Методика в. Прогноз произведения двух параметров

Иногда прогнозируемый показатель представляет собой произведение двух величин Y = VW , где одна величина — качественная характеристика (производительность труда, фондоотдача и т. п.), вторая — объемная величина (количество отработанного времени, размер фондов и пр.). Показатель Y прогнозируется не непосредственно, а на основе прогнозов сомножителей. Если рассматривать сомножители как независимые величины (а в большинстве случаев это правомерно), то методика сводится к следующему.

1. Для каждого сомножителя находится интервальный прогноз: V₁, V₂; W₁,W₂. При этом доверительная вероятность принимается на уровне P. Причем

.

Иначе говоря, прогноз сомножителей должен быть сделан с большей доверительной вероятностью, чем прогноз итогового показателя (см. табл. 8.4; в ней же приводятся соответствующие значения ).

Таблица 8.4

ДВ(%)	60	70	75	80	90	95
р (%)	77,5	83,7	86,6	89,4	94,9	97,5
	0,112	0,082	0,067	0,053	0,026	0,013

2. Рассчитываются граничные значения прогнозного интервала как произведения V₁W₁, V₂W₂. С вероятностью ДВ можно утверждать, что реальное значение Y будет находиться в указанных пределах.

Можно применить и иной подход, взяв за базу средние распределений. Тогда последовательно находим: средние и дисперсии каждого распределения, произведение средних и дисперсию произведения. Последняя рассчитывается следующим образом⁴⁷:

, (8.15)

где D_j и M_j — дисперсия и средняя.

ПРИМЕР 4

Прогнозируется произведение двух случайных переменных, РВД которых показаны ниже в таблице. Доверительная вероятность принята на уровне 80%. Таким образом, Р = 100 = 89,4% . По табл. 8.4 находим = 0,053.

Применим первый из рассмотренных выше подходов. По формулам (8.6) и (8.9) определим значения х и границы прогнозных интервалов для каждого сомножителя.

	Распределение	а	b	L	x	А	B
V	T	3	5	2	0,33	3,33	4,67
W	P	10	14	4	0,21	10,21	13,79
Y						34,00	64,40

Как видим, прогнозный интервал 34 — 64,4 довольно широк. Однако он уже, чем произведение граничных значений РВД (30 — 70).

Для применения второго метода рассчитаем средние и дисперсии.

	Средняя	Дисперсия
V	4	0,167
W	12	1,333
Y	48	7,56

Для принятого уровня доверительной вероятности z = 1,28 (см. табл. 8.2). Границы прогнозного интервала составят:

А = 48 -1,28 x 7,56 = 38,32; B = 48 + 1,28 x 7,56 = 57,68.

Второй метод дает более узкий прогнозный интервал.

§ 8.3. Математическое приложение

Доказательство формулы (8.14)

Исходим из известного в математической статистике соотношения

D_x=E(x)² - [E(x)]², (1)

где D_x — дисперсия случайной переменной x;

Е(х) — математическое ожидание переменной x.

В силу (1) можно записать:

D_y = E(vw)² - [E(vw)]². (2)

Известно, что

E(vw) = E(v)E(w); E(vw)² = E(v)² E(w)².

В свою очередь,

E(v)² = D_v + [E(v)]²; E(w)² = D_w + [E(w)]².

Перепишем (2), использовав полученные выражения, и заменим математические ожидания переменных на соответствующие средние (M_v; M_w), после чего имеем:

.