Тема 6. Ряды динамики

Задача 6.1.

Данные о площадях под картофелем до и после изменения границ района, тысяч гектаров:

Сомкнуть ряд, выразив площадь под картофелем в условиях изменения границ района.

Решение.

Разница за счет изменения границ района составила = 208 −112 = 96 тыс. га. Отсюда сомкнем ряд, выразив площадь под картофелем в условиях изменения границ района (табл. 1).

Таблица 1

Задача 6.2.

Имеется информация об экспорте продукции из региона за ряд лет.

128

Определить: 1) цепные и базисные: а) абсолютные приросты; б) темпы роста; в) темпы прироста; 2) абсолютное содержание одного процента прироста; 3) средние показатели: а) средний уровень ряда; б) среднегодовой абсолютный прирост; в) среднегодовой темп роста; г) среднегодовой темп прироста.

Решение.

Определим показатели динамики, характеризующие изменение экспорта продукции из региона. Формулы для расчета следующие.

Абсолютный прирост по месяцам и к базисному месяцу (январю), соответственно, равен

i = xi − xi−1 , бi = xi − x0 .

Темп роста по месяцам и к базисному году, соответственно, равен

Темп прироста по месяцам и к базисному месяцу, соответственно, равен:

Абсолютное значение 1% прироста равно

%i = 0,01 xi−1 .

Результаты приведены в таблице 1.

Среднегодовой объем экспорта продукции из региона определяется по формуле среднего арифметического

Среднегодовой темп роста ряда динамики определяется по формуле среднего геометрического

129

Среднегодовой темп прироста ряда динамики равен:

T ПР = T P −100 =114,9 −100 =14,9% .

Среднегодовой абсолютный прирост определяется по формуле:

Задача № 6.3.

Численность населения России характеризуется следующими данными:

Для анализа численности населения России за 2002-2007 гг. определите:

1.Абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году. Полученные показатели представьте в таблице.

2.Среднегодовую численность населения России.

3.Среднегодовой темп роста и прироста численности населения России за 2002-2007 гг. и

за 1997-2002 гг.

Постройте график динамики численности населения России. Сделайте выводы.

Решение.

Определим абсолютные приросты, темпы роста и темпы прироста по годам и к 2002 году. Формулы для расчета показателей ряда динамики следующие.

Абсолютный прирост по годам (цепной) и к базисному году, соответственно, равен

i = xi − xi−1 , бi = xi − x0 .

Темп роста по годам и к базисному году, соответственно, равен

Темп прироста по годам и к базисному году, соответственно, равен

130

Годы

Выводы.

Численность населения России в 1997-2002 гг. практически не менялась, а с 2002 года стала уменьшаться в среднем на 0,4% в год.

Задача 6.4.

Имеется информация о списочном составе работников малого предприятия за октябрь месяц. На 1 сентября – 40 человек, 5 сентября уволилось 8 человек, 12 сентября принято 5 человек, 20 сентября уволилось 2 человека, 25 сентября принято 10 человек. Определить среднесписочный состав работников за сентябрь месяц.

Решение.

С 1-го по 4-е сентября (4 дня) работало 40 человек. С 5-го по 11-е сентября (7 дней) работало 32 человек. С 12-го по 19-е сентября (8 дней) работало 37 человек. С 20-го по 24-е сентября (5 дней) работало 35 человек. С 25-го по 30-е сентября (6 дней) работало 45 человек.

Отсюда среднесписочный состав работников за сентябрь месяц равен

Задача 6.5.

132

Прирост численности постоянного населения по годам в области характеризуется следующими данными:

Определите:

1.Базисные темпы роста и прироста численности постоянного населения;

2.Среднегодовой темп роста и прироста;

3.Спрогнозируйте базисные темпы изменения численности постоянного населения на 2007 г, 2008 г, при условии сохранения среднегодового темпа снижения на уровне предыдущего периода.

Сделайте выводы.

Решение.

Абсолютный прирост по годам (цепной) и к базисному году, соответственно, равен

i = xi − xi−1 , бi = xi − x0 .

Темп роста по годам и к базисному году, соответственно, равен

Среднегодовой темп роста определяется по формуле среднего геометрического:

133

Среднегодовой темп прироста равен

TПР = TР −1 = 0,985 −1 = −0,015 , или -1,5%.

Спрогнозируем базисные темпы изменения численности постоянного населения на 2007 г, 2008 г, при условии сохранения среднегодового темпа снижения на уровне предыдущего периода.

В 2007 г и 2008 г. численность постоянного населения уменьшится по сравнению с предыдущим годом на 1,5%.

Задача 6.6.

По приведенным данным осуществить пересчет ВВП за ряд лет в постоянные цены 1995 года. Использовать любой из существующих методов. Рассчитать показатели динамики. Сделать выводы.

Решение.

Пересчитаем ВВП в постоянные цены 1995 года. Результат приведем в таблице.

Формулы для расчета показателей ряда динамики следующие.

Абсолютный прирост по годам (цепной) и к базисному году, соответственно, равен:

i = xi − xi−1 , бi = xi − x0 .

Темп роста по годам и к базисному году, соответственно, равен:

Темп прироста по годам и к базисному году, соответственно, равен:

134

Выводы. ВВП в постоянных ценах вырос за 4 года на 121,59 усл. ед., или на 140,8%.

Задача 6.7.

Имеют данные о производстве изделия "А", за период с 1996-2000 г.

Рассчитать:

1.Показатели динамики цепным и базисным способами:

-абсолютный прирост;

-темп роста;

-темп прироста.

2.Среднегодовые показатели:

-среднегодовой выпуск продукции;

-средний абсолютный прирост;

-среднегодовой темп роста;

-среднегодовой темп прироста.

3.Графически изобразить динамику выпуска продукции. Сделать выводы.

Решение.

1. Формулы для расчета показателей ряда динамики следующие.

Абсолютный прирост по годам (цепной) и к базисному году, соответственно, равен:

i = xi − xi−1 , бi = xi − x0 .

Темп роста по годам и к базисному году, соответственно, равен:

Темп прироста по годам и к базисному году, соответственно, равен:

135

1.Динамика выпуска продукции в целом положительная (за исключением 1998 года).

2.Выпуск продукции за пять лет вырос на 45%.

Задача 6.8.

Имеются следующие данные об отправлении грузов железнодорожным транспортом в регионе за 2002 год, млн. т.:

По приведенным данным рассчитайте показатели изменения уровней ряда динамики (по цепной и базисной схемам) и средние показатели ряда динамики.

137

Для изучения тенденции изменения показателей произвести сглаживание ряда динамики тремя способами. Изобразить графически фактические и сглаженные уровни ряда. Сделать выводы о характере общей тенденции показателей.

Решение.

Абсолютные приросты равны:

где yi – уровень i–го месяца, y0 – уровень января. Темпы роста равны:

- базисные T б = yi 100% ,

pi y0

y

- цепные Tpi = y i 100%.

i−1

Темпы прироста равны:

-базисные Tnpiб =Tpiб −100%,

-цепные Tnpi = Tpi −100%.

Данные расчета приведены в следующей таблице (табл. 1).

Среднемесячная отправка груза определяется по формуле среднего арифметического:

138

y = ∑nyi = 106212 = 88,5 млн. т.

Среднегодовой абсолютный прирост равен

= y12n −−1y1 = 8811−92 = −0,363 млн. т.

Среднегодовой темп роста ряда динамики определяется как среднее геометрическое:

TР = n−1 y12 = 11 88 = 0,996 , или 99,6%. y1 92

Среднегодовой темп прироста ряда динамики равен

Tnp = Tp −100 = 99,6 −100 = −0,4%.

Темпы роста товарооборота изображены на рисунке, из которого видно, что рост потребления овощей и бахчевых в год на душу населения Российской Федерации в 1995 – 1999 годах отсутствует.

Сгладим исходные данные методом укрупнения интервалов. В качестве нового интервала возьмет квартал (3 месяца). Показатели сглаженного ряда динамики находим усреднением значений по трем месяцам, входящим в квартал. Имеем следующий ряд динамики, приведенный в табл. 2.

Сгладим исходные данные методом усреднения по левой и правой половине. Средние значение показателя в первом и во втором полугодиях соответственно равны:

139

По всем методам сглаживания видна тенденция незначительного убывания показателей ряда динамики. Однако, это может быть и результат наличия сезонности. Поэтому для более достоверного вывода требуется провести анализ не за один год, а за несколько лет.

Задача 6.9.

Данные о численности безработных в стране на конец года:

140

Определите:

1)Вид динамического ряда;

2)Средний уровень динамического ряда;

3)Абсолютные приросты, темпы роста и прироста (цепные и базисные); абсолютное содержание 1% прироста;

4)Средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста уровней динпмического ряда;

Результаты расчетов представьте в таблице. Изобразите динамический ряд на графике. Сделайте выводы.

Решение.

1)Имеем интервальный динамический ряд, т.к. данные приведены за каждый год.

2)Средний уровень динамического ряда равен

141

Средний темп роста ряда динамики определяется как среднее геометрическое:

Средний темп прироста ряда динамики равен

Tnp = Tp −100 =107,2 −100 = 7,2%.

Динамический ряд приведен на рисунке. На графике отчетливо видна тенденция роста уровня безработицы.

Годы

Задача 6.10.

Продажа картофеля на рынке города за три года составила (т):

142

Измерьте сезонные колебания продажи картофеля по месяцам методом простой средней. Изобразите сезонную волну графически. Сделайте выводы.

Решение.

Индекс сезонности определяется как отношение среднемесячного значения показателя к общему среднему значению. Результаты расчетов для продаж картофеля на рынке города за три года приведены в таблице и на рисунке.

Выводы. Продажа картофеля на рынке города за три года носит ярко выраженный сезонный характер. Максимальное производство наблюдается осенью – максимум в сентябре равен 3,93, что вызвано продажей нового урожая. Незначительный всплеск наблюдается в мае из-за продажи картофеля на семена Минимальные продажи – с января по апрель и с июня по июль.

143

Годы: 1956 – 1985. Категории населения: для модели 1 – «Все население»; для модели 2

– «Сельское население». Данные – в тыс. чел. Необходимо:

1.Вычислить для категории «Все население» абсолютные цепные приросты численности населения.

2.Вычислитьсреднегодовуючисленностьнаселенияобласти.

3.Для каждой указанной в варианте категории населения провести аналитическое выравнивание временного ряда: а) построить линейную модель временного ряда; б) провести

ееоценку по критерию Фишера; в) рассчитать коэффициент детерминации; г) построить график динамики исходных и предсказанных значений показателя.

4.Ответить на вопрос, для какого показателя – «все население» или «сельское» – линейная модель подходит в большей степени. Ответ обосновать.

Таблица 1. Численность населения Томской области по годам.

144

Решение.

Абсолютные цепные приросты ряда динамики определяем по формуле yk = yk +1 − yk ,

где k – год, yk – значение показателя на начало k-го года. Результаты расчета приведены в табл. 2.

Таблица 2. Абсолютные цепные приросты населения Томской области по годам.

Среднегодовую численность населения найдем по формуле средней хронологической

Построим линейную модель временного ряда в виде парной линейной регрессии.

145

Рассмотрим вначале все население. Уравнение парной линейной регрессии – зависимость условной средней численности населения от года имеет вид

y(t) = yˆ = b0 +b1t ,

где t – год.

Коэффициенты уравнения регрессии вычисляются по формулам:

Подставив в эти формулы исходные данные (ti , yi ), i =1,30 , получим:

Отсюда b1 = 6,740 , b0 = −12469,44 .

Таким образом, линейная модель временного ряда численности всего населения имеет вид: yˆ = −12469,44 +6,740t .

Коэффициент корреляции между двумя переменными T и Y вычисляется по формуле:

Подставив исходные данные в эту формулу, получим: ryt = 0,943 .

Для парной линейной регрессии он равен квадрату коэффициента корреляции

Ryt2 = ryt2 = 0,9432 = 0,889 .

Определим расчетное значение F-статистики через коэффициент детерминации,

Уравнение регрессии статистически значимо с надежностью более 99%.

146

Построим график динамики исходных и предсказанных значений показателя – всего населения. Он приведен на рис. 1.

График динамики всего населения