5.3.2 Корневые критерии оценки качества

Данная группа критериев основана на оценке качества переходного процесса по значениям полюсов и нулей передаточной функции САУ.

Заметим, что при изучении устойчивости нас интересовали лишь полюсы, здесь же необходимо учитывать и нули. Только в частном случае, когда нулей нет, качество переходного процесса определяется только полюсами. Начнем рассмотрение именно такого случая.

Переходный процесс в устойчивой системе распадается на затухающие и колебательные составляющие. Если найти длительность самой длительной составляющей и величину колебательности самой колебательной составляющей, то по ним можно оценить верхние пределы величин длительности и колебательности всего переходного процесса.

Время затухания отдельной составляющей определяется величиной

,

где — вещественная часть-го корня характеристического уравнения,— постоянная времени затухания.

Можно считать, что длительность -й составляющей переходного процесса, то есть длительность составляющих переходного процесса обратно пропорциональна абсолютному значению действительной части корней характеристического уравнения.

Абсолютная величина называетсястепенью устойчивости и обозначается .

При этом время переходного процесса можно оценить неравенством

.

Т

Рис. 5.9 — Понятие степени устойчивости

и колебательности

ермин «степень устойчивости» связан с тем, что геометрически— это расстояние от мнимой оси, являющейся границей устойчивости, до ближай-шего корня (рис. 5.9).

Если — мнимая часть-го корня (рис. 5.9), то мерой колебательности считают отношение: чем оно больше, тем больше колебательность составляющей переходной характеристики.

Наиболее колебатель-ной является составля-ющая, у которой это отношение максимально. Соответствующая величина обозначаетсяи называетсястепенью колебательности. На комплексной плоскости корень, определяющий наибольшую колебательность, соответствует наибольшему значению угламежду лучом, направленным через корень из начала координат, и отрицательной вещественной полуосью (рис. 5.9).

Отметим также влияние на качество переходного процесса нулей передаточной функции. Положительные члены полинома числителя передаточной функции приведут к повышению колебательности и убыстрению переходного процесса, а отрицательные — к затягиванию переходного процесса.

5.3.3 Интегральные критерии качества

С помощью интегральных критериев качества можно одним числом оценить и величины отклонений, и время затухания переходного процесса. Для пояснения используем рис. 5.10.

О

Рис. 5.10 — Монотонная

переходная характеристика

бозначим отклонение выходной величины от нового установившегося значения

.

Для монотонного процесса интегральной оценкой может служить заштрихованная площадь над кривой переходного процесса (см. рис. 5.10), то есть

.

Интеграл называетсялинейной интегральной оценкой.

Однако такая оценка не годится для колебательного процесса, т.к. площади, расположенные ниже и выше прямой , будут иметь разные знаки. Поэтому по минимуму величинынаилучшим оказался бы процесс с незатухающими колебаниями. В связи с этим в общем случае принимаютквадратичную интегральную оценку качества в виде

.

Целесообразность применения интегральных критериев заключается в том, что в литературе [4—8] имеются формулы, выражающие (или другие интегральные оценки) непосредственно через коэффициенты дифференциального уравнения САУ.

Интегральные критерии качества используются для определения оптимальных значений варьируемых параметров по минимуму значения соответствующей интегральной оценки.