Ax . 0x 0, где 0 нулевой оператор,

A 1 A, противоположный A оператор. Ix x - I –

тождественный или единичный оператор.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 143 из
Дегтярева Н.Е.		Алгебры, геометрии и	172
		анализа

Определение. Произведением оператора A на B называется оператор,

для которого верны следующие соотношения AB x A Bx :

1)AB BA;

2)AB A B;

3)A B C AC BC;

4)A B C AB AC;

5)AB C A BC .


Определение.		Оператор B называется	обратным для A		если,
AB BA I,	обозначают B A 1.
Определение.		Ядром линейного оператора A		называется множество
всех элементов		x пространства V ,	для	которых	Ax 0:
ker A x V,Ax 0 .

Определение. Образом линейного оператора A называется множество элементов y таких что Ax y: Im A y W,Ax y .

Определение. Рангом линейного оператора называется число равное

rangA dim(Im A).

Теорема. Пусть dimV n и пусть

A:V V , тогда

dim Im A dim ker A n.

Матричная запись линейных операторов.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 144 из
Дегтярева Н.Е.		Алгебры, геометрии и	172
		анализа

Фиксируем в линейном пространстве V базис e1,e2,...,en пусть x –

произвольный элемент V и x xk ek (разложение x по базису ek ). k 1

Пусть

A– линейный

оператор

V V .

Тогда имеем

Ae1 a11,...,an1 ,

…, Aen a1n,...,ann .

xk Aek .

Пусть

Aek akj

k 1

j 1

образы базисных векторов, тогда

akj

j akjxk

j , т. е.

k 1

j 1

j 1k 1

	n
y	j akjxk , j=1,…,n,	y	x	.
	k 1

Рассмотрим akj матрицу линейного оператора в заданном базисе

e1,e2,...,en, это матрица столбцами которой являются координаты базисных векторов e1,e2,...,en. Причем единственный линейный оператор

A, матрицей которого в заданном базисе e1,e2,...,en будет матрица .

rang A rang , A - оператор.

a11 ...

a1n x1

При этом соотношения y Ax,

...

, с

...

одной стороны связывают образ x с координатами прообраза

с другой

стороны, описывают действие линейного оператора

A заданного матрицей

A. При изменении базиса матрица линейного оператора A также изменится.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:

Идентификационный

Контрольный экземпляр

Лист

номер:

находится на кафедре

стр. 145 из

Дегтярева Н.Е.

Алгебры, геометрии и

172

анализа

Пусть задан базис

2,...,

в пространстве V и

e 1,e 2,...,e n -

новый базис, а U – матрица перехода от базиса e e , тогда матрица линейного оператора в двух базисах связаны следующим соотношением:

U 1

e Ue, т. к.

y A

x A

x ,

1A U и

x A

U x, y U

Ux.

Определение.

Число λ

называется

собственным

значением Aесли

существует ненулевой вектор x такой, что Ax x, при этом x называется

собственным вектором оператора			A. Т.к.	Ax Ix 0,
A I		0 A E x 0, тогда	чтобы однородная система имела
	x
ненулевое решение необходимо и достаточно, чтобы				det A E 0.

Многочлен det A E называется характеристическим многочленом A.

Чтобы найти собственные числа нужно решить уравнение

A E 0.

Чтобы найти собственный вектор xi , соответствующий собственному

числу i необходимо решить систему A iE xi 0.

Свойства собственных значений и собственных чисел.

1.Каждый линейный оператор имеет собственное значение.

2.Собственные числа и векторы не всегда вещественные.

3.У симметричной матрицы собственные числа всегда вещественны.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 146 из
Дегтярева Н.Е.		Алгебры, геометрии и	172
		анализа

4.Собственные векторы соответствующие собственным значениям различные линейно независимы.

5.Если характеристический многочлен n-ой степени оператора A имеет

n – различных корней, то в некотором базисе матрица оператора A имеет диагональный вид.

6. Для того чтобы матрица A линейного оператора A в данном базисе

ek была диагональной, необходимо и достаточно, чтобы базисные векторы

ek были собственными векторами этого оператора.

Определение. Линейный оператор A называется самосопряженным,

если для любых x, y V выполняется равенство: Ax, y x, Ay .

Свойство самосопряженного линейного оператора

1.Собственные значения самосопряженного оператора вещественны.

2.Если A – самосопряженный оператор, то собственные векторы,

отвечающие различным собственным значениям этого оператора ортогональны.

Определение. Квадратичной формой называется однородный

многочлен второй степени		относительно		n переменных	x1,x2,...,xn.
					n
Квадратичную форму	всегда можно		представить в виде: aik xixk ,
					i,k 1
(aik aki,i,k 1,...,n),	где	A [aik ]	-	симметрическая	матрица (т.е.
A AT ).

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 147 из
Дегтярева Н.Е.		Алгебры, геометрии и	172
		анализа

Если A – вещественная симметричная матрица, то форма называется

вещественной, A– самосопряженная.

В дальнейшем будем рассматривать вещественные квадратичные формы.

Теорема. Для каждой квадратичной формы существует базис, в котором она имеет канонический вид (т.е. представляет сумму квадратов) или такой вид в котором матрица квадратичной формы имеет диагональный вид.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 148 из
Дегтярева Н.Е.		Алгебры, геометрии и	172
		анализа

Лекция 17

Кривые второго порядка

Цель: Изучить канонические уравнения линий второго порядка, их основные характеристики.

Определение. Окружность – это геометрическое место точек равноудаленных от некоторой фиксированной точки называемой центром окружности (рис.17.1).

x2 y2 r2

(17.1)

если центр перенесен в точку с координатами (x0, y0), то

(х х0)2 (у у0)2

(17.2)

Рис. 17.1

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости F1, F2,

называемых фокусами, есть величина постоянная равная 2a.

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр		Лист
	номер:	находится на кафедре		стр. 149 из
Дегтярева Н.Е.		Алгебры, геометрии и		172
		анализа
Выведем	каноническое уравнение эллипса. Возьмем		произвольную

точку M(x, y), принадлежащую эллипсу. Отрезки F1M , F2M

называются фокальными радиусами точки и обозначаются r1, r2 (Рис17.2).

Их постоянную сумму принято обозначать через 2a. Поэтому

F1M

F2M

r1 r2 2a

(17.3)

Рис. 17.2
Расстояние между фокусами обозначим за 2с и будем	называть
фокальным расстоянием. При этом F1( c;0), F2(c;0). Т.к.	F1M
F2M F1F2, то 2a 2c и следовательно
a c	(17.4)

Для вывода уравнения выразим фокальные радиусы через координаты

точек M, F1, F2:

ДАЛЬНЕВОСТОЧНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Учебно-методический комплекс дисциплины Аналитическая геометрия и алгебра

Разработала:	Идентификационный	Контрольный экземпляр	Лист
	номер:	находится на кафедре	стр. 150 из
Дегтярева Н.Е.		Алгебры, геометрии и	172
		анализа


r (x C)2			y	2 r		(x C)2 y2
1				2
	Подставим полученные выражения в формулу (17.3)

	(x c)2	y2			(x c)2 y2			2a	и избавимся от корней

	(x c)2	y2	2a				(x c)2	y2	возводим в квадрат