- •Кафедра высшей математики
- •Оглавление
- •Введение
- •Методические указания по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
- •Справочный материал к контрольной работе по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
- •2. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование методом подведения под знак дифференциала части подинтегральной функции
- •3. Интегрирование по частям
- •4. Интегрирование рациональных дробей
- •5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций
- •6. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница
- •7. Несобственные интегралы первого и второго рода
- •10. Вычисление объема тела вращения
- •11. Вычисление длины дуги плоской кривой
- •Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
- •Варианты контрольной работы №5 по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
- •Рекомендуемая литература
10. Вычисление объема тела вращения
Пусть криволинейная трапеция, ограниченная прямыми x = a, x= b,
y = 0 и непрерывной кривой y = f(x), где для, вращается вокруг осиОX. Объем полученного при этом тела вращения (рис. 4) вычисляется по формуле:
. (14)
Если криволинейная трапеция ограничена линиями x = a, x= b,
y1 = f1(x) и y2 = f2(x) где для, то объем полученного при ее вращении вокругОX тела (рис. 5) можно вычислить по формуле:
. (15)
11. Вычисление длины дуги плоской кривой
Пусть плоская кривая АВ задана уравнением y = f(x), где . Если функцияf′(x) и ее производная f·′(x) непрерывны на промежутке [a; b], то длина кривой АВ вычисляется по формуле:
. (16)
Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы по теме «Интегральное исчисление функции одной переменной»
Задача 1. Найти неопределенные интегралы:
, ,,.
В примерах правильность полученных результатов проверить дифференцированием.
Задача 2. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость:
а), б) .
Задача 3.
а) Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной в ДСК линиями l1: и l2: . Сделать чертеж.
б) Вычислить с помощью определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной в ПСК линией l: . Сделать чертеж.
Задача 4. Вычислить с помощью определенного интеграла объем тела, полученного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями
l1: и l2: y = 6x. Сделать чертеж.
Задача 5. Вычислить с помощью определенного интеграла длину дуги кривой, заданной в ДСК уравнением , где . Сделать чертеж.
Решение задачи 1.
а) Так как , то используя формулу (3), получим:
.
Проверим результат дифференцированием:
следовательно, выполнено условие (1).
Ответ: .
б) Интеграл относится к типу интегралов, берущихся по частям; это интеграл так называемого второго типа. Используя формулу (4), получим:
.
Проверим результат дифференцированием:
.
Ответ: .
в) Подинтегральная функция является правильной рациональной дробью, поэтому ее можно представить в виде суммы простейших дробей:
, отсюда
, или .
Неопределенные коэффициенты А, В, С найдем, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях тождества:
Коэффициенты А, В, С можно найти другим способом – подставляя в тождество «удобные» значения х (метод отдельных значений):
Из первого уравнения получим: . Почленно вычитая два последних равенства, получим:, и из последнего уравнения
.
Таким образом,
Переходим к интегрированию:
.
Здесь использовано: ,
.
Проверим результат дифференцированием:
.
Ответ: .
г) Применим универсальную тригонометрическую подстановку:
.
Возвращаясь к переменной х, получаем:
.
Ответ: .
Решение задачи 2.
а) Данный интеграл является несобственным интегралом первого рода, поэтому
,
следовательно, интеграл сходится и равен .
Здесь использовано:.
Ответ: .
б) Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, поэтому
,
следовательно, интеграл сходится и равен .
Ответ: .
Решение задачи 3.
а) Найдем точки пересечения кривых, для чего составим и решим систему . Приравнивая правые части, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения: x = –1, x = 3.
Построим чертеж (рис. 6). На рисунке видно, чтона промежутке [–1; 3].
Таким образом, используя формулу (12), вычислим площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:
.
Ответ: единиц площади.
б) Для построения кривой в ПСК составим таблицу значений функции на промежутке .
0 |
π/4 |
2π/4 |
3π/4 |
π |
5π/4 |
6π/4 |
7π/4 |
2π | |
13 |
12,7 |
12 |
11,3 |
11 |
11,3 |
12 |
12,7 |
13 |
Построим чертеж в ПСК (рис. 7).
Так как фигура ограничена кривой,
заданной в полярной системе координат, то
площадь фигуры, ограниченной заданной линией, вычислим по формуле (13):
.
Для получаем:
.
Ответ: единицы площади.
Решение задачи 4.
Для построения фигуры Ф, ограниченной кривыми l1 и l2 нужно найти точки их пересечения, т.е. решить систему: . Приравнивая правые части равенств, получаем уравнение , решив которое, найдем абсциссы точек пересечения кривых: .
Объем тела вращения, полученного вращением фигуры Ф вокруг оси OX (рис. 8) можно найти как разность объемов двух тел по формуле (15):
.
Ответ: единиц объема.
Решение задачи 5.
Кривая задана уравнением где , поэтому ее длина вычисляется по формуле (16): .
Для получаем: ,
тогда длина дуги кривой
.
Ответ: единиц длины.