1.4.3. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)

Среди законов распределения, которым подчиняются встречающиеся на практике случайные величины, чаще всего приходиться иметь дело с нормальным законом распределения. Это предельный закон, к которому приближаются многие другие законы распределения при определенных условиях. Если случайную величину можно рассматривать как результат суммарного воздействия многих независимых факторов, то закон распределения такой случайной величины будет близок к нормальному.

Для этого закона плотность вероятности задается формулой:

.

Выясним геометрический смысл параметров «а» и «» (а – математическое ожидание; ² – дисперсия,  – среднеквадратическое отклонение).

Из формулы видно, что кривая у = (х) достигает максимума при х = а, причем максимальное значение . С ростом величина максимального значения уменьшается, а так как площадь, ограниченная всей кривой и осью абсцисс, равна единице, то с ростом  кривая как бы растягивается вдоль оси ох и наоборот. Приведены графики у = (х) при различных «а», но при одном и том же . На другом – при а = 0, но различных .

При имеет место предел, когда = 0 ( по формуле). Разность (х) содержится в формуле в квадрате, т.е. график функции симметричен относительно прямой х = а.

Тема 2. Точечное оценивание параметров. Регрессионный и корреляционный анализ

2.1. Выборочный метод

Применение математической статистики к обработке наблюдений оказывается возможным благодаря использованию выборочного метода.

Выборочный метод в самой общей форме выглядит следующим образом. Имеется некоторая большая совокупность объектов, называемая генеральной совокупностью. Из этой совокупности извлекается n объектов, которые образуют выборку; число n называется объемом выборки. Эти n объектов подвергаются детальному исследованию, по результатам которого требуется описать всю генеральную совокупность или какие–нибудь ее свойства, характеристики.

Пример. Завод, выпускающий электролампы, должен контролировать свою продукцию, в частности, проверять долговечность ламп. Чтобы проверить срок службы лампы, нужно держать ее на испытательном стенде включенной до тех пор, пока она не перегорит. Если бы завод проверял все свои лампы, то его продукция не пошла бы дальше стенда. Из создавшегося положения находят простой выход: отбирают, скажем, одну лампу на тысячу и проверяют только отобранные лампы. В этом случае по долговечности ламп из выборки судят о долговечности всей генеральной совокупности выпускаемых заводом ламп.

Получается следующая схема производства наблюдений: имеется случайная величина Х и в результате n независимых испытаний получаются n ее допустимых значений. Если все допустимые значения случайной величины Х считать генеральной совокупностью, то полученные при наблюдениях n значений образуют выборку. По этой выборке мы и должны определить распределение случайной величины Х (т.е. распределение генеральной совокупности).

При наблюдениях получают числа х₁, х₂,…, х_n (элементы выборки). Их можно считать полной совокупностью значений некоторой конечнозначной случайной величины Х_n и конечное распределение Х_n называют выборочным (эмпирическим) распределением.

Доказано: с вероятностью равной единице максимальная разность между функциями распределения случайных величин Х_n и Х при n   стремится к нулю. Практически это означает, что при достаточно большом объеме выборки функцию распределения генеральной совокупности можно приближенно заменять выборочной функцией распределения.