- •Федеральное агентство по образованию северо–кавказский горно–металлургический институт (государственный технологический университет)
- •Владикавказ 2008
- •Тема 1. Случайные события и случайные величины, их числовые характеристики
- •Случайные события
- •Вероятность события Существует статистическое и классическое определение понятия «вероятность». Статистическое определение вероятности
- •Классическое определение вероятности
- •Свойства вероятности
- •Сложение и умножение вероятностей
- •Условная вероятность. Умножение вероятностей
- •1.2.3. Полная вероятность
- •1.3. Случайные величины
- •1.3.1. Функции распределения случайной величины
- •1.3.1.1. Свойства функции распределения
- •1.3.1.2. Функция распределения для дискретной случайной
- •1.3.1.3. Функция распределения непрерывной случайной
- •Исходя из определения функции распределения:
- •1.3.1.4. Плотность вероятности случайной величины
- •Геометрическое истолкование этой формулы
- •1.3.2.1. Свойства математического ожидания
- •1.3.2.2. Свойства дисперсии
- •1.3.3. Моменты случайной величины
- •1.4. Примеры законов распределения случайной величины
- •1.4.1. Равномерное распределение дискретной случайной
- •1.4.2. Равномерное распределение непрерывной случайной
- •1.4.3. Нормальный закон распределения (закон Гаусса)
- •Тема 2. Точечное оценивание параметров. Регрессионный и корреляционный анализ
- •2.1. Выборочный метод
- •2.1.1. Среднее и дисперсия выборки
- •2.2. Связь между случайными величинами. Корреляция
- •2.2.1. Свойства коэффициента корреляции
- •2.2.2. Определение коэффициента корреляции по данным наблюдений
- •2.2.3. Частная линейная корреляция
- •2.2.4. Множественная линейная корреляция
- •2.3. Регрессия
- •2.3.1. Линейная регрессия
- •2.3.2. Нелинейная парная регрессия
- •2.3.3. Множественная линейная регрессия
- •2.3.4. Определение параметров уравнения множественной
- •Тема 3. Проверка статистических гипотез и построение доверительных областей для параметров
- •3.1. Доверительные интервалы и доверительные вероятности
- •3.2. Оценка генерального среднего
- •3.3. Оценка генеральной дисперсии
- •3.4.1. Гипотеза о равенстве дисперсий. Критерий Фишера
- •3.5. Проверка адекватности уравнения регрессии
- •Тема 4. Математическое описание случайных сигналов в системах управления
- •4.1. Случайные процессы
- •4.2. Стационарные случайные процессы
- •4.3. Корреляционная функция
- •4.3.1. Свойства корреляционной функции
- •4.4. Спектральная плотность
- •4.4.1. Свойства спектральной плотности
- •Тема 5. Понятие передаточной функции и частотных характеристик системы
- •5.1. Элементы операционного исчисления. Преобразование
- •5.1.1. Основные свойства преобразования Лапласа
- •5.1.2. Примеры преобразования Лапласа для типовых функций
- •5.1.3. Решение линейных дифференциальных уравнений
- •Примеры
- •5.2. Понятие передаточной функции
- •5.3. Временные и частотные характеристики сау
- •5.3.1. Временные характеристики сау
- •5.3.2. Частотные характеристики сау
4.2. Стационарные случайные процессы
Общая теория случайных функций, требующая задания многомерных функций распределения вероятности, обычно оказывается очень сложной и громоздкой для практических применений.
Но, если случайные функции имеют нормальное распределение, то задание их первых двух моментов достаточно для определения всех последующих моментов, вследствие чего корреляционная теория (2–ой центральный момент – корреляционный момент) может рассматриваться как общая теория случайных функций с нормальным распределением.
Но и корреляционная теория достаточно сложна, поэтому обычно рассматривают те или иные виды случайных процессов, удовлетворяющих определенным допущениям.
Особое место занимают стационарные случайные процессы. Для них вид функции распределения вероятности не зависит от смещения начала отсчета вдоль оси времени. В случае стационарных случайных процессов определение функции распределения упрощается в том отношении, что она может быть определена в течение достаточно долгого промежутка времени из результатов наблюдения над одной единственной системой, а не над многими. Действительно, так как в этом случае функция распределения не зависит от начала отсчета времени, то можно предположить, что экспериментальную запись кривой х(t), полученную из наблюдения над одной системой в течение достаточно долгого промежутка времени, можно разбить на ряд отрезков длиной Т (где Т велико по сравнению со всеми «периодами», которые имеются в исследуемом процессе) и считать, что функциями, входящими в совокупность, являются функции х(t), представляющие собой части всей кривой х(t) на протяжении каждого из отрезков Т.
В основе этого предположения лежит так называемая эргодическая гипотеза, согласно которой большое число наблюдений над одной – единственной системой, движение которой представляет собой стационарный случайный процесс, в моменты времени, выбранные произвольным образом, имеет те же статистические свойства, то же число наблюдений над произвольно выбранными подобными ей системами в один и тот же момент времени.
Различают «среднее значение по совокупности (множеству)», т.е. средние значения, определенные на основании наблюдения над многими подобными системами в один и тот же момент времени, и «среднее по времени», т.е. среднее значение, определенное на основании наблюдения над одной из этих систем для достаточно большого числа последующих моментов времени.
Для стационарных процессов это одно и то же. Так, например, для функции х(t) «среднее по совокупности» :
–зависит от момента времени t, а среднее по времени для интервала времени 2Т:
–не зависит от t и для стационарного процесса =.
Аналогичное равенство имеет место и для моментов более высокого порядка.
4.3. Корреляционная функция
Важной вероятностной характеристикой случайного процесса является корреляционная функция, которая для стационарного случайного процесса х(t) определится как:
где =– математическое ожидание («среднее по времени» на интервалеТ).
Для «центрированного» случайного процесса = 0 и
.
Корреляционную функцию случайного процесса х(t) называют еще автокорреляционной функцией Rx(), так как если приходится иметь дело с двумя стационарными случайными процессами х(t) и у(t), то кроме их математических ожиданий ,и автокорреляционных функцийRx() и Ry(), обычно вводится в рассмотрение корреляционная функция связи, или взаимная корреляционная функция, которая для стационарного случайного процесса –
.
Если ==0, то
.
Она имеет непосредственную связь с понятием коэффициента корреляции. Так, если коэффициент корреляции характеризует меру зависимости между двумя системами чисел хi и yi (случайные величины), то взаимная корреляционная функция характеризует зависимость значений одной и той же или различных случайных функций в различные моменты времени.