7. Додавання коливань, биття, фігури Лісажу.

Додамо гармонічні коливання однакового напрямуі однакової частоти:

,.

Для цього зобразимо гармонічне коливання графічно методом обертового вектора амплітуди або методом вектороної діаграми.

З точки 0, вибрані на вісі Х, під кутами (початкова фаза першого коливання) і(початкова фаза другого коливання) відкладаємо модуль амплітуді(Рис.1).

При обертанні векторів амплітуд навколо точки 0 з кутовою швидкістю , проекції векторів будуть переміщуватись по вісі Х в межах числових значень амплітуд, змінюючись згідно з гармонічним законом.

Очевидно, що рівняння результуючого коливання буде рівнянн гармонічного коливання тієї ж частоти і того ж напрямку.

- теорема косинусів

Відповідно малюнку

;.

В результаті додавання одержуємо коливання з періодично змінюваного (пульсуючого) амплітудою – биття (рис.2).

Нехай і;.

Тоді ;;

Знайдемо рівняння результуючого коливання аналітичним методом:

Результуюче коливання майже гармонічне з частотою і повільно гармонічне з частотою, що змінюється:

.Пунктирна лінія на рис.2 графічно це зображує. Суцільна лінія – графік результуючого коливання.

Частота змінювання модуля косинуса - частота биття, або. Період биття.

ДОДАВАННЯ ВЗАЄМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНИХ КОЛИВАНЬ

Розглянемо випадок, коли коливальна система бере участь в 2-х взаємно перпендикулярних коливанняхз (промінь осцилографа при подачі гармонічної напруги на вертикальні і горизонтальні платівки).

Нехай ;;.

Рівняння траекторії результуючого коливання знаходиться шляхом виключення параметра t.

Розглянемо випадки:

1) , тоді рівняння набуває вигляд

, якщо А=В, то

2)

3)

4) , то результуюче коливання відбувається по складній траекторії, форма якої залежить від різниці фаз і співвідношення частот.

Якщо провести дотичні до траекторії, паралельні вісям, то відношення чисел дотиків обернено пропорційне частотам коливань, що додаються.

Методом фігур Ліссажувизначають невідому частоту.

де A,B — амплітуди коливань,a,b — частоти,δ — зсув фаз.

Вигляд кривої сильно залежить від співвідношення a/b. Коли співвідношення дорівнює 1, фігура Ліссажу має вигляд еліпсу, за певних умов вона має вигляд кола (A = B, δ = π/2радіан) ілінії(δ = 0). Інший приклад фігури Ліссажу — парабола(a/b = 2, δ = π/2). Інші співвідношення продукують більш складні фігури, які є замкненими за умови a/b — раціональне число. Припускається, що візуальна форма цих кривих є часто тривимірнимвузлом, і насправді, проекції на площину багатьох вузлів, включаючивузли Ліссажу, є фігурами Ліссажу. Фігури Ліссажу, деa = 1, b = N (N — натуральне число) ієполіномами Чебишевапершого роду степеняN.

8.Струм через активний опір, ємність, індуктивність.

Активний опір - частина повного опору електричного кола змінному струмові, яка поглинає електричну енергію і визначається вживаною потужністю P та струмом I в колі за формулою R= P/I².

(далі за конспектом)

-через активний опір

Активний опір виникає в колі змінного струму і зумовлений безладним рухом вільних носіїв заряду.

U=I*R; a=F/m; v= a*t;

U_mcosωt

ε ₀cosωt

Алгебраїчна сума миттєвих ЕРС дорівнює миттєвим значенню спадів напруг.

I*R= ε₀cosωt - I_mcosωt; I= ε ₀/R cosωt.

-через індуктивність

ε ₀cosωt –L *di/dt=0; ε ₀cosωt= L*di/dt; di= ε ₀/L *cosωtdt;

i= ε ₀/ωL *sinωt+ C; i= ε ₀/ωL *cos(ωt-π/2); I_m= ε ₀/X_L; U=i X_L; X_L=ωL.

-крізь ємність

U_c=q/C; i= dq/dt*i; q/C= ε ₀cosωt; i= dq/dt= - ε ₀ω*C*sinωt; i= ε ₀ω*C*cos(ωt+ π/2); X_C= 1/ ωC.

Струм, що тече в колі змінного струму (реальному, або RLC-контурі)

(за конспектом лекцій)

L*di/dt + q/C+ iR= ε₀cosωt

U_L=I_mX_L=I_mωL

U_R=I_mR

U_C=I_mX_C=I_m*1/ωC

U_L-U_C=I_m(X_L-X_C)