Доказательство. Пусть α(x) - б.м. в точке x0 , а ϕ(x)

- ограниченная в Uδ(x0 ) , т.е.

ϕ(x)

≤ k для

всех значений x Uδ(x0 ). Обозначим f (x) = α(x) ϕ(x) .

Пусть X - область определения для функций

α(x)

и ϕ(x) . Возьмём

ε > 0 и найдём ε =

ε

. Так как

α(x) б.м. в точке x0 , то по

ε =

ε

найдём

1

k

1

k

•

•

ε

U

δ

(x

0

) : x U δ

(x

0

) ∩ X

α(x)

< ε =

. Тогда для x U δ(x

0

) ∩ X справедливо неравенство:

1

k

ε

f (x)

=

α(x) ϕ(x)

=

α(x)

ϕ(x)

≤

k = ε f (x)

б.м. в точке x0 .

sin x

k

Пример. lim

= 0 , т. к. sin x - ограниченная для всех x , а 1

- б.м. в точке ± ∞ .

x→±∞ x

x

f ( x) = ϕ1 ( x) ... ϕn ( x) =

1

...

1

=

1

,

1

1

1

...

1

ϕ1 ( х)

ϕп ( х)

ϕ1 ( х)

ϕп ( х)

откуда следует, что функции f (x) представляет собой

1

, то есть б.б.

б.м.

Теорема 3. Сумма конечного числа функций, б.м. в точке x0 , является б.м. функцией в той же точке.

Доказательство. Пусть α1 (x), α2 (x)

- б.м. в точке x0 . Тогда возьмём любое сколь угодно малое

ε

1

=

ε

> 0 , для которого

2

•

ε

•

ε

Uδ1 (x0 ) : x Uδ(x0 ) ∩ X

α1 (x)

<

и Uδ2 (x0 ) : x Uδ(x0 )

∩ X

α2 (x)

<

.

2

2

•

•

•

•

ε

ε

Тогда ε > 0 U δ(x0 ) =U δ1 (x0 ) ∩U δ2

(x0 ) : x U δ(x0 )

α1 (x)

<

,

α2 (x)

<

2

2

α

1

(x) + α

2

(x)

≤

α

1

(x)

+

α

2

(x)

<

ε

+

ε

= ε

2

2

Теорема 1. Если существуют конечные пределы двух функций lim f (x) = A и

lim g(x) = B , то

x→x0

x→x0

lim ( f (x) + g(x)) = A + B

x→x0

Доказательство.

lim

f (x) = A f (x) = A + α(x) , где α(x) - б.м. в точке x0 .

x→x0

lim

g(x) = B g(x) = B +β(x) , где β(x) - б.м. в точке x0 .

x→x0

9

Тогда

f (x) + g(x) = A + B + (α(x) +β(x)) , где (α(x) +β(x)) - б.м. в точке x0 . Следовательно,

lim ( f (x) + g(x)) = A + B .

x→x0

Теорема 2. Если существуют конечные пределы двух функций lim f (x) = A и lim

g(x) = B , то

x→x0

x→x0

lim ( f (x) g(x)) = A B

x→x0

Доказательство.

lim

f (x) = A f (x) = A + α(x) , где α(x) - б.м. в точке x0 .

x→x0

lim

g(x) = B g(x) = B +β(x) , где β(x) - б.м. в точке x0 .

x→x0

Найдём f (x) g(x) = ( A + α(x)) (B +β(x)) = A B + ( A β(x) + B α(x) + α(x) β(x)) ,

где

B α(x) и

A β(x) ,

а

также

α(x) β(x)

являются

б.м.

в

точке

x0 .

Значит

f (x) g(x) = A B + (б.м.)

lim ( f (x) g(x)) = A B .

x→x0

Теорема 3. Если существуют конечные пределы двух функций

lim f (x) = A и lim g(x) = B ≠ 0 ,

f (x)

A

x→x0

x→x0

то

lim

=

.

g(x)

x→x0

B

Доказательство. Из определения предела следует, что справедливы утверждения:

lim f (x) = A f (x) = A + α(x) , где α(x) - б.м. в точке x0 .

x→x0

lim

g(x) = B g(x) = B +β(x) , где β(x) - б.м. в точке x0 .

x→x0

Найдём разность

f ( x)

−

A

=

A +α( x)

−

A

=

A B + B α( x) − A B − A β( x)

=

B α( x) − A β( x)

=

g( x)

B B + β( x)

B

B (B + β( x))

B2 + B β( x)

(B α( x) − A β( x))

1

= (б.м.) (огр.) = (б.м.),

B 2

+ B β( x)

где

1

- ограниченная, т. к. знаменатель стремится к B2 ≠ 0 .

B2 + B β(x)

Таким образом

f (x)

=

A

+ (б.м.) lim

f (x)

=

A

.

g(x)

g(x)

B

x→x0

B

lim C

f (x) = lim C lim

f (x) = C lim f (x) .

x→x0

x→x0 x→x0

x→x0

Рассмотрим все возможные случаи, которые могут встретиться при вычислении пределов суммы,

произведения и отношения функций.

Вычисление предела суммы f (x) + g(x)

Пусть lim f (x) = A и lim g(x) = B . Тогда, если:

x→x0

x→x0

1.

A, B - конечные числа lim ( f (x) + g(x)) = A + B .

x→x0

2.

A = +∞, B = +∞

lim ( f (x) + g(x)) = [+∞ + ∞] = +∞.

x→x0

3.

A = −∞, B = −∞

lim ( f (x) + g(x)) =[−∞ −∞] = −∞ .

x→x0

10