•

lim

g(x) = A U h ( A) Uδ

(xo ) : x Uδ(x0 ) ∩ X g(x) U h ( A) ,

x→x0

1

1

f ( y) = B Uε (B) U h

•

lim

( A) : y U h2 ( A) ∩Y f ( y) Uε (B) .

y→A

2

Возьмём h = min {h1; h2 }. Тогда получим

•

Uε (B) Uδ(xo ) : x U δ(xo ) ∩ X f (g(x)) Uε (B) .

Значит, по определению предела функции

B = lim f (g(x)) .

x→x0

Теорема 4. (О сжатой функции)

x0

функции связаны неравенством ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) и

Если в некоторой окрестности точки

три

существуют конечные пределы lim ϕ(x) = lim g(x) = A , то существует lim f (x) = A.

x→x0

x→x0

x→x0

Доказательство. Пусть X - общая область определения трёх функций, тогда

lim ϕ(x) = A Uε ( A) Uδ

•

(x0 ) ∩ X

ϕ(x) − A

(x0 ) : x U δ1

< ε,

x→x0

1

•

lim g(x) = A Uε ( A) Uδ

(x0 ) ∩ X

g(x) − A

2

(x0 ) : x U δ2

< ε .

x→x0

•

Найдём окрестность Uδ(x0 ) =Uδ

(x0 ) ∩Uδ

2

(x0 ) , тогда для x U δ(x0 ) ∩ X выполняются оба

неравенства одновременно:

1

A −ε < ϕ(x) < A + ε и A −ε < g(x) < A + ε.

Но так как ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) , то

A −ε < ϕ(x) ≤ f (x) ≤ g(x) < A + ε, а это означает, что существует

lim f (x) = A.

x→x0

1.5.

Первый замечательный предел

Сначала докажем, что при 0 < x < π

выполняется неравенство

sin x < x < tg x

.

2

Возьмём Ι четверть тригонометрического круга и отложим угол x радиан (рис. 10).

Определение 1. Функция α(x) называется бесконечно малой (б.м.) в точке x0 , если lim α(x) = 0 .

x→x0

Теорема. Для существования конечного предела lim f (x) = A, необходимо и достаточно,

чтобы

x→x0

функцию f (x) можно было представить в виде

f (x) = A + α(x) , где α(x) - б.м. в точке x0 .

lim f (x) =

A ε > 0 U

•

(x0 ) ∩ X

f (x) − A

Доказательство.

δ(x0 ) : x U δ

< ε

x→x0

Обозначим f (x) − A = α(x)

α(x)

< ε, иначе говоря

•

α(x) −0

< ε lim α(x) = 0 .

ε > 0 Uδ (x0 ) : x U δ(x0 ) ∩ X

x→x0

Следовательно α(x)

― б. м. в точке x0 , где α(x) = f (x) − A f (x) = A + α(x) .

Определение 2.

Функция

f (x)

называется бесконечно

большой (б.б.) в точке

x0 ,

если

lim f (x) = ∞.

x→x0

ЗАМЕЧАНИЕ.

В определении б.б. функции f (x) → ∞, это значит, что охватываются случаи стремления f (x) → +∞

или f (x) → −∞. Однако можно привести пример б.б. функции, которая не стремится к + ∞ или −∞.

Например, f (x) = tg x - б.б. в точке x =

π

, хотя

lim f (x) не существует. Действительно

2

x→

π

2

lim tg x = −∞ и

lim tg x = +∞. Односторонние пределы не равны. Однако

lim

tg x

= +∞, т. е.

x→

π

−0

x→

π

+0

x→

π

2

2

2

f (x) = tg x - б.б. в точке x =

π

.

2

1.8.

Свойства б.м. и б.б. функций

Теорема 1. Если α(x) б.м. в точке x0 , то

1

- б.б. в точке x0

и если f (x) б.б. в точке x0 , то

1

-

α( х)

f (х)

б.м. в точке x0 .

Доказательство. Пусть α(x)

б.м. в точке

x0 . Обозначим

1

= f (x) и X

- область определения

α( х)

функции α(x) . Возьмём E > 0 -

сколь угодно большое число, тогда

1

= ε- сколь угодно малое число.

E

1

Так как α(x) б.м. в точке x0 , то для ε =

> 0

Uδ(x0 ) : x U

E

δ(x0 ) ∩ X α(x) < ε f (x) = 1 = 1 > 1 = E

•

Итак, ε > 0 Uδ(x0 ) : x U•δ(x0 ) ∩ X

α(õ)

α(õ)

ε

f (x)

> E , т. е.

f (x) ― б.б. в

точке x0 .

Аналогично