Лабораторная работа № 8. Тема: «Построение линейной парной корреляции»

Компетенции: Студенты приобретают компетенции:

- в области выявления зависимого и независимого признака, поиска аналитического выражения зависимости признаков, характеризующих реальные социально-экономические процессы;

- в выборе уравнения регрессии для эмпирических данных и его оценке (адекватность построенной модели);

- в оценке связи по различным позициям: наличие связи, её направление, сила и теснота;

- в проведении анализа на основе полученных результатов и выполнении выводов.

Цель работы: Приобрести навык в построении линейного уравнения регрессии для эмпирических данных, в нахождении параметров уравнения на основе этих данных; в расчёте коэффициента тесноты связи изучаемых признаков с использованием инструментарияMicrosoftExcelи проведение анализа на основе полученных результатов.

Краткая теория:

Для изучения взаимодействия признаков используют исследования по типам связей между различными явлениями и их признаками. Различают два типа связей (рисунок 8.1)

Рис. 8.1 Типы связей между статистическими признаками

Так корреляционная связь является частным случаем статистической.

Определение: Корреляционной связью называется такая связь между явлениями и их признаками, когда разным значениям переменной соответствуют различные средние значения другой переменной, причём одному среднему значению может соответствовать множество значений другой переменной.

Для изучения корреляционных связей используют уравнение регрессии, которое представляет собой математическое выражение связи признаков: условной средней величины результативного признака с изменением факторного признака (факторный признак- признак, оказывающий влияние на другие признаки, результативный признак- признак, испытывающий на себе влияние факторного).

Уравнение регрессии, выраженное функцией (линейной или нелинейной) и описывающее зависимость условной средней результативного признака от одного факторного - уравнение парной регрессии, а описывающее зависимость результативного от нескольких факторных признаков - уравнение множественной регрессии, т.е. регрессионная модель основана на аналитическом представлении связи факторного и результативного признаков.

Простейшим уравнением парной корреляции (регрессии) является линейное уравнение: - среднее значение результативного признака,b- вариация результативного признака на единицу факторного,a- теоретическое значение результативного признака при значении факторного, равное 0 (x=0), что на практике не имеет никакого экономического смысла.

Для вычисления параметров aиbрешается система уравнений:

(8.1)

Можно применять для расчёта параметров уравнения методы линейной алгебры (метод Крамера или метод Гаусса), опуская преобразования, получаем формулу для расчёта:

, тогда (8.2)

При линейной корреляционной связи применяют показатель тесноты связи между изучаемыми признаками - коэффициент корреляции:

(8.3)

Коэффициент детерминации () показывает, какая часть результативного признака обусловлена изменениями факторного:

. Величина коэффициента корреляции колеблется в пределах: .

Таблица характера связи в зависимости от коэффициента корреляции:

Таблица 8.1.

Величина	Характер связи
До 0,3	Практически отсутствует
0,3-0,5	Заметная
0,5-0,7	Умеренная
0,7-0,9	Сильная
0,9-0,999	Очень сильная

Пример решения и оформления типовой задачи:

Имеются данные по предприятию о возрасте (продолжительности эксплуатации) типового оборудования и затратах на его ремонт. Рассчитать параметры линейного уравнения парной корреляции, коэффициенты тесноты связи, наименьший возраст оборудования, при котором исчисляются амортизационные отчисления. Сделать выводы по результатам работы.

Таблица 8.2.

Номер станка	Возраст станка, лет	Затраты на ремонт, тыс. руб.
1	4	1,5
2	5	2
3	5	3,4
4	6	3,6
5	8	3,7
6	10	4
7	8	3,3
8	7	2,5
9	11	6,6
10	6	3,7

Рисунок 8.2 Зависимость затрат на ремонт от возраста оборудования

На основе графического изображения можно предположить, что аналитическая зависимость между признаками, характеризующими оборудование, существует в виде линейной функции.

На основе расчётов, выполненных в таблице 8.3 уравнение линейной парной корреляции имеет вид: .

Оценка полученного уравнения может быть выполнена несколькими способами, так для линейного уравнения регрессии существует два основных приёма: либо проверка равенства эмпирического коэффициента детерминации и линейного коэффициента корреляции, либо расчёт показателей и, сравнение их с табличным значением. Из вычислений следует, что минимальное значение факторного признака, при котором возможны изменения результативного равно 29 дней, а 65,699 % изменений затрат обусловлено изменениями возраста оборудования, 34,301 % изменений затрат обусловлено неучтёнными факторами, равенство коэффициента корреляции значению 0,811 говорит об очень сильной связи между изучаемыми признаками.

Контрольные вопросы:

1. Какие виды связей между признаками в статистике знаете?

2. Какие виды уравнений регрессии знаете?

3. Что называется корреляционной связью?

4. Дайте понятие жестко детерминированной связи в статистике.

5. Дайте понятие стохастически детерминированной связи в статистике.

6. Какой признак в статистике является факторным?

7. Какой признак в статистике является результативным?

8. Какой признак в лабораторной работе факторный, а какой результативный?

9. Запишите систему уравнений для определения параметров уравнения парной линейной корреляции.

10. Какие формулы использовали для расчёта коэффициентов в уравнении регрессии в лабораторной работе?

11. Можно ли строить уравнение парной корреляции для сгруппированных данных?

12. Что показывает коэффициент корреляции?

13. Что показывает коэффициент детерминации?

14. Каков экономический смысл параметров в уравнении линейной парной корреляции?

15. Сделайте выводы по лабораторной работе.

Таблица 8.3.

Номер станка	Возраст станка, лет, xi	Затраты на ремонт, тыс. руб., yi
1	4	1,5	-3			-1,930		5,790	9	3,725	1,943
2	5	2	-2			-1,430		2,860	4	2,045	2,439
3	5	3,4	-2			-0,030		0,060	4	0,001	2,439
4	6	3,6	-1			0,170		-0,170	1	0,029	2,934
5	8	3,7	1			0,270		0,270	1	0,073	3,926
6	10	4	3			0,570		1,710	9	0,325	4,917
7	8	3,3	1			-0,130		-0,130	1	0,017	3,926
8	7	2,5	0			-0,930		0,000	0	0,865	3,430
9	11	6,6	4			3,170		12,680	16	10,049	5,413
10	6	3,7	-1			0,270		-0,270	1	0,073	2,934
	70	34,3						22,8	46	17,201	34,3
		7 лет				b=		0,49565		0,810549
		3,43 тыс. руб.					a=	-0,03957		65,699%
	0,079825 года =29 дней