1.3. Случайные величины

Под случайной величиной понимается величина, принимающая в результате опыта какое–либо числовое значение из множества возможных значений.

Примеры: 1) Число выстрелов, произведенных до первого попадания в цель (любое целое положительное число).

2) Расстояние от центра мишени до точки попадания (любое положительное число или 0).

Случайная величина, принимающая конечное число или последовательность различных значений, называется дискретной случайной величиной (пример 1).

Случайная величина принимающая все значения из некоторого интервала, называется непрерывной случайной величиной (пример 2).

Чтобы охарактеризовать дискретную случайную величину, прежде всего необходимо указать возможные ее значения. Однако этого недостаточно: нужно еще знать, насколько часто принимаются различные значения этой величины, что лучше всего характеризовать вероятностью отдельных ее значений. Иначе говоря, для случайной величины Х следует указывать не только ее значения x₁,x₂,…,x_n, но и вероятности событийX =x_i,р_i =P(X =x_i), (i = 1,2,…,n) состоящих в том, что случайная величинаХприняла значениех_i.

Если перечислены все возможные значения X, то события X = x_i не только несовместны, но и единственно возможны, так что сумма заданных вероятностей р_i должна равняться единице.

Соотношение, устанавливающее связь между значениями случайной величины и вероятностями этих значений, называется законом распределения случайной величины.

Для дискретной случайной величины закон распределения удобно записывать в виде таблицы, причем .

x1	x2	…	хi	…	xn
р1	р2	…	рi	…	рn

Иногда этот закон задают в виде графика: по оси абсцисс откладывают возможные значения случайной величины Х, а по оси ординат – соответствующие значения вероятностей. Получаемая при этом ломаная линия называется многоугольником распределения.

Пример: Х – число очков, выпадающих на игральной кости. Возможные значения 1,…,6 равновероятны.

Закон распределения:

хi	1	2	3	4	5	6
рi

Многоугольник распределения:

1.3.1. Функции распределения случайной величины

Закон распределения не всегда можно задать таблицей. Например, для непрерывной случайной величины невозможно перечислить все ее значения. Поэтому ее характеризуют не вероятностями отдельных значений, как дискретную, а вероятностями того, что случайная величина принимает значения из определенного интервала, т.е. вероятностями неравенств вида . (Можно и для дискретных).

Обычно говорят о вероятности неравенства , т.е. вероятности того, что случайная величина принимает значение, меньшее х. Эта вероятностьР(X < x) является, очевидно, функцией х. Обозначим ее F(x)

.

Функцию F(x) называют интегральным законом распределения или функцией распределения случайной величины X.

1.3.1.1. Свойства функции распределения

Пусть X – случайная величина, x₁ и x₂ – две произвольные точки, причем x₁<x₂. Сравним значения функции F(х) в этих точках. Так как событие X<x₁ влечет событие X<x₂, то ясно, что

, или

по определению функции распределения,

.

Таким образом, функция распределения для любой случайной величины всегда является монотонно неубывающей.

Очевидно , откуда следует, что. Так как F(х) – монотонна и заключена между 0 и 1, то график функции y = F(x) имеет две горизонтальные асимптоты: у = 0 при х  иу = 1 при х.

Если все значения случайной величины принадлежат интервалу (а, b), то слева от точки «а» имеем F(x) = 0, а справа от «b» – функция F(x) = 1.