методическое пособие 2
.pdf
|
9. Оси |
координат повернуты на угол 60 . Координаты точек |
||||
А 2 |
|
3; 4 , |
В |
3; 0 , С 0; 2 |
|
определены в новой системе. Вычислить |
|
3 |
|||||
координаты этих же точек в старой системе координат.
10. Найти уравнение геометрического места точек, равноудаленных от точек А(2; 0) и В(0; 1).
11.Составить уравнение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых от точек А(2; 0) и В(0; 2) равна квадрату расстояния между точками А и В.
12.Составить уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых от точек А(1; 0) и В(0; 1) равна 2.
13.Вывести уравнение окружности, имеющий центр С(a; b) и
радиус r.
14.Составить в полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе.
15.Дано общее уравнение прямой 12x-5y-65=0. Написать уравнение этой прямой:
а) с угловым коэффициентом;
б) в отрезках;
в) в нормальном виде.
16. Составить уравнение прямой, отсекающей на осях координат
отрезки a 2 |
, |
b |
1 |
. |
|
||||
5 |
|
10 |
|
|
17. Определить угловой коэффициент k и отрезок b, отсекаемый на
оси Оy, для каждой из прямых: а) 5x-y+3=0, б) 2x+3y+2=0, в) 3x-2y=0,
г) 3x-2y=0, д) y-3=0.
18. Даны две смежные вершины квадрата А (2; 0) и В (-1; 4).
Составить уравнения сторон.
19. Проверить, лежат ли на одной прямой три данные точки:
а) (1;3), (5;7), (10;12); б) (-3;-8), (1;-2), (10;12).
29
20. Даны вершины треугольника О (0; 0), В (-1; -3) и С (-5; -1).
Составить уравнения прямых, проходящих через вершины треугольника и параллельных его сторонам.
21. Найти расстояние точки Р (4; -2) от прямой 8x-15y-11=0.
22. Найти расстояния между прямыми 2х-4у+5=0 и –х+2у+1=0.
23.Точки А (1; 2) и С (3; 6) являются противоположными вершинами квадрата. Определить координаты двух других вершин.
24.Дана вершина треугольника А (3; 9) и уравнения медиан: y-6=0 и
3x-4y+9=0. Найти координаты двух других вершин.
25. Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров,
восставленных из середин сторон треугольника, вершинами которого служат точки А (2; 3), В (0; -3), С (5; -2).
26. Найти прямую, проходящую через точку пересечения прямых
5x+3y+10=0, x+y-15=0 и через начало координат.
27. Найти точку Р, симметричную точке N(-5;13) относительно прямой 2х-3у-3=0.
28. Составить уравнение окружности, имеющей центр в точке:
а) (2; -5) и r=4;
б) (-3; 4) и проходящей через начало координат;
в) (0; 4) и проходящей через точку (5; -8).
29.Составить уравнение окружности, проходящей через три точки:
А(0;2), В (1;1), С (2;-2).
30. На оси абсцисс найти центр окружности, проходящей через точки А( 2; 3) и В (5; 2) и написать уравнение этой окружности.
31. Найти уравнение окружности, описанной около треугольника,
вершины которого имеют координаты: а) (7; 7), (0; 8) и (-2; 4); б) (0; -1),
(1; 2) и (-3; 0).
30
32. Дан эллипс 9х2 25у2 225 . Найти его полуоси, фокусы, вершины,
эксцентриситет, уравнения директрис.
33. Составить простейшее уравнение эллипса, зная, что:
а) полуоси его соответственно равны 4 и 2;
б) расстояние между фокусами равно 6 и большая полуось равна 5;
в) большая полуось равна 10 и эксцентриситет е=0,8;
г) малая полуось равна 3 и е= 
22 ;
д) сумма полуосей равна 8 и расстояние между фокусами тоже равно 8.
34.Дан эллипс: 36x2 20y2 1. Написать уравнения его директрис.
35.Прямые x 8 служат директрисами эллипса, малая ось которого равна 8. Найти уравнение этого эллипса.
36.Определить эксцентриситет эллипса, зная, что:
а) малая ось видна из фокуса под прямым углом;
б) расстояние между фокусами равно расстоянию между вершинами малой и большой осей;
в) расстояние между директрисами в 4 раза больше расстояния между фокусами.
37. Составить простейшее уравнение эллипса, если он проходит через
точки M (
3, 2) и N ( 2
3,1) .
38. В эллипс |
x2 |
|
y2 |
1 вписан прямоугольник, две противоположные |
|
|
|||
|
49 |
12 |
|
|
стороны которого проходят через его фокусы. Вычислить площадь этого прямоугольника.
39. Найти точки пересечения эллипса |
x2 |
|
y2 |
1 |
с прямой |
36 |
|
||||
|
12 |
|
|
||
2x y 9 0 .
31
40. Определить положение точек: A(6, 3) , B( 2,5) , C(3, 6) , D(
50,0) ,
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
1 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||
E( 4,2 6) , F(1, 26) относительно эллипса |
||||||||||
48 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
41. Составить каноническое уравнение гиперболы, зная что:
а) ее оси 2а=10 и 2b=8;
б) расстояние 2с=10 и ось 2b=8;
в) расстояние 2с=6 и e 32 ; г) ось 2а=16 и e 54 ;
д) асимптоты y 43x и 2с=20.
42.Составить каноническое уравнение гиперболы, если ее фокусы лежат на оси ОУ и расстояние между ними равно 20, а действительная ось гиперболы равна 16.
43.Составить каноническое уравнение гиперболы, если известно, что
асимптоты заданы уравнениями y 35x и гипербола проходит через точку
|
|
|
|
|
|
|
|
(10, 3 3) . |
|
|
|
|
|
||
44. Дана |
гипербола x2 y2 8 . Найти |
софокусный ей эллипс, |
|||||
проходящий через точку М(4,6). |
|
|
|
|
|||
45. Найти точки пересечения гиперболы |
х2 |
|
у2 |
1 с прямыми: |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
90 |
36 |
|
|
а) x-5y=0; |
б) 2x+y-18=0; |
|
в) x-y+5=0. |
||||
46.Угол между асимптотами гиперболы равен 600 . Вычислить эксцентриситет.
47.Составить уравнение гиперболы, если ее эксцентриситет равен 2 и
фокусы совпадают с фокусами эллипса x2 y2 1.
25 9
32
48.Составить каноническое уравнение гиперболы, имеющей вершины
вфокусах, а фокусы в вершинах эллипса 25x2 y92 1.
49.Составить каноническое уравнение гиперболы, зная, что расстояние между фокусами равно 16, а эксцентриситет 43 .
50.Определите величину параметра р и расположение относительно координатных осей следующих парабол:
1) у2 6х; |
2)х2 5у ; |
3) у2 4х; |
2)х2 у. |
51. Парабола симметрична относительно оси ОХ, проходит через точку А(6;-2), а вершина ее лежит в начале координат. Составьте ее уравнение.
52. Составьте уравнение параболы, если даны ее фокус F(0;1) и
директриса y+1=0.
53.Составить простейшее уравнение параболы, если известно, что ее фокус находится в точке пересечения прямой 4х-3у-4=0 с осью ОХ.
54.На параболе y2 8x найти точку, расстояние которой от
директрисы равно 4.
55. Составить уравнение параболы, вершина которой расположена в начале координат, зная что она расположена симметрично относительно ОY и проходит через точку С (1;1).
56. Определить точки пересечения прямой х+у-3=0 и параболы
x2 4 y .
57. Парабола симметрична относительно оси Ox , проходит через точку A(6, 2) , а вершина ее лежит в начале координат. Составьте уравнение.
33
58. Струя воды, выбрасываемая фонтаном, принимает форму параболы, параметр которой p 0,1. Определите высоту струи, если известно, что она попадает в бассейн на расстоянии 2м от места выхода.
59. Парабола с вершиной в начале координат проходит через точку
А (-2; -3) и симметрична относительно оси Оx. Составить ее уравнение и найти фокус и директрису.
60.Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и
уравнение директрисы x-7=0.
61.Определить точки пересечения прямой 3x-2y+6=0 и параболы
y2 =6x.
62. Установить, какие кривые определяются нижеследующими
уравнениями. Сделать чертеж.
1) 36х2 |
36 |
у2 |
36х 24 у 23 0; |
2) 16х2 25 у2 32х 50 у 359 0; |
||||||
3) |
1 |
х2 |
|
1 |
у2 |
х |
2 |
у 1 0; |
4) х2 4 у2 4х 8 у 8 0; |
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
9 |
|
|
3 |
|
|
||
5) |
х2 4 у2 |
8х 5 0; |
6) 2х2 4х 2 у 3 0. |
|||||||
63. Выделением полных квадратов и переносом начала координат
упростите уравнение линий и постройте их:
1) х2 у2 2х 6 у 4 0; |
2) 5х2 9 у2 30х 18у 9 0; |
3) 4х2 9 у2 40х 36 у 28 0; |
4) 2х2 4х у 1 0. |
64. Постройте кривые, заданные уравнениями:
1) 9(х 5)2 |
( у 1)2 36; |
2) |
(х 3)2 |
9 ( у 2)2 ; |
||
3) |
4(х 5)2 |
3( у 2)2 12; |
4) |
(х 4)2 |
5( у 1)2 ; |
|
5) |
у (х 1)(2х 5); |
6) (х 2)( у 5) 6. |
||||
|
65. Какую линию определяет |
уравнение 4x2 9y2 |
8x 36y 4 0 ? |
|||
Привести ее к каноническому виду, сделать чертеж. |
|
|
||||
|
66. Определить вид кривой |
y2 10x 2y 19 0 , |
привести ее к |
|||
каноническому виду, сделать чертеж. |
|
|
|
|
||
34
3.4 Тема №4 Аналитическая геометрия в пространстве
Литература
1.Бугров А.С., Никольский С.М. Высшая математика. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии § 9, 10, 25, 27.
2.Высшая математика: Учеб. пособие для студентов пед. институтов. Под редакцией Г.Н.Яковлева. Гл. 3, § 10-13.
3.Сборник задач по высшей математике: Учеб.пособие /Составители:
В.М.Сидорова, Н.Н.Лосева, А.В.Мазнев. Гл 4.
4. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии.
Гл. 9, 10, 13.
Основные навыки и умения
Обучаемые должны уметь:
1.выбирать систему координат в пространстве;
2.определять положение заданной точки в выбранной системе координат;
3.составлять различные виды уравнения плоскости (проходящей через заданную точку, общее уравнение плоскости, уравнение плоскости в отрезках, уравнение плоскости, проходящей через 3 заданные точки);
4.находить нормальный вектор плоскости;
5.вычислять расстояние от точки до плоскости, расстояние между двумя параллельными плоскостями;
6.находить угол между двумя плоскостями;
7.определять параллельность и перпендикулярность двух плоскостей;
8.составлять различные виды уравнения прямой в пространстве (через две точки, каноническое, параметрическое, как линию пересечения двух плоскостей);
9.находить угол между двумя прямыми;
10.определять параллельность и перпендикулярность двух прямых;
35
11.вычислять расстояние от точки до прямой; между двумя параллельными
прямыми;
12.определять взаимное расположение прямой и плоскости, в случае их пересечения, находить точку пересечения;
13.распознавать вид простейших поверхностей по их уравнениям и строить схематически эскизы.
Задания для самостоятельной работы
1. |
Проходит ли плоскость 4x y 3z 15 0 через одну из следу- |
||
ющих точек: A( 1;6;3), B(3; 2; 5),C(0;4;1), D(2;0;5), E(2;7;0), F(0;1;0)? |
|||
2. |
Указать особенности в расположении следующих плоскостей: |
||
а) 3x 5z 1 0 ; |
б) 9y 2 0 ; |
в) x y 5 0 ; |
|
г) 2x 3y 7z 0 ; |
д) 8y 9z 0 . |
|
|
3. |
Написать уравнение плоскости: |
|
|
а) параллельной плоскости xOz и проходящей через точку (2; 5;3) ; |
|||
б) проходящей через ось Oz и через точку ( 3;1; 2) ; |
|||
в) параллельной оси Ox и проходящей через точки (4;0;2) и (5;1;7) . |
|||
4. |
Вычислить отрезки, отсекаемые на осях координат следующими |
||
плоскостями: |
|
|
|
а) 2x 3y z 12 0; |
б) 5x y 3z 15 0 ; |
в) x y z 1 0 ; |
|
г) x 4z 6 0 ; |
д) 5x 2y z 0 ; |
е) x 7 0 . |
|
5. |
Через точку P(7; 5;1) провести плоскость, которая отсекала бы на |
||
осях координат положительные и равные между собой отрезки. |
|||
6. |
Привести к нормальному виду уравнения следующих плоскостей: |
||
а) 2x 9y 6z 22 0 ; |
б) 10x 2y 11z 60 0 ; |
в) 6x 6y 7z 33 0 . |
|
7.Найти угол между плоскостью x y 
2z 5 0 и плоскостью yOz .
8.Вычислить углы между следующими плоскостями:
а) 4x 5y 3z 1 0 и x 4y z 9 0 ; б) 3x y 2z 15 0 и 5x 9y 3z 1 0 ;
36
в) 6x 2y 4z 17 0 и 9x 3y 6z 4 0 .
9. Какой угол образует плоскость x y 2z 4 0 с вектором
|
|
|
|
|
|
|
a |
i |
2 j |
k ? |
|
|
|
|
|
10. Вычислить расстояние от: |
|
|||
а) точки (3;1; 1) |
до плоскости 22x 4y 20z 45 0 ; |
|||||
б) точки (4;3; 2) до плоскости 3x y 5z 1 0 ; |
|
|||||
|
|
|
2;0; |
1 |
|
|
в) точки |
|
до плоскости 4x 4y 2z 17 |
0 . |
|||
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
11. Вычислить расстояние между параллельными плоскостями:
а) x 2y 2z 0 и x 2y 2z 6 0 ; б) 2x 3y 6z 14 0 и 4x 6y 12z 21 0;
в) 2x y 2z 9 0 и 4x 2y 4z 21 0 ; г) 16x 12y 15z 50 0 и 16x 12y 15z 25 0 .
12. Вычислить расстояние между плоскостями: 11x 2y 10z 15 0 и
11x 2y 10z 45 0 .
13.Найти точку, симметричную с началом координат относительно
плоскости 6x 2y 9z 121 0 .
14.Найти плоскость, зная, что точка P(3; 6;2) служит основанием перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.
15.Даны две точки A(1;3; 2) и B(7; 4;4) . Через точку B провести плоскость перпендикулярно отрезку AB .
16.Положение зеркала определяется уравнением 2x 6y 3z 42 0 . С
какой точкой должно совпадать зеркальное отображение точки A(3; 7;5) ?
17.Через точку M 0 ( 5;16;12) проведены две плоскости: одна из них содержит ось Ox , а другая – ось Oy . Вычислить угол между этими плоскостями.
37
18. Составить уравнение плоскости:
а) проходящей через точку ( 2;7;3) параллельно плоскости x 4y 5z 1 0 ; |
|
б) проходящей через начало координат и перпендикулярной к двум |
|
плоскостям: 2x y 5z 3 0 |
и x 3y z 7 0 ; |
в) проходящей через точки |
L(0;0;1) и N(3;0;0) и образующей угол 600 с |
плоскостью xOy . |
|
|
|
|
19. |
На оси Oz найти точку равноудаленную от двух плоскостей: |
|||
x 4y 3z 2 0 и 5x z 8 0 . |
|
|
||
20. |
На расстоянии трех единиц от |
плоскости 3x 6y 2z 14 0 |
||
провести плоскость ей параллельную. |
|
|
||
21. |
Написать уравнение плоскости, проходящей через начало |
|||
координат и через две точки A(3; 2;1) и B(1;4;0) . |
|
|||
22. |
Известны |
координаты |
вершины |
тетраэдра: |
A(0;0;2), B(3;0;5), C(1;1;0) и D(4;1;2) . Составить уравнения его граней. |
|
|||
23. |
Можно ли провести плоскость через следующие четыре точки: |
|||
а) (3;1;0), |
(0;7; 2), (1;0;5) |
и (4;1;5) ; б) (1; 1;1), |
(0; 2; 4), (1;3;3) и (4;0; 3) . |
|
24. |
Найти точку пересечения следующих трех плоскостей: |
|
||
а) 5x 8y z 7 0, x 2y 3z 1 0, 2x 3y 2z 9 0;
б) x 4y 2z 3 0, 3x y z 5 0, 3x 12y 6z 7 0;
в) 2x y 5z 4 0, 5x 2y 13z 23 0, 3x z 5 0 .
25.Найти уравнение плоскости, проходящей через точку
пересечения плоскостей 2x 2y z 7 0, |
2x y 3z 3 0, 4x 5y 2z 12 0 |
и через точки M (0;3;0), N(1;1;1) . |
|
|
|
|
|
26. |
Составить уравнение |
плоскости, |
|||
|
|
|
|
|
|
M 0 (0;2;1) |
и параллельной векторам |
a |
i |
j |
k |
проходящей через точку
|
|
|
|
и b |
i |
j |
k . |
38