Глава 3. Аналитическая статистика
3.1. Вариационный анализ
Основные вопросы:
3.1.1. Виды показателей вариации.
3.1.2. Виды дисперсий. Правило сложения дисперсий.
3.1.3. Коэффициенты детерминации. Дисперсия альтернативного признака.
3.1.1 Виды показателей вариации
К абсолютным показателям вариации относятся: размах вариации, средние величины (степенные и структурные), среднее линейное отклонение, дисперсии (групповая, межгрупповая и общая) и среднее квадратическое отклонение. К относительным показателям вариации относятся: коэффициент вариации, коэффициент осцилляции, коэффициенты детерминации (эмпирические и теоретические).
Для измерения степени варьирования признака служат показатели вариации, формулы расчета которых представлены в табл.3.1.
Таблица 3.1.
Формулы расчета показателей вариации
|
№ |
Наименование |
Формула расчета | |
|
Простая |
Взвешенная | ||
|
1 |
Размах вариации, R |
R = X max – X min |
R = X max – X min |
|
2 |
Среднее
линейное отклонение,
|
|
|
|
3 |
Дисперсия (средний квадрат отклонений), σ² |
σ²={∑(
Х –
|
σ²={∑(
Х –
|
|
4 |
Среднее квадратическое отклонение, σ |
σ
= √ (∑( X
–
|
σ
= √ ∑( X
–
|
|
5 |
Коэффициент вариации, V |
V
= σ* 100% :
|
V
= σ* 100% :
|
={∑(X
–
)}
:
n
={∑(X
–
)f}
:∑f
)²}
:
n
)²
f}
:∑f
)²
:
n
)²
f
:∑f
Размах вариации R = Xmax – X min (3.1.)
Это разность между наибольшим и наименьшим значениями варьирующего признака, наиболее простой показатель, Он улавливает только крайние отклонения от средней. Недостаток этого показателя является то, что он не учитывает вариацию внутри признака.
Пример. Имеются следующие данные о производительности труда рабочих в двух бригадах, представленные в табл.3.2.
Таблица 3.2.
Производительность труда двух бригад
-
Табельный
№ рабочего
Произведено продукции за смену, шт.
1 бригада
2 бригада
1
2
8
2
3
9
3
12
10
4
15
11
5
18
12
Итого
50
50
Средняя
производительность труда в обеих
бригадах одинакова
1
=
2
= 50 : 5 = 10 шт.
Размах производительности труда для первой бригады составит: R1 = 18 - 2 = 16; для второй бригады: R2 = 12 - 8 = 4. В первой бригаде вариация производительности труда значительно больше, чем во второй, т.е. первая бригада по своему составу в отношении изучаемого признака менее однородна, чем вторая.
Среднее линейное (арифметическое) отклонение используется для сравнения всех имеющихся значений со средней величиной.
Простая-
=∑(X–
):n
и взвешенная -
=∑(X–
)f:∑f
(3.2)
Недостаток среднего линейного отклонения - не учитывает знаки отклонений, т.к. значения отклонений берутся по абсолютной величине. Сумма отклонений всех значений признака от средней арифметической будет равна нулю.
Пример. Используя данные табл.3.2, рассчитать простые линейные отклонения производительности труда двух бригад. Данные расчета представлены в табл.3.3.
Таблица 3.3.
Вспомогательная таблица для расчета линейных отклонений
|
Табельный № рабочего |
1 бригада |
2 бригада | ||||
|
Х1 |
Х1- |
|
Х1- |
Х2 |
Х2- |
|
Х2- | |
|
1 |
2 |
-8 |
8 |
8 |
-2 |
2 |
|
2 |
3 |
-7 |
7 |
9 |
-1 |
1 |
|
3 |
12 |
+2 |
2 |
10 |
0 |
0 |
|
4 |
15 |
+5 |
5 |
11 |
+1 |
1 |
|
5 |
18 |
+8 |
8 |
12 |
+2 |
2 |
|
Итого |
50 |
0 |
30 |
50 |
0 |
6 |
|
|
1
= (∑|х1
–
|):n
= 30 : 5 = 6
2
= (∑|х2
–
|):n
= 6 : 5 = 1,2
Пример. Имеются данные о производительности труда 50 рабочих, отклонения каждого значения признака от средней и взвешенные отклонения, представленные в табл. 3.4.
Таблица 3.4.
Данные для определения взвешенного линейного отклонения
|
Произведено продукции 1 рабочим за смену шт. (х) |
Число рабочих (f) |
х f |
Х- |
|
Х- |
|
8 |
7 |
56 |
-2 |
14 |
|
9 |
10 |
90 |
-1 |
10 |
|
10 |
15 |
150 |
0 |
0 |
|
11 |
12 |
132 |
1 |
12 |
|
12 |
6 |
72 |
2 |
12 |
|
Итого |
50 |
500 |
|
48 |
|
f
Средняя
производительность 1 раб.
=∑х f : ∑f = 500:50=10 шт.
Среднее
линейное отклонение
= ∑|х -
|
f : ∑ f = 48:50=0,96 шт. Данная величина дает
более полное представление о степени
колеблемости признака по сравнению с
размахом вариации.
Среднее квадратическое отклонение является абсолютной мерой вариации, выражается в единицах измерения.
Простая-σ=√(∑(X–
)²):n
и взвешенная-σ=√∑(X–
)²f):∑f
(3.3)
В табл. 3.5. приведены два примера расчета среднего квадратического отклонения.
Таблица 3.5.
Примеры расчета среднеквадратического отклонения
|
Пример 1 |
Пример 2 | ||||||||
|
Х1 |
f |
Х1- |
(Х1- |
(Х1- |
Х2 |
f |
Х2- |
(Х2- |
(Х2- |
|
2 |
1 |
-3 |
9 |
9 |
2 |
30 |
-3 |
9 |
270 |
|
3 |
5 |
- 2 |
4 |
20 |
3 |
20 |
-2 |
4 |
80 |
|
4 |
30 |
-1 |
1 |
30 |
4 |
10 |
-1 |
1 |
10 |
|
5 |
60 |
0 |
0 |
0 |
5 |
50 |
0 |
0 |
0 |
|
6 |
30 |
1 |
1 |
30 |
6 |
10 |
1 |
1 |
10 |
|
7 |
5 |
2 |
4 |
20 |
7 |
20 |
2 |
4 |
80 |
|
8 |
1 |
3 |
9 |
9 |
8 |
30 |
3 |
9 |
270 |
|
∑35 |
132 |
- |
- |
118 |
∑35 |
170 |
- |
- |
720 |
)²
)²
f
)²
)²
f
1
= 35 : 7 = 5
2
= 35 : 7 = 5
σ²1= 118:132 = 0,89 σ²2 = 720 :170 = 4,2
σ1 = √ 0,89 = 0,94 σ2 = √ 4,2 = 2,05
Среднее квадратическое отклонение во втором примере более чем в 2 раза превышает среднее квадратическое отклонение первого примера и характеризует более высокую вариацию признака во втором ряду по сравнению с первым.
Различают относительные показатели вариации:
Коэффициент
осцилляции: VR=
(R :
)*100%
(3.4)
Линейный коэффициент
вариации: V
= (
:
)*100%
(3.5)
Коэффициент
вариации:
V=(σ:
)
* 100%
(3.6)
Коэффициент вариации – относительный показатель, является мерой вариации и критерием типичности средней. Если коэффициент вариации не превышает 33 – 35%, то это значит, имеет место типичность, надежность средней величины, однородность совокупности (для распределения, близких к нормальному).
В приведенных примерах в табл.3.5. в первом примере коэффициент вариации равен V1= 0,188 = (0,94:5) или 18,8%, а во втором – V2= 0,41 = (2,05:5) или 41% , т.е. совокупность в первом примере – однородна, а во втором нет.
Дисперсия
(рассеяние) – это средний квадрат
отклонений индивидуальных значений
признака от средней арифметической.
Дисперсия простая-σ²=∑(Х–
)²:n
и
взвешенная-σ²=∑(Х–
)²f:∑f
(3.7)
Пример. Данные для определения дисперсии в дискретном ряду представлены в табл.3.6.
Таблица 3.6.
Данные для определения дисперсии в дискретном ряду
|
Произведено продукции 1 раб. за смену шт. х |
Число рабочих f |
х f |
Х- |
(Х- |
(Х- |
|
8 |
7 |
56 |
-2 |
4 |
28 |
|
9 |
10 |
90 |
-1 |
1 |
10 |
|
10 |
15 |
150 |
0 |
0 |
0 |
|
11 |
12 |
132 |
1 |
1 |
12 |
|
12 |
6 |
72 |
2 |
4 |
24 |
|
Итого |
50 |
500 |
|
|
74 |
)²
)²
f
вз
= 10 шт.; σ² = 74:50 = 1,48; σ = 1,216 шт.
V = (1,216 : 10) * 100 = 12,16%. - совокупность однородна.
Пример. Данные для определения дисперсии в интервальном ряду представлены в табл.3.7.
Таблица 3.7.
Данные для определения дисперсии в интервальном ряду
|
Группа рабочих по размеру мес.з/платы, руб. |
Варианты х |
Число рабочих f |
Х- |
(Х- |
(Х- |
|
3300-3400 |
3350 |
10 |
-308 |
94864 |
948640 |
|
3400-3500 |
3450 |
50 |
-208 |
43264 |
2163200 |
|
3500-3600 |
3550 |
100 |
-108 |
11664 |
1166400 |
|
3600-3700 |
3650 |
115 |
-8 |
64 |
7360 |
|
3700-3800 |
3750 |
180 |
+92 |
8464 |
1523520 |
|
3800-3900 |
3850 |
45 |
+192 |
36864 |
1658880 |
|
Итого |
|
500 |
|
|
7468000 |
)²
)²
f
= (3350*10) +
(3450*50)+(3550*100) + (3650*115) + (3750*180) + (3850*45) = 1829000
: 500 = 3658 руб.
σ0² = 7468000 : 500 = 14936 ; σ0=√14936 = 122,21руб.
V = (122,21 : 3658) * 100 = 3,34% - совокупность однородна.