- •Предисловие
- •Введение
- •§ 1. Предмет математики и истории математики
- •§ 2 Основные периоды развития математики
- •§ 3. Математика древнего Египта
- •§ 4. Математика древнего Вавилона
- •§5. Начало древнегреческой математики
- •§ 6. Построение циркулем и линейкой в древней Греции
- •§ 7. Парадоксы Зенона
- •§ 8. Предшественники Евклида
- •§ 9. Общая характеристика “Начал” Евклида
- •§10. Геометрические книги “Начал”.
- •§ 11. Арифметические книги “Начал”
- •§ 12. Архимед. Работа Архимеда “ Измерение круга”
- •§13. Работа Архимеда “ o спиралях”
- •§14 Создание теории конических сечений
- •§15. Древнегреческая математика после Аполлония
- •Возникновение алгебры и теории чисел
- •Греческая математика после Диофанта
- •Математика древнего и средневекового Китая
- •§ 17. Математика древней и средневековой Индии
- •§ 18. Математика в арабских странах
- •§ 19. Математика в Западной Европе в X XIV вв.
- •§ 20. Древнерусская математика
- •§ 21. Создание алгебраической символики
- •§ 22. Решение уравнений третьей и четвертой степени
- •§ 23. Развитие тригонометрии в XII-XVII вв.
- •§ 24. Составление таблиц логарифмов
- •1,0001:
- •§ 25. Создание основ аналитической геометрии
- •§ 26. Первые предшественники интегрального исчисления
- •§ 27. Последующие предшественники интегрального исчисления
- •§ 28. Предшественники дифференциального исчисления
- •§ 29. Дифференциальное исчисление у Ньютона
- •§ 30. Интегральное исчисление у Ньютона
- •§ 31. Дифференциальное исчисление у Лейбница
- •§ 32. Интегральное исчисление у Лейбница
- •§ 33. « Арифметика» Магницкого
- •§34. Математический анализ в XVIII веке
- •§ 35. Учение о числе в XVII – XIX вв.
- •§ 36. Математический анализ в XIX веке
- •§ 37. Алгебра в XVIII – XIX вв.
- •§ 38. Теория чисел в XVII−XIX вв.
- •§ 39. Создание дифференциальной и проективной геометрии
- •§ 40. Создание неевклидовой и многомерной геометрии. Аксиоматизация геометрии
- •§ 41 Проблемы Гильберта
- •§ 42. Ведущие области математики XX веке
- •Заключение
- •Литература
- •§ 1. Предмет математики и история математики……………………….. 5
§ 32. Интегральное исчисление у Лейбница
В 1686 г. Лейбниц опубликовал в журнале первую печатную работу по интегральному исчислению – статью « О глубокой геометрии и анализе неделимых и бесконечных». Здесь он впервые ввел знак интеграла образовав его от словаЛишь в позднее, в 1690 г., после появления в печати статьи И. Бернулли, который ввел термин «интеграл» (от латинскогоцелый, весь), Лейбниц также стал пользоваться этим словом.
Под интегралом он понимал сумму вида
С современной точки зрения, интеграл у Лейбница, как правило, представлял собой определенный интеграл с переменным верхним пределом; нижний предел у него зачастую равен нулю. Например, пишет Лейбниц,
так как
Здесь явно используется взаимная обратность операций дифференцирования и интегрирования. В общем же случае он в других своих работах при вычислении интегралов намеривался использовать бесконечные степенные ряды.
В данной статье и в некоторых других Лейбниц рассматривает многочисленные приложения интегрального исчисления к нахождению площадей фигур, длин кривых, центров тяжести фигур и др.
И в дифференциальном , и в интегральном исчислении он широко пользуется термином «бесконечно малая». При этом у Лейбница не было ясного представления о потенциальной бесконечно малой – переменной, которая может сделаться и в дальнейшем оставаться ( по модулю) меньшей любого данного положительного числа. Вместо этого он обычно применяет актуальные бесконечно малые − положительные постоянные, которые меньше любого положительного числа. Последнее понятие противоречиво, но тем не менее Лейбниц с его помощью и с помощью принципа пренебрежения бесконечно малыми высших порядков получал верные формулы и в дифференциальном, и в интегральном исчислении.
Он неоднократно пытался дать белее строгое обоснование анализа бесконечно малых, в том числе прибегая иногда к потенциальным бесконечно малым, но каждый раз терпел неудачу. Тем не менее, Лейбниц считал приложения анализа оправданными верностью тех результатов, к которым он приводит. Строгое обоснование анализа на основе теории пределов было выполнено лишь в XIX в.
У Лейбница появилась научная школа, крупнейшими учеными которой были братья Бернулли – Якоб и Иоганн, и французский математик Франсуа Лопиталь. Совместно с братьями Бернулли, особенно с Иоганном, Лейбниц обогащает анализ большим количеством идей и технических приемов. В частности, для интегрирования дробно - рациональных функций он впервые применяет разложение правильных дробей в сумму простейших дробей методом неопределенных коэффициентов.
Лопиталь в 1696 г. издал первый учебник по дифференциальному исчислению – « Анализ бесконечно малых для исследования кривых линий». Основной материал учебника заимствован из работ Лейбница и И. Бернулли. Заслуга Лопиталя – методическая обработка этого материала, ясное, четкое изложение, насколько это было возможно в рамках дифференциального исчисления Лейбница.
После Лопиталя другими авторами были написаны учебные пособия по дифференциальному и интегральному исчислению. В XVIII в. анализ бесконечно малых начали преподавать в университетах, особенно во Франции.
Анализ Лейбница пользовался в странах континентальной Европы гораздо большей известностью, чем анализ Ньютона. Дело было в наличии печатных работ, в более удобной символике, наконец, в научной школе Лейбница, которая и после его смерти продолжала пропагандировать и развивать его идеи. В конце XVII в. начался спор о приоритете в анализе бесконечно малых между учеными европейского континента и английскими учеными. Этот спор продолжался более ста лет и привел к разрыву научных связей между теми и другими. Английские ученые из патриотических побуждений долгое время продолжали пользоваться менее разработанными идеями и менее удобной символикой Ньютона.