Методика б. Прогноз суммы показателей

Рассматриваются два варианта постановки задачи, когда слагаемые — это независимые величины и когда они зависимы друг от друга⁴⁵.

Независимые слагаемые. Прогнозируемый показатель представляет собой сумму некоторых однородных величин. Слагаемые — независимые или слабо зависимые между собой показатели. Определение прогнозного интервала предполагает выполнение следующих последовательных шагов:

• установление РВД и определение видов распределений (напомним, что все они симметричные);

• расчет средних значений этих распределений и дисперсий;

• расчет общей средней (суммы частных средних) и дисперсии суммы;

• оценка границ интервального прогноза.

Формулы для расчета средних и дисперсий приведены в табл. 8.3 ⁴⁶.

Таблица 8.3

Распределение	Средняя	Дисперсия
N	a + L/2	(L/6)2
Т	a + L/2	L2/24
Тр	а + L/2	(L2 + l2)/24
Р	a + L/2	L2/12

Во всех приведенных в таблице формулах L = b - a .

Расчет суммы средних и дисперсии суммы производится следующим образом:

• сумма частных средних

; (8.10)

• дисперсия суммы

, (8.11)

где М_j, D_j — средние значения и дисперсии частных распределений;

• стандартная ошибка

. (8.12)

Интервал прогноза определяется как

, (8.13)

где z (нормированное отклонение) находится по табл. 8.2 или табл. 5 Приложения в зависимости от принятой ДВ.

ПРИМЕР 2

Эксперты установили следующие РВД и виды распределений для четырех слагаемых (в целях иллюстрации метода приняты различные виды распределений):

Слагаемое	а	b	L	Распределение
1	10	12	2	Т; М = 11
2	50	55	5	Тр; НВР = 52 - 53
3	8	13	5	Р
4	20	24	4	Т; М = 22
Сумма	88	104	—	—

Полученные по этим данным значения частных средних и дисперсий приведены в следующей таблице.

Слагаемое	Средняя	Дисперсия
1	11	22/24 = 0,177
2	52,5	(52 + 12)/24 = 1,08
3	10,5	52/12 = 2,08
4	22	42/24 = 0,677
Сумма	96	4,01

Пусть доверительная вероятность равна 75%, F(z) = 0,75. По табл. 8.2 находим z = 1,15; в свою очередь, получим = 2 .

Нижняя и верхняя границы прогнозного интервала равны:

A = 96 - 1,15 x 2 = 93,7; B = 96 + 1,15 x 2 = 98,3.

Как видим, интервал прогноза заметно уже, чем суммы граничных значений РВД слагаемых (88 — 104), но вероятность "попадания" в него также меньше (не 100, а 75%).

Сильная зависимость между слагаемыми. Теоретически обоснованное решение проблемы требует в этой ситуации измерения коэффициентов корреляции между попарно взятыми случайными переменными (в нашем случае — слагаемыми). Поскольку следует ожидать в основном положительной корреляции, то дисперсия увеличивается. Следовательно, увеличивается и интервал прогноза. Например, если в примере 2 полагать, что коэффициенты корреляции у всех пар слагаемых одинаковы и равны, допустим, 0,9 (сильная положительная корреляция), то стандартная ошибка увеличится почти в 2 раза и составит 3,91 вместо 2. Искомый интервал в этом случае равен 91,5—100,5. Однако в такого рода задачах вряд ли практически возможен расчет коэффициентов корреляции (хотя бы в связи с отсутствием необходимой информации), поэтому целесообразно поступить иным образом, избежав тем самым расчет упомянутых коэффициентов.

Для решения задачи определим граничные значения прогнозных интервалов для каждого слагаемого, применив методику А. Обозначим эти величины как A_j и B_j. Искомые граничные значения для суммы составят:

.

Слагаемые этих сумм рассчитаем с учетом того, что вероятности реализации прогноза для каждого слагаемого должны быть больше доверительной вероятности для суммы в целом. ДВ для суммы составит

.

Для отдельного слагаемого ДВ определяется как

. (8.14)

ПРИМЕР 3

Используем данные примера 2 и найдем интервальный прогноз для суммы теперь уже зависимых слагаемых при условии, что коэффициенты корреляции неизвестны. Примем, что ДВ для суммы равна 75%. Соответственно для отдельного слагаемого

ДВ_j = = 0,93 . По формуле (8.1) находим = 0,035. Результаты расчетов величинx, v_j и w_j представлены в следующей таблице.

Слагаемое	Распределение	а	b	L(I)	Формула	x	Aj	Bj
1	Т	10	12	2	(8.6)	0,26	10,26	11,74
2	Тр	50	55	5(1)	(8.8)	1,01	51,01	53,99
3	Р	8	13	5	(8.9)	0,18	8,18	12,82
4	Т	20	24	4	(8.6)	0,53	20,53	23,47
Сумма		88	104	—	—	—	89,98	102,02