Двумерное нормальное распределение

Двумерное нормальное распределение – это совместная плотность распределения вероятности двух случайных величин, каждая из которых по отдельности распределена нормально. Оно характеризует вероятность появления в опыте каждой пары значений двух случайных величин и позволяет тем самым судить насколько одна пара вероятнее, чем другая.

Параметрами двумерного нормального распределения являются параметры обеих случайных величин, т.е. m₁, m₂, ₁², ₂², а также специальный параметр коэффициент корреляции.

Графически двумерное нормальное распределение представляет собой холмообразную поверхность над плоскостью. На этой плоскости проведены две координатные оси, по каждой из которой откладываются возможные значения каждой из случайных величин. Высота подъёма поверхности над каждой точкой плоскости определяется вероятностью пары значений случайных величин, соответствующих координатам этой точки плоскости. Координатами вершины «холма» являются математические ожидания m₁ и m₂.

Подобно определению одномерной плотности распределения, значение двумерной плотности распределения для данной пары значений двух случайных величин – это предел отношения вероятности попадания в «квадратик», охватывающий точку с координатами, равными данным значениям случайных величин, к площади этого «квадратика» при стремлении стороны «квадратика», а значит, и его площади к нулю.

Любое горизонтальное сечение поверхности двумерного нормального распределения (как на географической карте) является эллипсом. Вытянутость и угол поворота эллипса относительно координатных осей определяется дисперсиями ₁² и ₂² и коэффициентом корреляции. При нулевом коэффициенте корреляции и равенстве дисперсий эллипс вырождается в окружность, а при различных дисперсиях он вытягивается по оси той случайной величины, которая имеет большую дисперсию. При ненулевом коэффициенте корреляции эллипс приобретает наклон (при положительном – вытянутость вдоль возрастающей прямой на плоскости значений пар случайных величин, при отрицательном – вытянутость вдоль убывающей).

Коэффициент корреляции

Коэффициент корреляции – это характеристика тесноты вероятностной связи между отклонениями значений двух случайных величин от своих средних (математических ожиданий).

Буквенное обозначение: .

В случае двумерного нормального распределения коэффициент корреляции – это не только характеристика, но параметр, т.е. он входит как буква в выражение для совместной плотности распределения.

Коэффициент корреляции применяется в качестве характеристики тесноты вероятностной связи отклонений для любых двумерных плотностей распределений (не только нормальных), а также двумерных законов распределений:

 ==,

где M(…) – обозначение операции усреднения (см. математическое ожидание)

Коэффициент корреляции может принимать значения от –1 до +1.

При положительном значении коэффициента корреляции наиболее вероятны такие пары значений случайных величин, в которых случайные величины отклоняются от своих средних либо одновременно в большую сторону, либо одновременно в меньшую.

При отрицательном значении коэффициента корреляции наиболее вероятны такие пары, в которых при отклонении одной случайной величины от своего среднего в большую сторону отклонение другой происходит в меньшую сторону, и наоборот.

При близости коэффициента корреляции к нулю значения нормальных случайных величин не имеют вероятностной связи, т.е. согласованности в отклонениях этих случайных величин от своих средних нет.

Величина коэффициента корреляции зависит не только от согласованности в направленности отклонений случайных величин, но и от согласованности в относительных величинах этих отклонений.