§10. Геометрические книги “Начал”.
Cамую объемистую часть геометрических книг “Начал” составляют предложения. Под предложением Евклид понимал или теорему, или задачу на построение, не делая явного различия между тем и другим.
Начинаем с первой книги. В ней, кроме определений, постулатов и аксиом, изложены предложения о треугольниках, перпендикулярах, параллельных и о параллелограммах. рассмотрим примеры, с тем, чтобы почувствовать стиль “Начал”.
Пример 1 (1). На данной ограниченной прямой построить равносторонний треугольник.
Эта задача на построение.
Пусть AB – данная ограниченная прямая (т. е. отрезок).
Из точки A радиусом AB опишем окружность, а из точки B радиусом BA также опишем окружность (постулат 3) (рис. 13). Точку С пересечения окружностей соединим с точками А и В (постулат 1).
Поскольку
А
центр круга, то АС
= АВ
(определение
круга 15 ), а так как В – центр круга, то
ВС=ВА (определение 15). Тогда и СА=СВ
(аксиома 1).Значит, треугольник ABC
равносторонний (определение 20).
(Это доказательство Евклида несколько модернизировано. В частности, у него нет символики, например, знака равенства; он лишь с помощью букв обозначает точки, прямые, окружности, треугольники и т. д.).
Решение задачи почти не отличается от современного. Но, строго говоря, нужно еще доказать, что проведенные окружности пересекаются, а это требует использования аксиомы непрерывности в той или иной форме.
Пример 2 (1.6). Если в треугольнике два угла равны между собой, то будут равны между собой и стороны, стягивающие равные углы.
А здесь перед нами теорема.
Пусть в треугольнике ABC угол ABC равен углу ACB/ Нужно доказать, что AB= AC.
Допустим, что AB и AC не равны, например, AB больше AC (рис.14)
От
большего отрезка АВ
отнимем отрезок DB=AC
(предложение 3) и соединим прямой точки
D
и С
(аксиома 1).
Тогда треугольник DBC равен треугольнику ACB (предложение 4 – признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними). Получилось, что меньше − треугольник DBC равно большему – треугольнику ACB, а это невозможно (аксиома 5).
Мы рассмотрели здесь сравнительно простые
предложения из первой книги, другие предложения большей частью более громоздки по формулировке и сложнее в доказательстве или построении. Два последних предложения первой книги – это теорема Пифагора и ей обратная, разумеется, в геометрической форме и с геометрическим доказательством.
Обратим внимание, что Евклид старается тщательно обосновать каждый свой шаг в доказательстве или построении ссылками на предыдущие определения, постулаты, аксиомы и предложения. Он стремится не столько убедить читателя, сколько победить все возможные у него возражения.
Вторая книга “Начал” посвящена геометрической алгебре, т.е. алгебраическим предложениям в геометрической форме.
Пример 3 (2.4.) Если прямая линия как-либо рассечена, то квадрат на всей прямой равен квадратам на отрезках вместе с дважды взятым прямоугольником, заключенным между отрезками (рис.15).
Эта
фактически алгебраическая формула
(при положительных a и b). Квадрат, как и везде, Евклид понимает как геометрический объект, а не как число.
Другие предложения второй книги носят похожий характер.
Зачем были нужны автору подобные предложения? Мы уже знаем, что древние греки ( до Диофанта, жившего значительно позднее – в III в. н. э.) не знали алгебры, между тем, алгебраические предложения были им необходимы для доказательства многих геометрических теорем. Поэтому вторая книга является вспомогательной; все ее предположения используются в ряде следующих книг “Начал”.
Третья книга посвящена окружности. В ней, наряду с обычными для нас предложениями, имеется и ряд довольно тонких, например: две пересекающиеся (или касающиеся) окружности не могут иметь общего центра; две касающиеся окружности имеют только одну точку касания, и др.
В четвертой книге рассматриваются вписанные и описанные многоугольники. В ней, в частности, излагается построение вписанных и описанных квадрата, правильного треугольника, пятиугольника, шестиугольника и 15-угольника. Однако в книге отсутствует привычные для нас признаки вписанного и описанного четырехугольников.
Пятая книга “Начал” посвящена теории пропорций величин по Евдоксу. С этой теорией мы уже встречались в § 8.
В шестой книге рассматривается подобие фигур. При этом существенно используется материал пятой книги. Среди предложений можно найти три признака подобия треугольников, а также построение отрезка, среднего пропорционального к двум данным отрезкам, отрезка, четвертого пропорционального к трем данным, и деление данного отрезка в среднем и крайнем отношении.
Планиметрии посвящена еще десятая книга. в ней излагается классификация квадратичных иррациональностей по способу их построения, принадлежащая Теэтету (см. § 8).
Возникает вопрос: почему материал этой книги отодвинут так далеко, а не помещен сразу после шестой книги? Дело в том, что в ней широко применяется учение о числе ( натуральном), а оно у Евклида излагается в книгах 7-9.
Стереометрия, как мы уже знаем рассматривается в книгах 11-13. в этих книгах нет аксиом стереометрии, а все определения собраны в 11-й книге.
11-я книга посвящена прямым и плоскостям в пространстве. Среди предложений книги имеется, в частности, такое: “ Если две плоскости сект (пересекают) друг друга, то общее их сечение будет прямой” – предложение, которое в современных школьных учебниках геометрии фигурирует в качестве аксиомы.
В 12-й книге рассматриваются предложения, которые доказываются с помощью метода исчерпывания Евдокса (см. § 8): об отношениях площадей кругов, объемов пирамид, конусов, шаров и др. Вот пример такого предложения: “Всякий конус есть третья часть цилиндра, имеющего с ним то же самое основание и одинаковую высоту”.
У Евклида нет ни одной формулы площади или объема. В то время считалось, что эти формулы, правила являются делом практика: землемера, строителя и т. д., но не геометра. Кроме того, они требовали знакомства с иррациональными числами, которых греки не знали; с иррациональным числом мы встречаемся уже в формуле площади круг.
10. 13-я книга “Начал” посвящена правильным многогранникам.