Курс лекций по мат. анализу I

Чтобы найти предел последовательности частных сумм, нужно преобразовать Sn так, чтобы можно было применять теорему об арифметических свойствах

пределов. Эти преобразования проделаем следующим образом

кажите) и ряд расходится.

При q =1 получим Sn = n и lim Sn = ∞, т.е. ряд расходится. ☻

n→∞

Так как в парадоксе об Ахиллесе и черепахе время t является суммой геометрической прогрессии, то теперь мы можем сказать, что Ахиллес догонит

черепаху через 54 T часов.

∞

Пример 3. ∑(−1)n .

n=1

☺Найдем несколько первых частных сумм этого ряда:

S0 =1

S1 =1 −1 = 0

S2 =1 −1 +1 =1

S3 =1 −1 +1−1 = 0

Очевидно, что последовательность частных сумм состоит из чередующихся единиц и нулей. Как мы уже доказывали, такая последовательность предела не имеет. Ряд расходится. ☻

70

§4), при этом частные суммы этого ряда стремятся к бесконечности, так как последовательность этих частных сумм возрастающая.

∞

Так как bn > an , n , то частные суммы ряда ∑bn тем более будут

n=1

стремиться к бесконечности, следовательно, второй ряд тоже расходиться.

ветственно и общие члены этих рядов удовлетворяют неравенствам: an > 0, bn > 0, an ≤ bn , то S(1) ≤ S(2).

►Доказательство очевидно следует из соответствующего неравенства для частных сумм этих рядов. ◄

Определение суммы ряда можно дать на языке “ε - n ”:

∞

Число S будет суммой числового ряда ∑an , если по любому ε > 0 мож-

n=1

но найти номер n0 такой, что для любого n ≥ n0 выполняется неравенство

S − Sn <ε .

расходится, то любой его остаток тоже расходится, но, если ряд сходится, то

сходится любой остаток, причем lim Rn = 0 .

n→∞

Если ряд сходится, то его сумму можно вычислить приближенно, вычислив частную сумму при достаточно большом n, причем остаток дает оценку точности вычисления. Применим это рассуждение к вычислению числа e

72

мощью этого равенства число e нетрудно вычислить с любой точностью, причем остаток дает оценку этой точности. С помощью этого равенства докажем иррациональность числа e.

Теорема 2.5.5. Число e иррационально.

►Предположим, что e - число рациональное, т.е. предположим, что число e можно представить в виде несократимой рациональной дроби mk , где m ≥ 2 .

k (m −1)! = m!+ m!+3 4 ... m +... +1+ θm . В этом равенстве слева стоит целое

число, а справа дробь, так как 0 < θm <1. Следовательно, наше предположение было неверным.◄

Замечание. Мы получили еще один пример последовательности рациональных чисел, не имеющей предела в пространстве рациональных чисел.

Перефразируем признак Коши сходимости числовой последовательности для рядов.

∞

Теорема 2.5.6. Для того чтобы числовой ряд ∑an сходился необходимо и дос-

n=1

таточно, чтобы для любого ε > 0 можно было найти номер n0 такой, что для

n+p

всех n ≥ n0 и для всех p выполнялось неравенство ∑ ak <ε .

k=n+1

73

►Для доказательства достаточно вспомнить критерий Коши для числовой последовательности: для сходимости последовательности частных сумм Sn

необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 можно было найти номер n0

Следствие (Необходимое условие сходимости ряда)

Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю.

Замечание. Требуется помнить, что обратное утверждение не будет верным. Можно встретить ряды, у которых общий член стремится к нулю и которые при этом расходятся.

Пример 6. Рассмотрим ряд ∑∞ 1 . Воспользуемся критерием Коши для некото-

n=1 n

рого числа n и p = n . Напишем очевидное неравенство

S2n − Sn−1 = 1n + n 1+1 +... + 21n > 21n n = 12 .

Отсюда следует, что какие бы большие n мы ни выбирали, мы не сможем сделать разность Sn+p − Sn меньшей ε для всех натуральных значений p . Ряд

расходится.

Этот ряд называется гармоническим рядом.

Итак, если общий член ряда стремится к нулю, то ряд может сходиться и может расходиться. Но, если общий член ряда к нулю не стремится, то ряд расходится. Например, пользуясь этим предложением, мы можем сказать, что ряд

∞

∑(−1)n расходится, не исследуя поведение его частных сумм.

n=1

5.2.Положительные ряды

∞

Рассмотрим ряд∑an и предположим, что an ≥ 0 при всех значениях n.

n=1

Очевидно, что частные суммы такого ряда образуют возрастающую последовательность. Следовательно, если эти суммы ограничены, то эта последовательность имеет конечный предел, и ряд сходится, в противном случае последова-

74

тельность частных сумм стремится к бесконечности, и ряд расходится. Воспользуемся этим фактом для доказательства некоторых достаточных признаков сходимости рядов с неотрицательными членами.

Теорема 2.5.7. (Первая теорема сравнения)

n=1

Теорема 2.5.8. (Вторая теорема сравнения)

75

Применим третий признак сравнения к исследованию на сходимость ряда

s ≤1.

Таким образом, для применения признаков сравнения к исследованию рядов на сходимость можно использовать геометрическую прогрессию и ряд

вида ∑∞ 1s , который называется обобщенным гармоническим рядом.

n=1 n

§6 Компактные множества

Определение 2.6.1. Пусть E - некоторое множество точек метрического пространства X и {Gα }- семейство открытых множеств из этого же про-

странства. Семейство {Gα } будем называть открытым покрытием множе-

ства E , если E Gα .

α

Определение 2.6.2. Множество E называется компактным, если из любого его открытого покрытия можно выделить конечное покрытие.

Приведем некоторые свойства компактных множеств.

Свойство 1. Каждое конечное множество компактно.

Это свойство очевидно.

Свойство 2. Компактное множество замкнуто.

не пересекается ни с одной из окрестностей V (xi ), i =1,2,..., n , следовательно,

не пересекается с множеством E . Значит Ed - открытое множество. ◄

Свойство 3. Замкнутое подмножество компактного множества компактно.

► Допустим, что E - компактно, а F E замкнуто. Пусть {Gα } открытое покрытие множества F . Если к этому покрытию присоединить открытое множество F d , то получим открытое покрытие множества E , из которого

77

можно выделить конечное покрытие. Очевидно, оно будет конечным покрытием и для множества F . ◄

Свойство 4. Компактное множество ограничено.

► Возьмем некоторое число r > 0 и рассмотрим систему окрестностей

Ur (x) радиуса r , построенных около каждой точки множества E . Очевидно,

что эта система образует открытое покрытие множества E . Выберем конечное покрытие U (x1 ), U (x2 ),...U (xn ) и возьмем какую-нибудь точку y E . Поло-

жим R = max (ρ(y, x1 ), ρ(y, x2 ),...ρ(y, xn )). Теперь возьмем произвольную точ-

ку x E . Обозначим через U (xk ) окрестность, в которую входит взятая точка

x. Тогда ρ(x, y)≤ ρ(x, xk )+ ρ(xk , y)≤ r + R , что означает, что x входит в шар радиуса r + R с центром в точке y и множество E ограничено.◄

Обратное утверждение не будет верным в любом метрическом пространстве. Но для пространства мы докажем следующую теорему

Теорема 2.6.1. (Гейне – Бореля – Лебега)

Множество E компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено.

► Если множество компактно, оно замкнуто и ограничено. (Свойства 2 и

4).

Пусть числовое множество E замкнуто и ограничено. Докажем, что оно компактно. Так как множество E ограничено, то существует отрезок [a,b] та-

кой, что E [a,b]. В силу свойства 3 достаточно доказать, что будет компактен

отрезок [a,b].

Возьмем какое-нибудь бесконечное открытое покрытие отрезка [a,b] и

предположим, что из него невозможно выделить конечное покрытие. Разделим

этот отрезок пополам. Тогда хотя бы одну половину будет покрывать беско-

нечное множество открытых множеств этого покрытия, из которого невозможно выделить конечное. Обозначим эту половину через [a1,b1]. Продолжая этот

процесс, построим систему отрезков [an ,bn ], ни один из которых нельзя по-

нибудь множество данного покрытия, содержащее точку с. Так как множество открыто, то точка с внутренняя, следовательно, начиная с некоторого номера, точки an и bn попадут в это множество. Тогда и отрезки [an ,bn ] тоже попадут в

78

это множество, т.е. каждый такой отрезок будет накрыт только одним множеством из данного покрытия, что противоречит выбору этих отрезков. ◄

Рассмотрим еще одну характеристику компактного множества, которая справедлива в любом пространстве, но чтобы не усложнять рассуждения докажем ее только для пространства .

Теорема 2.6.2. Множество E компактно тогда и только тогда, когда из любого его бесконечного подмножества можно выделить последовательность, имеющую конечный предел, принадлежащий E .

► Пусть E - компактно, тогда по теореме 2.6.1 оно ограничено и замкнуто. Тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса любое бесконечное подмножество множества E будет иметь предельную точку, принадлежащую E .

Обратно, если из каждого бесконечного подмножества множества E можно выделить последовательность, сходящуюся к конечной точке из E , то множество E не может быть неограниченным. В противном случае, найдется

последовательность точек из E , предел которой равен бесконечности, что противоречит условию.

Кроме того, множество E замкнуто. Пусть y - предельная точка множе-

множества E , следовательно, y E и множество E замкнуто. ◄

Две последние теоремы можно объединить в следующее утверждение:

В пространстве три утверждения эквивалентны:

1)E - компактно;

2)E - ограничено и замкнуто;

3)каждое бесконечное подмножество множества E имеет предельную точку, принадлежащую E .

79