Доказательство.

α(x)

α(x)

α1

(x) β1

(x)

α1 (x)

lim

=

lim

= lim

.

β(x)

α1 (x)

β1

(x)

β1 (x)

x→x0

x→x0

β(x) x→x0

Теорема 3. Если α(x) ~ α1 (x)

и β(x) ~ β1 (x) ,

x → x0 , то α(x) β(x) ~ α1 (x) β1(x) .

Доказательство.

lim

α(x) β(x)

= lim

α(x)

lim

β1 (x)

=1.

α1 (x) β1 (x)

β(x)

x→x0

x→x0 α1 (x)

x→x0

является разностью эквивалентных б.м.

Пример.

tg x −sin x

~/

x − x ,

поскольку ноль является конечным числом, а не бесконечно малой функцией. В

x→0

этом

случае

постараемся

разложить

заданное

выражение

на

множители.

x2

x

3

2

tg x −sin x = sin x

1 −cos x

~

x

=

.

cos x

1

2

x→0

Определение 3. Пусть

U (x)

и

V (x) - б.б. в точке x0 . Тогда:

1) если

lim

U (x)

= ∞, то U (x)

называется б.б. высшего порядка относительно V (x) . В этом случае

x→x0

V (x)

V (x) - б.б. низшего порядка относительно U (x) . Очевидно lim

V (x)

= 0 .

x→x0

U (x)

2) если

lim

U (x)

= C , где C ≠ 0, C ≠ ∞ , то U (x) и

V (x) называются б.б. одинакового порядка.

x→x0

V (x)

3) если /

lim

U (x)

, то U (x)

и

V (x) называются несравнимыми.

V (x)

x→x0

4) если

lim

U (x)

=1 , то U (x)

и

V (x) называются эквивалентными: U (x) ~

V (x) .

x→x0

V (x)

x→x0

Иначе: если U (x) ~ U

1

(x) и V (x) ~ V (x) ,

x → x

0

, то

lim

U (x)

=

lim

U1 (x)

1

x→x0 V (x)

x→x0 V1 (x)

ЗАМЕЧАНИЕ

Вид главной части зависит от того, конечным или бесконечным является число x0 . Пусть β(x)

- б.м. в

точке x0 , то

1) Если x0 = a - конечное число, то главная часть функции

β(x)

имеет вид C (x − a)k .

2) Если x0 = ∞, то главная часть функции

β(x) имеет вид C

1 k

.

x

Определение 2. Пусть U (x) - простейшая бесконечно большая в точке x0 ,

V (x) - другая бесконечно

большая в той же точке x0 . Если V (x)

~

C(U (x))k , где C, k - постоянные числа, C ≠ 0 ,

k > 0 , то

x→x0

бесконечно большую C(U (x))k

называют главной частью функции V (x) . Число k называют порядком

функции V (x) относительно U (х) .

ЗАМЕЧАНИЕ.

Пусть V (x) - б.б. в точке x0 . Тогда:

1). если x0

= a - конечное число, то главная часть функции V (x) имеет вид C

1

k

.

− a

= ∞, то главная часть функции V (x) имеет вид C (x)k .

x

2). если x0

1.12. Второй замечательный предел

Теорема.

Последовательность

(1 +

1

)п,

где

п =1, 2,K,

стремится

к

конечному

пределу,

заключенному между числами 2 и 3.

п

Доказательство. Воспользуемся формулой бинома Ньютона

(1 + х)п =1 + пх+

п(п−1)

х2 +

п(п−1)(п−2)

х3 +K+ хп При

2!

3!

x =

1

(1 +

1

)п

=1 + п

1

+

п(п−1)

(

1

)2 +

п(п−1)(п−2)

(

1

)3

+K+ (

1

)п

=

п

2!

3!

n

п

п

п

п

= 2 + 1

п−1

+

1

(п−1)(п−2) +K+ 1K(п−1)п

1

=

2

п

2 3

п2

2 3Kп

пп

= 2 +

1

(1 −

1

)+

1

(1 −

1

)(1 −

2

)+K+

1

(п(п−1)K(1+п−п)

)=

2 3

2 3Kп

п

2

п

п

п

п

= 2 +

1

(1 −

1

)+

1

(1 −

1

)(1 −

2

)+K+

1

(п−1

п−2

K

п−(п−1)

)=

2

п

2 3

п

п

2 3Kп

п

п

п

= 2 +

1

(1 −

1

)+

1

(1 −

1

)(1 −

2

)+K+

1

(1 −

1

)(1 −

2

)K(1 −

п−1

).

2

п

2 3

п

п

2 3Kп

п

п

п

123

14243

144424443

>0

>0

>0

(1 +

)п < 2 +

1

(1 −

1

)= 2 +1 −

1

1

+

1

+K+

1

< 2 +

1

+

1

+K+

1

= 2 +

2

2n−1

1

= 3 −

1

< 3 .

п

2

2 3

2 3Kn

2

2

n−1

1 −

1

n−1

n−1

{

123

2

2

2

2

>2

>2 2K2

2