Глава II. Логика предикатов

Понятие в логике предикатов. Специфика понятия в логике предикатов лучше всего может быть пояснена через раскрытие его отношения к высказыванию. Для этого надо представить понятие в качестве высказывательной функции или формы высказывания, как это делает немецкий автор В. Зегет, отрывки из книги которого “Элементарная логика” использованы в этом разделе. Высказывательной функцией является, например, “x - студент-заочник” и “x - отец y”. Как известно, каждое высказывание обладает свойством быть либо истинным, либо ложным. Очевидно, что приведенные в качестве примеров выражения с этой точки зрения не могут быть оценены. Поэтому они не являются высказываниями; по этой причине их лучше назвать высказывательными функциями. Они ничего не утверждают и ничего не отрицают, а представляют собой незаконченные, незавершенные высказывания и имеют, по крайней мере, одну переменную величину (x, y), представляющую собой так называемую свободную переменную. В высказывании же, точнее в его языковом выражении, нет никакой свободной переменной. Не давая пока определения свободной переменной, будем на этой стадии рассмотрения считать ее переменной, которая еще не имеет значения.

Существуют два способа перехода от понятия как высказывательной функции к высказыванию. Первый заключается в завершении высказывательной функции до высказывания путем замены свободной переменной подходящими конкретными именами. Так из “x - студент-заочник”, заменяя переменную x именем “Петр Морозов”, получаем повествовательное предложение “Петр Морозов - студент-заочник”. Это выражение обязательно является либо истинным, либо ложным, смотря по тому, учится на заочном отделении или нет подразумеваемый Петр Морозов. Из “x - отец y” повествовательное предложение получается лишь тогда, когда обе свободные переменные заменены собственными именами, например: “Степан Павлович Титов - отец Германа Степановича Титова”.

Приведенные в качестве примеров переменные - это индивидные переменные. Они представляют собой как бы пустые места для собственных имен, т.е. для языковых выражений, которые однозначно именуют конкретные индивиды. В результате применения первого способа к содержащим такие переменные высказывательным функциям получаются единичные высказывания.

Второй путь получения предложения из высказывательной функции заключается в связывании свободных переменных. Это происходит с помощью операторов или кванторов. Из высказывательной функции “x - студент-заочник”, используя квантор существования, получают высказывание о существовании:

Это значит: “Существует, по крайней мере, один индивид, для которого верно, что x - студент-заочник”. Совершенно очевидно, что квантор превратил выражение в такое, что теперь оно обязательно является либо истинным, либо ложным в зависимости от того, что подразумевается под x. Оно истинно, если x - люди вообще, и оно ложно, если x означает какую-то конкретную группу лиц, среди которых нет ни одного заочника.

Из высказывательной функции “x - отец y” с помощью двух кванторов существования получают высказывание о существовании:

[x – отец y].

Это значит: “Существуют, по крайней мере, один x и один y, для которых верно, что x - отец y”. Можно также получить высказывание

[С.П.Титов – отец y].

Одна переменная заменена в нем на индивидуальное имя, другая осталась свободной, вернее, ограниченной только квантором. Теперь это полу символическое выражение означает, что существует некий y, для которого верно, что С.П. Титов - его отец. Важно, чтобы были учтены все свободные переменные. Оба этих выражения тоже сходны с высказыванием в том отношении, что они также могут быть оценены с точки зрения истинности.

Теперь о другом кванторе. Из высказывательной функции “x - студент-заочник” с помощью квантора общности получают высказывание обо всех индивидах:

[x – студент-заочник],

то есть для каждого индивида x верно: “x - студент-заочник”. С помощью квантора общности выражают, что каждому отдельному индивиду определенной области принадлежит данный признак.

Применяя два квантора общности к этой же самой высказывательной функции, можно получить следующее ложное высказывание:

[x - отец y].

Это значит: “Для каждого x и для каждого y верно: x - отец y”, иными словами: “Каждый является отцом каждого”. В результате комбинированного применения квантора общности и использования собственных имен также получаются высказывания обо всех индивидах.

Могут быть и высказывания, в которых используются оба типа кванторов, например:

Если индивидная область - область людей, то эта запись выражает высказывание “Каждый человек имеет отца”.

Итак, высказывательные функции превращаются в высказывания путем замены содержащихся в них свободных переменных именами собственными или путем связывания их кванторами. Квантор связывает все находящиеся в области его действия свободные переменные. В область действия квантора всегда входит, по крайней мере, последующая высказывательная функция. В нее может одновременно входить и несколько высказывательных функций, соединенных логическими связками. В этом случае все высказывательные функции, находящиеся в области действия квантора, объединяются скобками.

Два вида переменных, о которых здесь шла речь, можно определить следующим образом:

Переменная является свободной переменной, если она не находится в области действия квантора.

Переменная является связанной переменной, если она находится в области действия квантора.

Может удивить, что в разделе о логике предикатов не было еще и речи о предикатах. Теперь их введение подготовлено, так что уже можно несколькими фразами объяснить, что такое предикаты, какой смысл будет вкладываться в это понятие в данном разделе символической логики.

Предикаты - это высказывательные функции типа “x - студент-заочник”, “x больше, чем y”, “x говорит с y о z” и т.д. Их можно считать аналогами понятий традиционной логики, так как в них отражается содержание понятий в их правильной логической форме. Понимаемые так предикаты являются также базовым структурным элементом для образования высказываний логики предикатов и выражения их на символическом языке, принятом в этом разделе символической логики. С этой точки зрения они сходны с предикатами суждений, так как, подобно им, не являются ни истинными, ни ложными, хотя внешне они больше похожи на высказывания. Все, что до сих пор говорилось о высказывательных функциях, относится также и к предикатам, так как каждый предикат является высказывательной функцией.

В приведенных ранее примерах встречаются предикаты с одной и с двумя переменными. В принципе их может быть и три, и четыре, и больше. В этом смысле принято говорить о многоместных предикатах. По числу мест предикаты делятся на:

(1) одноместные предикаты - это отражения свойств, высказывательные функции с одной переменной,

(2) многоместные предикаты - это отражения отношений, высказывательные функции более чем с одной переменной.

Многоместные предикаты более строго подразделяются на двухместные, трехместные и т.д. предикаты или отношения.

Когда перед нами двухместный предикат, то его содержание может быть выражено как суждение, отмечающее разные отношения, - любить, ненавидеть, быть больше или меньше, находиться дальше или ближе и т.п. Допустим, L у нас означает любить. Тогда, пользуясь языком логики предикатов, можно записать:

все любят всех;

все не любят всех;

некоторые не любят всех;

некоторые кого-нибудь любят.

В логике предикатов к каждой такой записи надо обязательно указывать предметную область, к которой относится высказывание. Это называется задать универсум для переменных. Так, x и y могут означать людей. Тогда выражение

где x, y - люди,

является истинным высказыванием: “Некоторые люди кого-нибудь любят”.

А выражение

где x - кошки, y - собаки,

означающее, что кошки любят собак, будет ложным высказыванием.

Допустим затем, что нам надо проверить истинность высказывания, гдеL(x, y) также означает, что “x любит y”, а универсумом являются персонажи “Анны Карениной”: Анна, Вронский, Каренин. Сделанная нами символическая запись, очевидно, означает: “Все кого-нибудь не любят”. И чтобы проверить ее значение истинности, надо перебрать все варианты отношений между персонажами:

(Анна, Вронский) - ложно.

(Анна, Каренин) - истинно.

(Вронский, Анна) - ложно.

(Вронский, Каренин) - истинно.

(Каренин, Анна) - ложно.

(Каренин, Вронский) - истинно.

Из этого перечня видно, что каждый из персонажей в самом деле кого-нибудь не любит, следовательно, на рассматриваемом нами универсуме формула дает истинное высказывание.

Трехместные предикаты выражают более сложные взаимоотношения. Например, выражение

где x, y, z - люди,

может быть интерпретировано так: некий x получает кредит у какого-то y с помощью рекомендации от z.

Суждение в логике предикатов. Теперь можно перейти и к суждениям. В работе с суждениями логика предикатов опирается на исчисление высказываний и представляет собой его дальнейшее продолжение. Но в отличие от того, как делается там, здесь снова принимается во внимание структура суждения - деление на субъект и предикат, хотя записываются они уже иначе, чем в традиционной логике. Можно, разумеется, записывать как общие суждения, так и частные, а также утвердительные и отрицательные.

Общеутвердительное суждение в логике предикатов запишется в следующем виде:

Читается это выражение так: “Для любого x верно, что если оно обладает свойством S, то тогда оно обладает и свойством P”. Если бы, допустим, у нас было общеутвердительное суждение “Всякий товар обменивается на деньги”, то тогда на языке логики предикатов оно звучало бы так: “Для всякой вещи верно, что если она - товар, то тогда она обменивается на деньги”. Такая формулировка кажется неудобной, громоздкой грамматической конструкцией, но для целей символической логики она более удобна.

Общеотрицательное суждение тоже записывается с помощью импликации, только свойство, отмечаемое в обычном суждении в предикате, записывается с отрицанием. Суждение “Ни одна мышь - не хищник” в символическом виде будет выглядеть так:

Если x обладает свойством быть мышью, то не обладает свойством быть хищником.

Частные суждения (утвердительные и отрицательные) записываются с помощью квантора существования. А вместо импликации берется конъюнкция. Употребление именно этого квантора должно быть понятно само собой, ведь он предназначен для выражения частных суждений: существует x, обладающий такими-то свойствами, означает то же самое, что некоторые x обладают этими свойствами. Замена же импликации на конъюнкцию объясняется тем, что свойство, отмечаемое в предикате, принадлежит (не принадлежит) только части предметов, о которых говорится в субъекте; это значит, утверждение об обладании этим свойством нельзя считать следствием того, что мы взяли такие предметы, для которых оно непреложно необходимо. Предмет и такое-то свойство просто соседствуют иногда. Поэтому конъюнкция более уместна для выражения их взаимоотношений.

Частноутвердительное суждение, например, такое: “Некоторые книги - учебники” запишется формулой:

Существует по меньшей мере одно x, для которого верно будет сказать, что оно обладает свойством S (быть книгой) и одновременно свойством P (быть учебником).

Частноотрицательное суждение, например: “Некоторые города - не столицы” получает такое выражение:

Существует хотя бы одно x, для которого верно, что оно - город и в то же время не столица.

Таким образом, мы перебрали все виды суждений и, следовательно, теперь можем записывать любые их комбинации. Выведем в качестве примера формулу для такого сложного суждения: “Все адвокаты - юристы, а некоторые имеют второе образование”.

S означает здесь быть адвокатом, P - быть юристом, Q - иметь второе образование. Это выражение можно при желании преобразовывать, как формулу логики высказываний.

Законы логики предикатов. Законами в логике предикатов, как и в логике высказываний, являются общезначимые выражения, то есть такие, которые остаются истинными при любых наборах переменных. Причем выражения общезначимые в логике высказываний остаются таковыми и в логике предикатов. Так, законы эквивалентных преобразований, выражаемые в предыдущем разделе формулами 2-9, как и другие законы, могут быть перенесены и сюда тоже. Достаточно заменить использовавшиеся там переменные A и B на предикаты (в том числе и многоместные) F(x), G(x), F(x,y), G(x,y) и т.д. и тогда получатся выражения логики предикатов. Так формула (3) для преобразования конъюнкции в импликацию получит такое выражение для одно- и двухместных предикатов:

а формула (6) для преобразования импликации в конъюнкцию получит такой вид:

Аналогичным образом можно превратить в законы логики предикатов и остальные общезначимые формулы логики высказываний. Однако в логике предикатов к этим законам добавляются еще и свои законы. Это прежде всего связано с тем, что здесь помимо переменных вводятся еще и кванторы. Так что приведенные выше две пары общезначимых выражений логики предикатов, переделанные из формул предыдущего раздела, еще имеют мало сходства с выражениями собственно логики предикатов, так как не содержат кванторов. Для оперирования ими разработаны специальные правила.

Правила преобразования кванторов. В разговорах и в текстах приходится довольно часто подвергать отрицанию слова “все”, “каждый”, “некоторые”, “отчасти” и т.п. Могут, например, сказать, что не все студенты изучают второй иностранный язык, или: неверно, будто формулы данной логической системы были частично переработаны, они все подверглись переработке. На языке символической логики это называется отрицанием кванторов. Так, записьозначает: “Не для всехx...” или “Неверно, что для всех x...”. А- соответственно: “Не существуетx...” или “Неверно, что некоторые x...”

Мы укажем сначала все вообще правила преобразования (замены) кванторов. Правила для отрицания выделим среди них потом. Взаимная замена кванторов производится по следующим формулам:

Для многоместных предикатов формулы аналогичны. Записывать их отдельно нет необходимости, так как в них все так же, как и в этих, только предикаты одно-, двух- и многоместные.

Преобразование квантора требует, как видим, чтобы над новым, сменяющим, квантором появилось отрицание и вдобавок надо отрицать подкванторное выражение (предикат). Две последние строчки в перечне формул (28) и (29) представляют собой правила отрицания кванторов. Они производны от формул (26) и (27) и могут быть при желании получены из них. В самом деле, допустим, у нас имеется выражение и мы хотим заменить в нем квантор, воспользовавшись формулой (26). Тогда, значит, надо заменитьнаи поставить над последним знак отрицания. А так как в исходном выражении над квантором уже стоит одно отрицание, то, следователдьно, их будет теперь два. Кроме того, надо поставить отрицание надF(x).

учитывая взаимную нейтрализацию двух отрицаний, получим:

Получилась как раз формула (28). Точно таким же путем можно из (27) получить (29), а сами исходные для последнего рассуждения формулы (26) и (27) доказываются с помощью сложных математических теорем. Поэтому в дальнейшем мы будем считать данные правила законами и вместо слова “равносильно” писать символ.

Правила преобразования суждений. С помощью формул для преобразования кванторов можно получить правила для преобразования суждений. Дело в том, что в формулах для правил преобразования кванторов на месте предиката F(x) может стоять любое сложное выражение, в том числе и такое, с помощью которого выражают суждения. Следовательно, заменяя в формуле (26) подкванторное выражение F(x), допустим, на мы получим правило преобразования общеутвердительного суждения, а если вместо F(x) взять то тогда получится правило для преобразования общеотрицательного суждения.

Предположим, что у нас имеется общеутвердительное суждение: “Все дипломаты знают английский язык” -S означает “быть дипломатом”, P - “знать английский язык”. Пpименим к нему формулу (26). Это значит, что надо заменить наи поставить отрицание над

Это выражение можно далее упростить, воспользовавшись законом логики высказываний (6) для преобразования импликации:

Пpавая часть полученного нами выражения представляет собой отрицание частноотpицательного суждения, и в нашем примере полученный итог должен выражаться такими словами: “Hевеpно, что некоторые дипломаты не знают английский язык”. Получилось не что иное, как правило логического квадрата традиционной логики, согласно которому при истинности общеутвердительного суждения надо считать ложным частноотрицательное. Следовательно, выведенная нами формула преобразования общеутвердительного суждения повторяет на языке символов то, что разработано в традиционной логике, но на более строгом уровне. С помощью формул (26) и (27) можно получить правила преобразования всех четырех видов суждений. Для общеотрицательных суждений вывод правила преобразования делается следующим образом:

Пpи выводе мы сначала воспользовались формулой (26), потом формулой (6). Получается, что общеотрицательному суждению с тем же субъектом и тем же предикатом “Hи один дипломат не знает английского языка” было бы равносильно, как предписывается и традиционной логикой, отрицание частноутвеpдительного суждения “Hевеpно, что некоторые дипломаты знают английский язык”.

Подобным же образом, подставляя в формулу (27) вместо F(x) сначала затеммы получим два правила преобразования частноутвеpдительного и частноотpицательного суждений. Только в этом случае вместо формулы (6) нам понадобится формула логики высказываний для преобразования конъюнкции в импликацию (3). Мы предоставляем читателю возможность вывести правила для частных суждений самостоятельно. Hапомним только, что согласно правилам логического квадрата истинное частноутвердительное суждение делает ложным общеотрицательное, а при истинном частноотpицательном надо признавать ложным общеутвердительное. Все четыре правила преобразования для всех видов суждений представляют собой следующий перечень:

,

Правила отрицания кванторов не случайно выписаны нами среди формул преобразования (26-29). С их помощью можно проводить отрицания суждений. То есть, подобно тому, как мы с помощью формул (30-33) получаем суждения, эквивалентные данным, так мы можем получать суждения, противоречащие данным. Для получения формул, которыми выражаются такие правила, надо вместо F(x) вставить и в (28) и ив (29); с помощью (28) мы получим правила отрицания общеутвердительного и общеотрицательного суждений, поскольку там используется квантор общности, формула же (29) даст правила для частноутвердительного и частноотрицательного суждений, потому что в ней заключен квантор существования.

Продемонстрируем вывод правил для частных суждений. Сначала вставим в (29) вместо F(x) что даст нам символическую запись частноутвердительного суждения, и проведем его преобразование:

Теперь, воспользовавшись формулой логики высказываний (3), заменим конъюнкцию на импликацию. Это избавит нас от отрицания над скобкой:

Если у нас S и P по-прежнему означают дипломатов, знающих английский, то тогда мы получили, что отрицание частноутвердительного суждения (“Неверно, что некоторые дипломаты знают английский язык”) равносильно утверждению общеотрицательного суждения (“Все (никакие) дипломаты не знают английский язык”). Причем и здесь результат полностью соответствует соотношениям между суждениями по логическому квадрату.

Таким же путем, вставляя в (29) вместо F(x) формулу и преобразуя ее, получим правило отрицания частноотрицательных суждений:

При избавлении от отрицания над конъюнкцией была снова использована формула логики высказываний (3) для перевода конъюнкции в импликацию. Получается, что и здесь логика предикатов воспроизводит теорию логического квадрата: отрицание частноотрицательного суждения (“Неверно, что некоторые дипломаты не знают английский язык”) равносильно утверждению общеутвердительного суждения. Выведение формул для общеутвердительного и общеотрицательного суждений можно проделать самостоятельно. Приведем лишь весь перечень правил отрицания всех видов простых категорических суждений:

Итак, чтобы отрицать суждение, надо сначала подвергнуть отрицанию квантор (сформулировать и записать формулой логики предикатов суждение, непосредственно противоречащее данному) затем, пользуясь одной из формул (34-37), вывести формулу суждения, эквивалентного противоречащему. Это и будет отрицанием исходного. Так, если надо отрицать суждение “Некоторые цветы у этого продавца - розы” то сперва надо выразить отрицание в форме непосредственно противоречащего суждения: “Неверно, что некоторые цветы у этого продавца - розы”

Из формулы же (36) видно, что равносильным такому, противоречащему относительно исходного, суждению будет

В словесной форме это есть общеотрицательное суждение, которое с учетом норм и особенностей русского языка будет звучать так: “Ни один цветок этого продавца не является розой”.

Мы можем записывать с помощью символов логики предикатов сложные высказывания и проводить над ними операции вроде отрицания. Возьмем сложное суждение “Каждый месяц в этом году отключали свет и в некоторые месяцы не подавали воду”. Допустим, кто-то обвиняет таким образом власти, и, предположим, наталкивается на возражение: кто-нибудь из приверженцев руководителей города взялся отрицать такое утверждение. Тогда возражение, если его выразить в стандартной логической форме, должно звучать так:

“Неверно утверждать: каждый месяц в этом году отключали свет и в некоторые месяцы не подавали воду”. В качестве свидетельства каких-то взглядов само по себе такое заявление понятно. Однако не так легко и просто ответить на вопрос о том, какие обстоятельства имеют при таком отрицании в виду, то есть, что все-таки признают в обвиняющих словах, а что отвергают.

Не так легко справиться с этой задачей и методами логики предикатов. Исходное высказывание состоит из двух соединенных конъюнкцией простых суждений: “Каждый месяц в этом году отключали свет” и “В некоторые месяцы не подавали воду”. Субъект в обоих - “месяц этого года”, а предикаты разные - “отключали свет”, “отключали воду”. Обозначив субъект через S(x), первый предикат через P₁(x), второй предикат через P₂(x), запишем это высказывание:

Hам придется указать здесь на одно уже применявшееся нами упрощающее допущение: будем считать, что отрицание всего высказывания означает отрицание квантора перед ним. При нашем не всегда безупречно строгом рассуждении оно оправдано лишь в той мере, в какой мы не выходим за пределы традиционной логики, хотя и обрабатываем суждения с помощью аппарата символической логики. На символическом языке формул это означает в нашем примере такую эквивалентность:

Это далеко не очевидное положение (в получении которого использован также закон (2)), но оно соответствует обычному употреблению кванторов в естественном языке. С его помощью мы попытаемся разобраться со сложными суждениями, не прибегая к методам специально математическим, связанным с правилами внесения кванторов в скобки и вынесения кванторов за скобки, которые очень трудны для понимания неспециалистами.

Тепеpь начнем это выражение преобразовывать. Сначала проведем отрицание по формуле (28) для отрицания квантора общности и (29) для частного квантора. Последующая цепь преобразований будет такой:

Чтобы избавиться от отрицаний, мы перевели импликацию в конъюнкцию по формуле (6) и конъюнкцию в импликацию по формуле (3), как это уже делалось ранее неоднократно. Осталось только свести вместе начало и конец:

Тепеpь можно восстановить словесную форму отрицания: “Или в некоторые месяцы свет не отключали, или в каждом месяце была вода”.

Язык логики предикатов позволяет выражать такое же многообразие сложных составных мыслей, как и язык логики высказываний, и при этом полностью сохранять субъектно-предикатную структуру суждений, из которых составляются сложные высказывания. Тем самым символическая логика вбирает в себя всю теорию суждений и силлогизмов традиционной логики, добавляет к ним учение о многоместных предикатах, что отчасти соответствует теории суждений об отношениях в традиционной логике и выражает все это строже и точнее (хотя это и достигается очень сложными путями).

Такие символические выражения суждений выглядят громоздкими. И сами преобразования этих формул тоже подчас сложны для понимания. Но сложность - не препятствие в науке, если в результате возрастает точность и однозначность выводов.