Стерлядкин В.В. Физика ч
.2.pdf
|
77 |
6.10. Затруднения классической |
теории электропроводности |
металлов |
|
Ниже перечислены противоречия между классической электронной теорией Друде-Лоренца и данными экспериментов.
а) По теории Друде-Лоренца |
m V2 |
2 = 3 2kT, и мы получаем, что |
|
тепл |
|
|
|
|
1 |
|
2m Vтепл |
|
|
|
|||
Vтепл T , а удельное сопротивление ρ = |
= |
T , |
|||||||||
γ |
e2n |
o |
λ |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
В опытах же получается температурная зависимость сопротивления ρ Τ .
б) Электронный газ должен обладать молярной теплоёмкостью, CVe = 3
2R плюс теплоёмкость решётки, равная 3R , итого 9
2R , а в опытах теплоемкость - 3R.
в) Если рассчитать λ из формулы (6.11) для γ, то получится величина в 100 раз
превышающая период решётки, а по теории Друде-Лоренца λ примерно равна периоду решётки.
Все перечисленные противоречия обьясняет квантовая теория.
6.11. Правила Кирхгофа
Существует два правила Кирхгофа, которые используются для расчёта разветвлённых цепей. С помощью этих правил рассчитывают токи по заданным ЭДС и сопротивлениям участков цепи.
Первое правило Кирхгофа (правило узлов):
Алгебраическая сумма токов Ik , сходящихся в узле равна нулю. Знак токов подходящих к узлу принимают (+), а отходящих - (-), (рис. 6.9).
n |
|
∑Ik = 0 |
(6.13) |
k=1
Это правило очевидно, если представить ток в виде тока жидкости. Ясно, что сколько воды (зарядов) приходит к точке, столько же должно и уходить.
Второе правило Кирхгофа (правило контуров): В любом замкнутом контуре
алгебраическая сумма Iк Rк равна алгебраической сумме ЭДС εк.
Это является очевидным следствием закона Ома для замкнутого контура.
n |
n |
|
∑IкRк |
= ∑εк |
(6.14) |
к=1 |
к=1 |
|
Следует учитывать правила знаков. Если направление обхода контура совпадает с током, то величину IR берём со знаком (+), а если ток через данное сопротивление противоположен направлению обхода, то IR берём со знаком (-). ЭДС берём с (+), если при переходе через ЭДС потенциал увеличивается, и берём (-), если при переходе через ЭДС потенциал уменьшается.
78
Задача: Найти условие, при котором ток, текущий через гальванометр моста, рис.6.10, равен нулю.
Решение: Введём обозначения токов I1, I2…, текущих на различных участках схемы, рис. 6.10. Для узла 1 имеем: I1+IГ – I2=0, Поскольку по условию IГ =0, получаем, что I1 =I2.
Далее рассмотрим контур, состоящий из сопротивления R1, гальванометра и сопротивления R3. Для него получим по второму правилу Кирхгофа: I1R1+0 – I3R3=0. Откуда I1=I3R3/R1.=I2
Для контура, состоящего из R2, R4 и гальванометра
получим: I2R2 – I3R4=0, откуда вычисляем I2=I3R4/R2. Приравнивая I2, получим:
R3 |
= |
R |
4 |
или |
R |
R |
|
= R |
R |
|
|
|
|
2 |
4 |
||||||
R1 |
|
R |
|
|
3 |
|
1 |
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Данное условие называют условием баланса моста.
Лекция 8. Магнитное поле в вакууме
8.1.1 Закон Био – Савара - Лапласа
Опыт показывает, что наряду с электрическим полем существует и другое –
магнитное, которое создаётся токами или движущимися зарядами и действует на токи или движущиеся заряды.
Магнитное поле характеризуется векторной величиной, которую назвали
магнитной индукцией B. Био, Савар и Лаплас установили закон, по которому
малый участок тока протяженностью dl (вектор dl совпадает с направлением тока), создает в окружающем пространстве магнитное поле.
|
µ |
|
|
r |
|
r |
o |
|
I dl× r |
|
|
dB = |
|
|
|
(8.1) |
|
4π |
|
r3 |
|||
|
|
|
|||
(Закон Био – Савара – Лапласа)
где dB - магнитная индукция, создаваемая
элементом |
тока I dl |
в |
точке, удаленной на |
расстояние |
r . Константу |
µо |
называют магнитной |
постоянной:
µо=4π10-7 Гн/м Здесь Гн – генри, единица индуктивности катушки.
Направление магнитного поля задаётся векторным
r
произведением dl× r . Элемент тока создаёт вокруг себя поле, которое изображают линиями магнитной
индукции B. Для элемента тока dl они имеют вид концентрических окружностей. Касательные к линиям индукции задают направление поля B в точке касания.
|
|
79 |
|
|||
Величина |
магнитной |
индукции |
|
(модуль) описывается соотношением: |
||
|
|
dB = |
µо |
|
I dl sinα |
(8.2) |
|
|
4π |
|
r2 |
||
|
|
|
|
|
||
где α - угол между векторами dl и r . Зависимость поля dB от расстояния r
имеет вид: B Idl/r2, что аналогично формуле для электрического поля, создаваемого точечным зарядом E q/r2.
Ток образуется движущимися зарядами, поэтому заряд q,
перемещающийся со скоростью V эквивалентен току, и созданное им магнитное поле описывается формулой,
аналогичной (8.1): |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
µ |
|
|
|
|
|
|
r |
o |
|
q V× r |
|
|
|
|
B = |
|
|
|
|
(8.3) |
|
|
4π |
|
r3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|||
|
(поле, создаваемое движущимся зарядом) |
||||||
Для |
магнитного |
|
|
поля |
характерен |
принцип |
|
суперпозиции: Результирующее поле B равно векторной сумме полей, создаваемых каждым элементом тока по отдельности:
B = ∑Bi |
(8.4) |
Используя Закон Био – Савара – Лапласа, вычислим поля, создаваемые различными проводниками с током.
Рассмотрим поле, возникающее на расстоянии ro от отрезка прямого тока, рис. 8.3. Разобьём отрезок на малые элементы Idl. Поскольку в точке О каждый элемент тока создаёт поле, направленное от нас перпендикулярно плоскости листа, то результирующее поле в точке О будет являться скалярной суммой (интегралом) от полей dB, создаваемых каждым
элементом тока. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Учитывая, что r = ro |
sinα , l = roctgα, а приращение |
|||||||||||
|
dl |
|
= (r sin2α)dα, |
|
получим из |
(8.2) |
индукцию поля, |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
создаваемого в точке О малым током Idl: |
|
|
|
|||||||||
|
dB = µo |
Idl sinα |
= |
|
µoI rodα sinα |
= |
µoI |
sinα dα |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
4π |
r2 |
|
|
4π sin2α ro |
2 sin2α |
|
4πro |
||
Интегрируя поле dB вдоль всего отрезка тока в диапазоне углов α1…α2, получим:
B = |
∫ |
dB = |
µoI |
α2sinα dα = |
µoI |
(- cosα) |
|
α2 |
= |
µoI |
(cosα - cosα ) |
|||
|
||||||||||||||
4πr |
4πr |
4πr |
||||||||||||
|
|
∫ |
|
|
α |
|
|
1 |
2 |
|||||
|
|
|
o |
α1 |
o |
|
|
|
2 |
|
o |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Итак, индукция магнитного поля B, создаваемая отрезком прямого тока, описывается формулой:
|
|
|
|
80 |
|
B = |
µoI |
(cosα - cosα ) |
(8.5) |
||
4πr |
|||||
|
1 |
2 |
|
||
|
|
|
|||
где I - сила тока в отрезке, r - расстояние до точки, α1 и α2 - углы между векторами dl и r для краёв отрезка.
8.1.2 Найдём магнитное поле, создаваемое бесконечным прямым током
Такой ток можно получить из отрезка прямого тока, при увеличение длины отрезка до бесконечности в обе стороны.
При этом в формуле (8.5) α1 → 0, α2 → 180, и мы получим:
B = |
µoI |
[1− (−1)]= |
µoI |
(8.6) |
|
4πr |
4πr |
||||
|
|
|
|||
|
o |
|
o |
|
(поле бесконечного прямого тока)
где I - сила тока, r - расстояние от тока до рассматриваемой точки пространства.
8.1.3Найдём поле в центре кругового тока.
Всоответствии с Законом Био – Савара – Лапласа (8.1),
каждый элемент кругового тока dl создаёт в центре поле
dB, направленное перпендикулярно плоскости кольца по правилу буравчика.
dB = µo |
Idl sin90o |
= |
µoI |
dl |
|
R2 |
4π R2 |
||||
4π |
|
|
Т.к. все векторы dB одинаково направлены, то результирующее поле B можно
найти как скалярную сумму (интеграл). |
|
|
|
|
|
|||
|
µoI |
|
µoI |
|
µoI |
|||
B = ∫dB = |
|
|
∫dl |
= |
|
2πR = |
|
|
4πR2 |
4πR2 |
2πR |
||||||
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
где I – сила тока в колечке, R – его радиус. |
|
|
|
|
||||
Итак, в центре кругового тока результирующее поле имеет вид: |
||||||||
|
B = |
µoI |
|
|
|
(8.7) |
||
|
2πR |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
8.1.4 Формулу для поля на оси кругового тока, рис. 8.6, приведём без вывода.
B = |
µ |
IR2 |
= |
µ |
P |
|
o |
|
o |
m |
(8.8) |
||
2(R2 + r2 )3 2 |
2π(R2 + r2 )3 2 |
|||||
где I – сила тока в кольце, R – радиус кольца, r – расстояние от кольца до точки на оси. Pm = I πR2 = I S – называется магнитный момент кольца тока.
81
8.2Закон Ампера
Впредыдущем разделе мы выяснили, как создаётся магнитное поле. Рассмотрим теперь действие магнитного поля на токи и движущиеся заряды.
Ампер установил следующий закон, который носит его имя.
На любой элемент тока dl в магнитном поле
индукцией B действует сила dF , равная векторному произведению этих величин.
dF = Idl B |
(8.9) |
Если ток протекает по протяженному проводнику, то его разбивают на элементы тока и векторно складывают все силы.
Перейдём теперь к действию магнитного поля на движущиеся заряды. Поскольку ток есть движение зарядов, то из закона Ампера нетрудно получить силу, действующую на одинарный заряд.
Пусть S – площадь поперечного сечения участка тока длиной dl, тогда в его объёме dVоб=S dl содержится зарядов, где n – концентрация зарядов.
Ток I связан с плотностью тока соотношением I = j S, но j = q nV, где V – скорость упорядоченного движения зарядов q. Подставляя величину тока I = q nV S в формулу Ампера получим
dF = q n S dl V B. Здесь знак вектора поставлен над скоростью V , а не над dl, поскольку она задаёт направление тока. Для нахождения силы F, действующей на один заряд, необходимо всю силу dF поделить на число зарядов dN в элементе тока:
r |
dF |
|
qnSdl r r r r |
|
F = |
|
= |
|
V B = q V B |
|
|
|||
|
dN |
|
nSdl |
|
Итак, мы вывели формулу для силы, действующей на движущийся заряд в
магнитном поле, её обычно называют силой Лоренца: |
|
|
|
F = q V B |
(Сила Лорнца) |
|
(8.10) |
здесь q – величина заряда частицы, |
V - |
скорость |
|
частицы, B - индукция магнитного поля. |
|
|
|
На рис. 8.8 показано направление |
силы |
Лоренца, |
|
действующей на положительный заряд. При сравнении с рис. 8.7, видна эквивалентность силы Лоренца и силы Ампера. Если знак у заряда будет отрицательный, то
направление силы Лоренца изменится на противоположное.
82 |
|
|
Если заряд q влетает в однородное магнитное |
поле |
перпендикулярно |
линиям индукции B, то заряд начинает вращаться по окружности, рис. 8.9, при этом сила Лоренца является центростремительной силой.
8.3 Действие магнитного поля на рамку или колечко с током
Предположим, что в однородном магнитном поле с индукцией B находится прямоугольная рамка, по которой течёт ток I.
Найдём силы ампера F, действующие на каждый участок рамки одна сторона которой длиной b, а другая а. На участок 12 сила Ампера действует вниз, на участок 34 – вверх, а на участки 23 и 41 сила Ампера не действует вообще, т.к. для этих
участков направление тока I и вектора индукции B совпадают (sin 0o = 0) или противоположны (sin 180o = 0).
Результирующая сила, действующая на рамку, равна нулю, поскольку силы F направлены в противоположные стороны. Однако эти силы создают вращающий момент M относительно оси, проходящей через стороны а:
M = F a + F a = F a = I l B a = I S B = Pm B
22
где Pm = I S - магнитный момент рамки с током.
В общем случае, когда рамка или колечко с током ориентированы под произвольным углом, момент силы является векторным произведением:
83
M = Pm× B |
(8.11) |
Ориентация рамки, представленая на рисунке 8.8, соответствует максимальному вращающему моменту Mmax = Pm B sin90o = Pm B, при этом угол между Pm и
B равен 90о, а sin 90о = 1.
Таким образом, магнитное поле стремиться развернуть колечко с током так, чтобы магнитный момент Pm колечка был ориентирован вдоль поля B.
8.4 Работа по перемещению проводника или рамки с током в магнитном поле
На проводник длиной l , рис.8.9, в магнитном поле действует сила по закону Ампера:
F = I l B sin90o = I l B
Если под действием этой силы проводник сместится на расстояние dx, то будет совершена
работа:
dA = F dx = I B l dx = I B dS = I dФ
где dS – изменение площади контура, а
dФ = B dS
- изменение потока, пронизывающего контур.
Полученная формула справедлива не только для физически малого изменения потока, но и для конечного изменения:
dA = I dФ |
(8.12) |
A = I Ф = I(Ф2 − Ф1) |
(8.13) |
где Ф2 и Ф1 – потоки магнитной индукции через контур с током в конечный и начальный моменты времени, соответственно.
Важно отметить, что работа совершается не за счёт энергии магнитного поля, а за счёт энергии источника тока в контуре.
На данном принципе работают электрические двигатели.
Ток в рамке, рис.8.10, создаёт магнитный момент Pm , который разворачивается вдоль
вектора B.
В конечном положении, рис.8.10.б), магнитный поток:
Ф2 = B S cos 0o = B S
В начальном положении, рис.8.10.а), поток равен:
Ф1 = B S cos 90o = 0
Ток совершает работу:
A = I(Ф2 − Ф1 ) = I B S
84
Обычно в электродвигателе ток поочерёдно пропускают через несколько обмоток, повёрнутых друг относительно друга так, что момент силы M = Pm× B близок к максимальному. Этому положению соответствует положение обмотки на (рис. 8.10.а). В результате такого расположения обмоток двигатель в любой момент времени развивает момент силы близкий к максимальному.
8.5 Теорема о циркуляции и теорема Гаусса для магнитного поля
Циркуляцией магнитного поля B по контуру L называют
|
r r |
интеграл по замкнутому контуру: |
∫B dl |
|
L |
Найдём циркуляцию магнитного поля вокруг бесконечного тока:
rr
∫B dl = ∫B dl cos 0o = B∫dl = B 2πr
L L L
Учитывая, что B = µoI
2πr , получаем выражение для циркуляции:
rr
∫B dl = µoI
L
Можно показать, что данное уравнение справедливо и для контура L произвольной формы, независимо от того в какой момент ток пронизывает контур.
В силу принципа суперпозиции теорема о циркуляции (её также называют законом полного тока) справедлива для произвольного числа токов, пронизывающих плоскость контура:
r r |
= µo ∑Ik |
|
∫B dl |
(8.14) |
L |
k |
|
(теорема о циркуляции)
где суммирование проводится по всем токам I1,
I2…, охваченных контуром. При этом справедливо правило знаков: если направление обхода контура согласуется с направлением тока по правилу буравчика, то ток берём со знаком (+), противном случае со знаком (-). В частности, на рис.8.12, токи имеют знак (+I1 - I2 - I3).
Применим теорему о циркуляции для расчёта магнитного поля тороида, рис.8.13. (Тороид это бублик, на который намотан провод). Внутри тороида проведём воображаемый контур L2 с радиусом r2. Вследствие круговой симметрии, поле В во всех точках контура одинаково. Поэтому
r r
∫B dl =B∫dl = B 2πr2 = µoN I
L L
Отсюда получаем поле внутри тороида:
|
85 |
B = µo N I |
(8.15) |
2πr |
|
Для поля вне тороида (контуров L1 и L2) по теореме о циркуляции получаем:
rr
∫B dl =B∫dl = B 2πr1 = µo 0
L1 L1
Откуда следует, что поле В=0 вне тороида.
Найдём магнитное поле бесконечно длинного соленоида.
Этот случай можно получить из задачи о тороиде, полагая, что радиус тороида стремиться к бесконечности. Поэтому поле бесконечного соленоида равно:
µ |
n I |
- внутри соленоида |
B = o |
|
(8.16) |
0 |
|
- вне соленоида |
где n – плоскость намотки витков (число витков на единицу длины). |
||
8.6 Магнитный поток. Теорема Гаусса для магнитного поля
Элементарным потоком магнитного поля В через
площадку называется скалярное произведение: |
|
dФ = B dS = B dS cosα |
(8.17) |
Физический смысл потока – это число линий индукции , пронизывающих данную площадку.
Магнитный поток через произвольную поверхность вычисляется как интеграл от элементарных потоков через всю поверхность:
|
r r |
|
Ф = ∫dФ =∫B dS |
(8.18) |
|
S |
S |
|
Теорема Гаусса для магнитного поля:
Магнитный поток через произвольную замкнутую поверхность равен нулю.
r r |
|
∫B dS = 0 |
(8.19) |
S
Это связано с тем, что линии магнитного поля замкнуты, поэтому всегда число линий входящих внутрь замкнутой поверхности (поток со знаком минус) равно числу линий, выходящих из поверхности. (поток со знаком плюс).
86
Лекция 10 . Магнитное поле в веществе
В предыдущих лекциях мы рассматривали токи и магнитные поля в вакууме. Теперь рассмотрим магнитные поля в веществе.
10.1. Магнитные моменты атомов
Магнетики это вещества, способные приобретать магнитные свойства во внешнем магнитном поле.
Причина заключается в том, что движение электронов в атомах
эквивалентно замкнутым контурам с током . |
|
|
Орбитальный магнитный момент электрона: (рис. 10.1) |
|
|
Pm = I S = e ν S |
(10.1) |
|
где ν - число оборотов электрона на орбите за 1 секунду. |
|
|
Орбитальный магнитный момент атома вкладывается. |
|
|
r |
r |
|
Pm |
= ∑Pmi |
(10.2) |
|
i |
|
где i -- номера электронов в атоме.
Существует еще собственное вращение электрона – спин. Оно дает спиновой магнитный момент, который добавляется к орбитальному.
r |
r |
r |
Pm |
= ∑Pmi |
+ ∑Pmsi |
ii
Этот магнитный момент существует независимо от наличия магнитного поля.
В некоторых симметричных атомах орбитальные и спиновые моменты могут взаимно компенсироваться, давая нулевой суммарный магнитный момент атома
Pm = 0.
10.2. Намагниченность. Микро- и Макротоки
Введём понятие вектора намагниченности.
Вектор намагниченности J - отношение магнитного момента малого объема
V вещества к величине этого объема. |
|
|
|
|
r |
∑ |
r |
|
|
|
V |
|
|
|
J = |
1 |
|
P |
(10.3) |
|
|
|||
|
|
|
m |
|
V
где Pm - магнитные моменты атомов.
Физический смысл J - это магнитный момент единицы объема. Различают два типа токов, создающих магнитное поле:
Микротоки - токи, обусловленные движение электронов в атомах, молекулах. Макротоки - токи проводимости.
Важно отметить, что магнитное поле создается любыми токами, независимо от их природы .