Стерлядкин В.В. Физика ч
.2.pdf
87
10.3. Типы магнетиков: диамагнетики, парамагнетики, феромагнетики
10.3.1 Диамагнетики
Диамагнетики -- вещества, у которых магнитные моменты атомов (молекул) в отсутствие магнитного поля равны нулю (векторная сумма орбитальных
моментов всех электронов атома равна нулю), Pm = 0.
Но в магнитном поле у каждого атома появляется наведенный (дополнительный) магнитный момент Pm B следовательно J Pm -B откуда намагниченность можно выразить соотношением:
r |
χ′ r |
|
||
J = |
|
|
B |
(10.4) |
µ |
|
|||
|
o |
|
||
|
|
|
||
где χ′ - (хи) коэффициент пропорциональности, причем у диамагнетиков χ′ < 0. Рассмотрим подробнее, как возникает наведённый магнитный
момент.
1. В типичном диамагнетике в отсутствие магнитного поля: (В=0), орбитальные магнитные моменты компенсируют друг друга, (Рис. 10.2.).
Pm = Pm1 + Pm2 = 0
2. а) В магнитном поле (В≠0) появляется сила Лоренца, Fл = −e[V×B]
которая для одного электрона:
-уменьшает центростремительную силу: Fц = Fкул - Fл
-уменьшает скорость вращения электрона Fц = mV2⁄R ,
-следовательно уменьшает ν - частоту вращения
– уменьшает магнитный момент Pm1.
Приращение магнитного момента Pm1 противоположно магнитной индукции B . б) Если электрон вращается в другую сторону, то Fл добавляется к силе Кулона, увеличивается скорость, частоты, магнитный момент Pm2.
Приращение магнитного момента Pm2 |
также противоположно B . |
||
r |
χ′ |
r |
|
В результате: J P -B, точнее J = |
B, где χ′ < 0. |
||
|
|||
m |
µo |
|
|
|
|
||
10.3.2 Парамагнетики
Парамагнетики – вещества, у которых магнитные моменты атомов (молекул) в отсутствие внешнего магнитного поля отличны от нуля ( Pm = 0).
В магнитном поле (внешнем) магнитные моменты атомов стремятся ориентироваться вдоль внешнего поля (тепловое движение этому препятствует).
88 |
|
|
||
В результате степень ориентации и |
намагниченность тем |
сильнее, чем |
||
больше магнитное поле: J B. Вводя коэффициент пропорциональности, получим: |
||||
r |
χ′ |
r |
|
|
J = |
B |
(10.5) |
||
µo |
||||
|
|
|
||
Сначала начинается прецессия, но за счет столкновений прецессия затухает, а Pm ориентируется вдоль B.
10.3.3 Ферромагнетики
Ферромагнетики – вещества, у которых внутреннее магнитное поле в сотни раз превышает вызвавшее его внешнее поле , но для них также справедливо уравнение
(10.5).
10.4. Напряженность магнитного поля. Закон полного тока (циркуляция вектора напряженности) для магнитного поля в веществе. Магнитная восприимчивость вещества. Магнитная проницаемость среды
Итак, поле в веществе B складывается из внешнего магнитного поля внутреннего (наведенного) Bвнутр.
В = Во + Ввнутр. |
Во - первично |
Обобщая закон полного тока, получим:
r r |
= µo (Iмакро + Iмикро ) |
∫ |
|
B dl |
Но микротоки связаны с вектором намагниченности соотношением:
r r
Iмикро = ∫J dl
Bo и
(10.6)
(10.7)
Откуда получаем:
|
|
r |
|
∫ |
|
|
|
|
B |
− J dl =I |
макро |
|
µo |
|
|
r B r
Вектор H = o − J - называется напряженностью магнитного поля
В результате закон полного тока в веществе приобретает вид:
rr
∫H dl = Iмакро
(10.8)
(10.9)
(10.10)
r χ′ r |
r |
B |
′ |
) |
||
|
|
|
|
|
||
Для изотропной среды: J = µo |
|
|
|
|||
B, |
и H = |
µo |
(1− χ |
|||
Магнитной восприимчивостью вещества χ называется величина, связанная с
χ′ соотношением:
1+ χ = |
|
1 |
(10.11) |
|
− χ′ |
||
1 |
|
||
89
|
r |
B |
||
Тогда |
H = |
|
||
|
|
|
||
µ |
(1+ χ) |
|||
|
|
o |
|
|
Величина =1+χ - называется магнитной проницаемостью среды.
С учётом последнего замечания получаем связь H и B:
r |
B |
||
H = |
|||
µ |
µ |
||
|
|||
|
o |
|
|
Н - напряженность магнитного поля в веществе;
В- магнитная индукция в веществе
µ=1 + χ
Для вакуума µ=1 |
χ=0 |
χ′=0 |
У диамагнетиков µ<1 |
χ< 0 |
χ′> 0 |
У парамагнетиков µ>1 |
χ> 0 |
χ′< 0 |
У ферромагнетиков µ>>1 |
χ>>1 |
χ′≈1 |
(10.12)
(10.13)
10.5. Опыты Столетова. Кривая намагничивания. Магнитный гистерезис. Точка Кюри
Столетов исследовал поведение железа в магнитном поле, установил следующие его свойства:
1)При H>HH происходит насыщение намагниченности, (рис. 10.5).
2)Существует магнитный гистерезис – отставание намагниченности J от изменения напряженности магнитного поля H.
3)Перечисленные свойства обнаруживаются при
T<TКЮРИ
- при T<TК - вещество является ферромагнетиком.
- при T>TК - вещество превращается в парамагнетик.
Объяснение: при T<TК ферромагнетик разбит на области-домены, размеры которых
составляют l 10-4…10-5 м.
В пределах каждого домена все Pm
90
ориентированы одинаково (до насыщения).
Без внешнего поля домены ориентированы хаотически и результирующий магнитный момент тела равен нулю.
В поле начинается преимущественная ориентация доменов вдоль
поля. В насыщении все домены ориентированы в направлении B. Гистерезис объясняется «трением» между границ доменов.
В квантовой механике образование доменов объясняется взаимодействием между спинами электронов, (рис. 10.6).
Лекция 11. Электромагнитная индукция
11.1 Явление электромагнитной индукции
Ток создает магнитное поле.
Может ли магнитное поле создать ток в проводнике? На этот вопрос ответил Фарадей. Он доказал, что магнитное поле может создать ток.
Явление электромагнитной индукции заключается в появлении ЭДС в контурах, магнитный поток, через которые меняется.
Если контур замкнуть – то по нему пойдет индукционный ток.
11.2 Законы Фарадея и Ленца
ЭДС индукции εинд , возникающая в замкнутом контуре, пропорциональна скорости изменения магнитного потока ΦВ, сцепленного с этим контуром.
εинд = − |
dФВ |
(закон Фарадея) |
(11.1) |
|
dt |
||||
|
|
|
Правило Ленца: возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление, что создаваемый им магнитный поток через контур противодействует изменению магнитного потока, которое вызвало индукционный. ток (индукционный ток стремится поддержать магнитный поток неизменным).
11.3 Природа возникновения ЭДС индукции
Пусть проводник двигается со скоростью V , пересекая линии магнитной индукции. На заряды в проводнике действует сила Лоренца, (рис. 11.2).
|
|
|
|
|
|
|
|
Fл = q[V× B] |
||||
|
|
|
|
|
|
Эта сила и вызывает индукционный ток. |
||||||
|
|
|
|
|
|
Полную ЭДС индукции εинд |
можно вычислить |
|||||
|
|
|
|
|
|
как работу сторонних сил по перемещению |
||||||
единичного заряда q = 1. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
|
dx |
Bds |
dФB |
||||
|
|
|||||||||||
|
|
εинд |
|
= |
|
∫Fлdl = ∫V Bdl = ∫B |
|
dl = ∫ |
|
= |
|
|
|
|
|
q |
dt |
dt |
dt |
||||||
|
|
|
||||||||||
91
11.3.1 Закон сохранения энергии в явлении электромагнитной индукции
На проводник с током в магнитном поле действует сила F=I l B sin90o, (рис. 11.3).
1)Ее работа: dA=Fdx= I l Bdx=I dФB
2)В тепло переходит энергия, равная: Q=I2Rdt
3)Работа источника ε равна: εIdt
Работа источника расходуется на нагрев проводника Q и перемещение с силой F.
Разделив εIdt = I2Rdt + I dФB на Idt получаем: ε = IR + |
dФ |
. |
|||||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|
Откуда вычисляем значения тока: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dФ |
||||
|
ε + |
− |
|
|
|||
|
|
||||||
I = |
|
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R
Из этой формулы видно, что в цепи как бы появилась дополнительная ЭДС!
εинд = − dФВ
dt
Итак, закон Фарадея можно вывести из закона сохранения энергии !!!
11.4 Самоиндукция. Индуктивность. Токи замыкания и размыкания
Возникновение ЭДС индукции в контуре вследствие изменения магнитного потока, создаваемого током в этом же контуре называется самоиндукцией.
Ток в контуре I создает собственное поле В и собственный поток ФB через контур S,
(рис. 11.4) Причем I B ФВ. Следовательно, можно
записать:
ФВ = L I |
(11.2) |
где L - индуктивность контура, является коэффициентом пропорциональности.
Единица измерения индуктивности: [L]=B C/A=Гн (Генри). С учётом (11.2) получаем:
εсамоинд |
= − |
dФ |
В |
= −L |
dI |
(11.3) |
dt |
|
dt |
||||
|
|
|
|
|
Если в катушке число витков равно N, то полный поток (потокосцепление)
Ψ=N ФВ, и ЭДС самоиндукции:
92
εсамоинд |
= − |
dΨ |
(11.3)’ |
|
dt |
||||
|
|
|
Экстратоки - это возникающие в проводнике токи самоиндукции.
При замыкании цепи и размыкании ток нарастает и убывает постепенно, если в цепи есть индуктивность L, (рис. 11.5).
1)Размыкание. Пусть при t=0 источник
отключается и цепь замыкается накоротко (ключ 1 2).
IR = εсамоинд |
= −L |
dI |
, откуда получаем |
dI |
+ |
R |
I = 0 |
dt |
|
|
|||||
|
|
|
dt L |
||||
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка. Его решение имеет вид:
I = I |
|
− |
R |
|
|
|
0exp |
|
t |
(11.4 ) |
|||
L |
||||||
|
|
|
|
|
График нарастания тока в цепи представлен на рис. 11.6.
2) При замыкании (ключ 2 1) ток исчезает также не мгновенно:
|
|
|
|
R |
|
|
I = I |
0 1 |
− exp |
− |
|
t |
(11.5) |
|
||||||
|
|
|
|
L |
|
|
Экстратоки объясняются тем, что появление тока в катушке означает появление магнитного поля, которое имеет запас энергии. Появление энергии в катушке и её исчезновение не может происходить мгновенно.
11.5 Взаимная индукция. Взаимная индуктивность
Если вблизи цепи 1 с изменяющимся током I1 расположен контур 2, то в нем находится ЭДС индукции,(рис. 11.7).
Это явление взаимной индукции.
Изменение I1 вызовет изменение потока Ф через контур 2 и в нем возникнет ЭДС - это взаимная индукция.
ε2инд |
= − |
dФ12 |
|
= −М12 |
dI1 |
|
(11.6) |
|||
|
dt |
|
dt |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
ε |
= − |
dФ21 |
= −М |
|
|
dI2 |
(11.7) |
|||
|
|
|
|
|
||||||
1инд |
|
|
dt |
|
21 |
|
dt |
|
||
Оказывается, что коэффициенты пропорциональности, которые называются коэффициентами взаимной индукции, равны между собой:
M12=M21=M |
(11.8) |
93
11.6 Энергия магнитного поля
Чтобы создать в контуре ток I, а значит, и магнитное поле, надо совершить работу А преодолению ЭДС самоиндукции, которая препятствует нарастанию тока.
Чтобы увеличить поток надо совершить работу: dA = I dФ, но dФ = L dl,
откуда получаем dA = I L dI. Общая |
работа по созданию тока вычисляется как |
||||
интеграл: A = L∫I dI = |
L I2 |
. Итак: |
A = |
L I2 |
|
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
||
Работа по созданию тока в проводнике идет на создание магнитного поля вокруг проводника, т.е. это есть энергия магнитного поля.
LI2
Wm = (11.9)
2
( Энергия магнитного поля в катушке индуктивности)
Можно показать, что если магнитное поле однородно, то энергия поля, заключенная в единице объема, или объемная плотность энергии магнитного поля равна:
w = |
1 |
|
B2 |
(11.10) |
µоµ |
|
|||
магн |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
B
т. к. напряженность магнитного поля H = µоµ , то
w |
= |
BH |
= |
1 |
µ |
µH2 |
(11.11) |
|
|
||||||
магн |
2 2 |
о |
|
|
|||
где В – индукция магнитного поля, Н – напряженность магнитного поля,
µо – магнитная постоянная, µ - магнитная проницаемость среды.
Лекция 12. Основы теории Максвелла для электромагнитного поля
12.1 Некоторые дифференциальные соотношения
1. Градиент скалярной функции ϕ(x,y,z) определяется уравнением:
r ∂ϕ |
r |
∂ϕ |
r |
∂ϕ |
|
gradϕ = i |
∂x |
+ j |
∂y |
+ k |
(12.1) |
|
|
|
∂z |
||
94
Физический смысл gradϕ - это вектор, который дает направление самого крутого подъема функции ϕ (вода катится противоположно градиенту), (рис. 12.1).
2. Дивергенция векторной функции A(x, y,z) по определению равна:
r |
∂A |
|
+ |
∂Ay |
+ |
∂A |
|
divA = |
|
x |
|
z |
(12.2) |
||
|
|
∂y |
∂z |
||||
|
∂x |
|
|
||||
Физический смысл дивергенции - это скаляр равный
числу силовых линий векторного поля A, выходящих из единичного объема (элементарный поток), (рис. 12.2).
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
ФА |
|
|
|
|
divA = lim |
|
(12.3) |
||||||||
|
V |
|||||||||||
|
|
|
|
|
V→0 |
|
||||||
3. Ротор векторной функции A(x, y,z) определяется соотношением: |
|
|||||||||||
|
|
r |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
i |
j |
|
k |
|
|
|
|
|
||
r |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
|
|
|
|
|
|
rotA = |
|
|
|
|
|
|
(12.4) |
|||||
|
∂x |
∂y |
|
∂z |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
AX |
Ay |
AZ |
|
|
|
|
|
||||
Физический смысл ротора - это элементарная циркуляция -
вектор равный циркуляции вектора A по контуру единичной длины (направление ротора перпендикулярно плоскости контура),
(рис 12.3.).
r |
1 |
r |
r |
|
|
rotA = lim |
∫Adl |
|
(12.5) |
||
|
|
||||
L→0 L |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Теорема Гаусса записывается в виде: |
|
||||
|
|
r |
r |
r |
|
|
∫(AdS)= ∫divAdV |
(12.6) |
|||
|
S |
|
|
V |
|
Поток или число силовых линий, выходящих через поверхность S, равна сумме элементарных потоков (divA),
выходящих из объема V, (рис 12.4). |
|
|
5. Теорема Стокса |
|
|
r r |
r |
r |
∫(Adl)= ∫rotA ds |
||
L |
S |
|
|
(12.7) |
|
Вихрь (циркуляция) вектора A вдоль
контура L равна вихрю как сумме элементарных вихрей (divA) по всей плоскости S.
95
12.2 Вихревое электрическое поле
Пусть магнитное поле пронизывает контур L. При изменении магнитного потока ФВ через контур в проводнике появляется ЭДС (электрическое поле)
εинд = − dФВ
dt
Видим, что электрическое поле вызывается изменяющимся магнитным полем .
ε = ∫(r r)
Но инд Edl
L
и BdS следовательно:
Ф = ∫(r r )
B
S
r r |
r r |
|
|
∫(Edl )= − |
d |
∫(BdS) |
(12.8) |
dt |
|||
LS
Это 1-ое уравнение Максвелла в интегральной форме.
Преобразуя (12.8) по теореме Стокса и меняя очерёдность дифференцирования и интегрирования в правой части, получим:
|
r r |
|
|
|
∂ B |
r |
∫ |
(rotEdS)= − |
∫ |
|
|
||
|
∂ t |
|
||||
|
|
|
|
dS |
||
S |
|
|
S |
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
r |
∂ B |
|
|
|
|
|
rot E = − |
|
|
|
(12.9) |
|
|
|
∂t |
|
|
|
|
Это 1-ое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.
Физический смысл 1-го уравнения Максвелла в том, что изменяющееся со временем магнитное поле порождает электрическое поле (даже в вакууме, где нет проводников).
12.3 Ток смещения
Максвелл обобщил закон полного тока. Он, на основе опытных данных показал, что магнитное поле вызывается не только током, но и переменным электрическим полем.
Oн ввел понятие плотности тока смещения:
r |
= |
∂ D |
|
j |
(12.10) |
||
см |
|
∂t |
|
|
|
|
Ток смещения через произвольную поверхность S определяется интегралом:
|
|
|
|
∂ D |
|
|
∂ |
|
|
|
|
|
∫ |
r r |
∫ |
|
r |
|
∂t ∫ |
r |
r |
|
|
Iсм = |
(jсмdS)= |
∂t |
|
= |
(DdS) |
|
|||||
|
|
|
dS |
|
|
(12.11) |
|||||
S
Токи проводимости через обкладки не текут, но между обкладками меняется электрическое поле, следовательно, между обкладками “текут” токи смещения.
96
Ток проводимости вместе с токами смещения образуют замкнутую цепь тока.
Закон полного тока в общем случае (и для переменных полей) имеет вид:
rr
∫(Hdl )= I + Iсм
L
Подставляя вместо тока смещения Iсм его интегральное представление, получим
2-ое уравнение Максвелла в интегральной форме:
r r |
r r |
∂ |
r r |
|
|
∫(Hdl)= ∫(jdS)+ |
∫(DdS) |
(12.12) |
|||
∂t |
|||||
LS
где I = ∫(r r ) - ток проводимости;
jdS
S
∂ ∫(r r )
∂t
DdS - токи смещения.
Преобразуя (12.12) по теореме Стокса получаем:
∫(rotHdS)= ∫(jdS)+ |
∂ ∫(DdS) |
|
r r |
r r |
r r |
∂t
SS
отсюда следует 2-ое уравнение Максвелла в дифференциальной форме:
r r |
∂ D |
rotH = j+ |
(12.13) |
|
∂t |
Физический смысл 2-го уравнения Максвелла в том, что магнитное поле H
создается токами проводимости j и изменяющимся электрическим полем D.
12.4 Уравнения Максвелла
Кроме первых двух уравнений есть еще два уравнения Максвелла.
Теорема Остроградского-Гаусса для электрического поля:
r r |
|
∫(DdS)= qсвоб |
(12.14) |
S
но qсвоб = ∫ρ dV .
V
Отсюда получаем 3-е уравнение Максвелла в интегральной форме:
r r |
|
∫(DdS)= ∫ρ dV |
(12.15) |
SV
где ρ - объемная плотность свободных зарядов. Преобразуем (12.15) по теореме Гаусса:
r |
|
∫(divD dV)= ∫ρ dV |
|
V |
V |
и получаем 3-е уравнение Максвелла в дифференциальной форме: |
|
divD = ρ |
(12.16) |
Физический смысл 3-го уравнения Максвелла в том, что поток электрического вектора смещения обусловлен электрическими зарядами ρ.