Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донецкий национальный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

методическое пособие 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.04.2015

Размер:

1.58 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

3.2. Тема №2. Векторная алгебра

Литература

1.Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для университетов. Гл. 2.

2.Сидорова В.М., Лосева Н.Н., Мазнев А.В. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие. Часть I. Гл. 2.

3.Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. Гл. 2.

Основные навыки и умения

Обучаемые должны уметь:

1)выполнять действия над векторами;

2)определять модуль данного вектора;

3)находить единичный вектор для данного вектора;

4)раскладывать данный вектор по базису;

5)находить расстояние между двумя точками;

6)находить координаты точки, делящей отрезок в заданном отношении;

7)вычислять скалярное произведение двух векторов и использовать его свойства при решении задач;

8)находить угол между двумя векторами;

9)вычислять векторное произведение двух векторов и использовать его свойства при решении задач;

10)находить площадь параллелограмма и треугольника построенного на векторах;

11)вычислять смешанное произведение трех векторов и использовать его свойства при решении задач;

12)устанавливать компланарность, коллинеарность, перпендикулярность векторов.

Задания для самостоятельной работы

1.Какому условию должны удовлетворять векторы a , b , и c , чтобы из них можно было образовать треугольник?

2.Даны три компланарных единичных вектора m , n и p , причем

(m^n)=300 и (m^p)=600 . Построить вектор u=m+2n-3p и вычислить его

модуль.

3. На трех некомпланарных векторах OA = a , OB = b и OC = c

построен параллелепипед. Указать те его вектор-диагонали, которые

соответственно равны a +b - c, a - b+c, a - b - c и b - a - c .

В параллелепипеде АВСD A1B1C1D1 даны векторы

AB = a ,

AD = b ,

AA1 = c ,

совпадающие

с его

ребрами.

Найти векторы-диагонали

AC , AC,

BD ,

B D .

Дан

правильный шестиугольник ОАВСDЕ со стороной

=3.

Обозначив

единичные

векторы

направлений OA,

AB, BC

через

m, n и p, установить зависимость между ними (например, рассмотрением

трапеции

ОАВС).

Выразить

затем

через

эти

векторы

OB, BC, EO, OD и DA.

6. В правильном шестиугольнике АВСDЕF даны: AB =				и AE = n .
6. В правильном шестиугольнике АВСDЕF даны: AB =			m	и AE = n .
Разложить по этим двум векторам AC, AD, AF	и	EF .

7. В ромбе АВСD даны диагонали AC = a	и	BD = b . Разложить по

этим двум векторам все векторы, совпадающие со сторонами ромба:

AB, BС, СD и DA.

8. Построить параллелограмм на векторах OA			и OB		3		и
				k
	i	j				j
определить его диагонали.

9. Даны векторы a и b , угол между которыми 120˚. Построить вектор

3 и

4 .

c =2 a –1,5 b и определить его модуль, если

10. В равнобокой трапеции АВСD известно нижнее основание AB = a ,

A .

AD = b

и угол между ними

Разложить по

и b

все векторы,

составляющие остальные стороны и диагонали трапеции.

11. Найти проекцию суммы векторов a , b , c

на ось l, если

а углы, составляемые этими векторами с

осью l,

равны соответственно: 0, ,

12.

Зная

проекции нескольких

векторов

на

одну и ту же ось:

прl

5, прl

-3, прl

-8,

прl

6, можно

ли

заключить, что эти

векторы образуют замкнутую ломаную линию?

13. Построить точки А (3; 2 1), В (4; -1; -2), С (-5; 3; 4), D (1; 4; -3),

Е (-3; ½; -1),

F (0; 5; -2), H (2; 0; -1),

К (0; 0 5), L (-2; -5; 3).

14. Найти координаты

точек

симметричных точкам А (2; 3; 1),

В (5; -3; 2),

С (-3; 2; -1), D (a; b; c) относительно:

1) плоскости xОy;

2) плоскости xОz; 3) плоскости yОz; 4) оси абсцисс; 5) оси ординат; 6) оси аппликат; 7) начала координат.

15. Даны точки А (3; 3; 3) и В (-1; 5;7). Найти координаты точек С и D,

делящих отрезок АВ на три равные части.

16.Отрезок, ограниченный точками А (2; 3) и В (8; 12) разделен на три равные части. Определить координаты точек деления.

17.Даны концы отрезка АВ: А (2; 3) и В (8; 12). Тремя точками отрезок разделен на 4 равные части. Определить координаты точек деления.

18.Даны вершины треугольника А (5; 8), В (-3; 3), С (3; 5).

Определить длину медианы, проведенной из вершины А.

19.Даны вершины треугольника А (7; 2), В (1; 9) и С (-8; -11). Найти расстояния точки пересечения медиан от вершин треугольника.

20.Найти координаты центра тяжести треугольника: А (2; 3; 4),

В(3; 1; 2), С (4; -3; 1).

21.Даны вершины А (2; -1; 4), В (3; 2; -6), С (-5; 0; 2) треугольника.

Вычислить длину его медианы, проведенной из вершины А.

и его углы с

22.

Разложить вектор a по базису i,

j, k,

если

осями

координат

Оx,

Оy,

Оz

соответственно

равны:

23.

На плоскости даны два вектора:

(3,

2) и

(2, 1) . Разложить

(4; 5) по базису

вектор

q .

24.

Даны

три

вектора

p (4; 5; 1),

q (3; 4; 1),

r (2; 3; 2) .

Разложить

вектор

(6; 3; 4) по базису

25. Даны три вершины А (3; -4; 7), В (-5; 3; -2), С (1; 2; -3)

параллелограмма АВСD. Найти четвертую его вершину D.

26. По указанным координатам вершин и векторов в параллелограмме ABCD найти координаты остальных его вершин:

а) AB (1;6), CB (2;7), D ( 1;3) ;					б) AC (3;9), B (5;1),		D(7; 1) .
27. Даны точки:	A 1;0; 1 , B 0;1;3 ,C 2;0;1 . Найти:
а) векторы AB,	AC . Определить, являются они коллинеарными?

б) AB 2AC 3BC ,		AB	,	AB 2AC 3BC		;

в) направляющие косинусы вектора AB 2AC 3BC .

28. Показать, что треугольник с вершинами А (2; -1), В (4; 2), С (5; 1) –

равнобедренный.

29. Нормировать вектор a 3i 4 j 12k .

30. Вычислить скалярное произведение векторов а и b , заданных

своими

координатами:

а)

а (3;5;7) ,

b ( 2; 6;1) , б)

а (3;0;6) ,

b (2; 4;0) , в) а (2;5;1) , b (3; 2; 4) .

31.

Даны векторы

a mi 3 j 4k

b 4i m j 7k .

При каком

значении m эти векторы перпендикулярны?

32.

Определить

угол

между

векторами a 3i 4 j 5k

b 4i 5 j 3k .

33.

Найти скалярное произведение векторов 3a 2b и 5a 6b ,

если

4 ,

6 и угол между векторами

b равен

2 2

6 ,

34.

Найти числовое значение скаляра

4n2 ,

если

	1

m		и	(m n) 3 .

	3
	3

35.Даны векторы a 3i 6 j k , b 6i 3 j 2k . Найти пра b , прb a

36.Даны точки: A 1;0; 1 , B 0;1;3 ,C 2;0;1 . Найти:

;

а) пр

AB CB

б)

АВ СВ , AB

;

в) AB 4BC , BA AC ;

г) AB BC AC;

д)

при

каком

значении

векторы AB

d (1; 2 ;3)

перпендикулярны?

37. Определить угол между векторами

38. Даны точки А (а; 0; 0),

В (0;

0; 2а) и С (а; 0;

а).

Построить

векторы AB и AC и найти угол между ними.

39.На плоскости дан треугольник с вершинами О (0; 0), А (2а; 0) и

В(а; -а). Найти угол, образованный стороной ОВ и медианой ОМ этого треугольника.

40.Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на

векторах

2 , если

и n – единичные векторы с углом

41. Вычислить:

2 , если

4 и (

)=1350.

между ними 30˚;

42. Дан вектор a 2m - n , где

и n

– единичные векторы с углом

между ними 120˚. Найти cos(a n),

cos(a m).

43. Даны вершины треугольника А(1; -1; -3), В(2; 1; -2) и С(-5; 2; -6).

Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

44. Даны векторы a ( 1; 2;3)

b (2;0;6) . Найти:

а) вектор, перпендикулярный векторам a

b ;

б)

sin (a b);

в)

(2a b) a

45. Даны векторы a (2; 3;1),

b ( 3;1; 2)

с (1; 2;3) . Вычислить

a b, c

и a,b c .

46.Доказать, что 2a b a 2b 3a b .

47.Вычислить диагонали и площадь параллелограмма, построенного на векторах a=k- j и b=i+ j+k .

48.Построить параллелограмм на векторах a=2j+k и b=i+2k и

вычислить его площадь и высоту.

49. Определить и построить вектор c a b , если

1) a=3i, b=2k;

2) a=i+j, b=i-j;

3) a=2i+3j, b=3j+2k .

Найти

каждом

случае

площадь параллелограмма, построенного

на векторах

a и

b .

50.

Построить

векторы a=3k-2j, b=3j-2j и с a b . Вычислить

модуль

вектора

и площадь треугольника, построенного

на векторах

a и

b .

51.

Вычислить площадь треугольника с вершинами

А (7; 3;

4),

В (1; 0; 6) и С (4; 5; -2).

52.

Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

a=m+2n и b=2m+n , где m и n –

единичные векторы, образующие угол

30˚.

53.Построить треугольник с вершинами А (1; -2; 8), В (0; 0; 4) и

С(6; 2; 0). Вычислить его площадь и высоту ВD.

54.Векторы a и b составляют угол 45˚. Найти площадь

треугольника, построенного

на векторах 2a b и

3a 2b , если

55. Вектор

перпендикулярен векторам a (4; 2; 3)

и b (0;1;3) и

образует с осью ординат тупой угол. Зная, что

26 найти его.

56. Найти вектор

m ,

зная что он перпендикулярен векторам

a (2; 3; 1) и

(0;1;3)

и m (i 2 j 7k) 3 .

57. Показать, что векторы a 2i 5 j 7k,

b i j k,

c i 2 j 2k

компланарные.

58. Проверить, будут ли компланарны три вектора:

а)

a (2, 1,3),

b (1, 4, 2),

c (3, 1, 1);

б) m (1, 6,5),

n (3, 2, 4),

p (7, 18, 2).

59. Показать, что векторы

a i 3 j 2k, b 2i 3 j 4k, c 3i 12 j 6k компланарны, и разложить

вектор

c по векторам a и

b .

60. Показать, что точки А (2; -1; -2), В (1; 2; 1), С (2; 3; 0) и D (5; 0; -6)

лежат в одной плоскости.

61.

Построить

параллелепипед

на

векторах

а=3i+4j, b=-3j+k, с=2j+5k

и вычислить его объем. Правой или левой

будет тройка векторов (a, b, c) ?

62. Построить пирамиду с вершинами О (0; 0; 0),

А (5; 2; 0), В (2; 5; 0)

и С (1; 2; 4) и вычислить ее объем, площадь грани АВС и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.

63. Построить пирамиду с вершинами А (2; 0; 0), В (0; 3; 0), С (0; 0; 6)

и D (2; 3; 8), вычислить ее объем и высоту, опущенную на грань АВС.

64. Вычислить объем параллелепипеда ОАВС O A BC , в котором даны

1 1 1 1

три вершины нижнего основания О (0; 0; 0), А (2; -3; 0) и С (3; 2; 0) и

вершина верхнего основания B1 (3; 0; 4), лежащая на боковом ребре BB1 ,

противоположном ребру OO1 .

65. Найти объем тетраэдра, построенного на векторах , если эти векторы направлены по биссектрисам координатных углов и длина каждого вектора равна 2.

	3. Тема №3. Аналитическая геометрия на плоскости
	Литература
1)	Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учебник для
университетов. Гл. 4 – 7.
2)	Ефимов. Н.В. Краткий курс аналитической геометрии.
Гл. 2, 4, 5, 6.
3)	Сидорова В.М., Лосева Н.Н., Мазнев А.В. Сборник задач по высшей

математике: Учебное пособие. Часть I. Гл. 3-4.

Основные навыки и умения

Обучаемые должны уметь:

1.строить на координатной плоскости точки;

2.осуществлять преобразование декартовой системы координат на плоскости;

3.изображать точки в полярной системе координат;

4.составлять уравнение геометрического места точек;

5.составлять различные виды уравнения прямой по заданным условиям;

6.определять нормальный вектор, направляющий вектор, угловой коэффициент k , отрезки, которые отсекает прямая на координатных осях;

7.устанавливать взаимное расположения прямых;

8.вычислять расстояние от точки до прямой;

9.находить точку пересечения двух прямых;

10.составлять простейшее уравнение эллипса;

11.определять вершины, фокусы, эксцентриситет, директрису эллипса;

12.составлять каноническое уравнение гиперболы;

13.определять вершины, фокусы, эксцентриситет, асимптоты гиперболы;

14.составлять каноническое уравнение параболы;

15.определять вершину, фокус, директрису параболы;

16.определять вид кривой второго порядка по заданному уравнению.

Задания для самостоятельной работы

1.Построить на координатной плоскости точки А (4; 3), В (-2; 5),

С(5; 2), D (-4; -3), Е (-6; 0), F (0; 4).

2. Построить точки, заданные полярными координатами:

A	4;			,	B	2;	4		,	C	3;			,	D	3,			,	E	0,			,	F	1, 3	.
		4					3					6					3					2				4

3.Найти полярные координаты точки М(1; 3 ), если полюс совпадает с началом координат, а полярная ось – с положительным направлением оси абсцисс.

4.Даны полярные координаты точки М( 22; 43 ), найти ее

прямоугольные координаты.

Даны

полярные

координаты

точки

М(2;

Найти ее

прямоугольные координаты.

6. Определить расстояние между точками М

и N 4;

Сделан

параллельный

перенос

осей координат,

причем новое

3; 4 . Известны старые координаты точки

начало расположено в точке O

М(7; 8). Определить новые координаты этой же точки.

Дана точка М 3

; 4 1

. За новые координатные

оси приняли

прямые 2x-1=0 (ось O y ), 2y-5=0 (ось Ох). Найти координаты точки М в

новой системе координат.

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.03.2016223.23 Кб23методика вищ шк магістр.doc
#
10.11.20194.89 Mб85МЕТОДИКА тр. н. Веремійчик в поч.шк..doc
#
16.03.201632.09 Кб35Методики ШПС.docx
#
08.11.2018261.63 Кб7Методич реком для ІСМ.doc
#
13.04.2015739.87 Кб24методическое пособие 1.pdf
#
13.04.20151.58 Mб35методическое пособие 2.pdf
#
05.11.2018407.04 Кб1МЕтодичка - ДИпломка.doc
#
13.04.2015270.34 Кб14Методичка 2012 г. 3 курс заочники.doc
#
16.03.20161.25 Mб448Методичка 2013 нов.doc
#
28.04.2019272.38 Кб1методичка 3 курс.doc
#
17.11.2018542.21 Кб7методичка IUGP_d_o_novaya.doc