3. Интегрирование по частям

Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:

. (4)

Обычно за выбирают такое выражение, интегрирование которого не вызывало бы трудностей, а за u – функцию, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.

Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:

1) ;;;

– здесь за u принимают многочлен ,за – оставшееся выражение,тоесть, например .

2) ;;

– здесь за u принимают обратную функцию, например, arcsinbx,за – оставшееся выражение,тоесть .

4. Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называют отношение двух многочленов и , т.е. =. Для интегрирования рациональной дроби необходимо предварительно разложить , т.е. представить ее в виде суммы элементарных дробей видов:

,

где k, r – целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней. Если дробьнеправильная (), то необходимо предварительно выделить целую часть дроби.

5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Для нахождения интегралов видов ииспользуют тригонометрические формулы:

(5)

Для нахождения интегралов вида , гдеR – рациональная функция (не содержащая sinх и cosx под знаком корней), используют универсальную подстановку: , которая сводит к интегралу от рациональной функции, т.к.

и (6)

6. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница

Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:

, (7)

если инепрерывна на.

Пример 4. Вычислить определенный интеграл.

Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу Ньютона–Лейбница, получаем:

=.

Ответ: .

7. Несобственные интегралы первого и второго рода

Интеграл

(8)

называется несобственным интегралом первого рода.

Интеграл

, (9)

где a – точка бесконечного разрыва функции называетсянесобственным интегралом второго рода.

Если b – точка бесконечного разрыва функции , то

, (10)

– тоже несобственный интеграл второго рода.

Несобственный интеграл называется сходящимся, если существует конечный предел в правой части равенства. Если же предел не существует или равен бесконечности, то интеграл называется расходящимся.

Пример 5. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл первого рода, поэтому

Следовательно, интеграл сходится и равен .

Ответ: интеграл сходится и равен .

Пример 6. Исследовать на сходимость интеграл .

Решение. Это несобственный интеграл второго рода, так как х = 1 – точка разрыва второго рода подинтегральной функции, поэтому

,

следовательно, интеграл расходится.

Ответ: интеграл расходится.

8. Вычисление площади в декартовой системе координат (ДСК)

Криволинейной трапецией в ДСК называется фигура, ограниченная прямыми x = a, x= b, y = 0 и кривой y = f(x), где для(рис. 1).

Формула для вычисления площади криволинейной трапеции:

. (11)

Если фигураФ ограничена в ДСК линиями x = a, x= b, y = f₁(x) и

y = f₂(x) где для(рис. 2), то площадьФ можно вычислить по формуле:

. (12)

9. Вычисление площади в полярной системе координат (ПСК)

Криволинейным сектором в ПСК называется фигура, ограниченная лучами и кривой, где(рис. 3).

Формула для вычисления площади криволинейного сектора:

. (13)