Курс лекций по мат. анализу I

4.5.Равномерная непрерывность

Рассмотрим функцию f (x), где x G X , X – некоторое метрическое

пространство.

Определение 4.4.4. Будем говорить, что функция f (x) равномерно непрерывна на множестве G D( f ), если для любого числа ε > 0 можно найти

число δ > 0 так, что для любых значений аргументаx′ и x′′, принадлежащих множеству G , из неравенства ρ(x′, x′′)<δ будет следователь неравенство

ρ(f (x′), f (x′′))<ε .

Для вещественнозначной функции одной вещественной переменной равномерная непрерывность на множестве G будет означать, что по ε > 0 можно найти δ > 0 такое, что если x′− x′′ <δ , то f (x′)− f (x′′) <ε для любых x′ и x′′,

принадлежащих множеству G .

Отличие определения равномерной непрерывности от непрерывности на множестве состоит в том, что в определении равномерной непрерывности число δ зависит только от ε , тогда как в определении непрерывности функции в точке δ зависит от ε и от точки, для которой мы ищем окрестность.

Пример 11. Рассмотрим функцию f (x)= 1 +1x2 на множестве [0, +∞). Дока-

жем, что на этом множестве данная функция будет равномерно непрерывна.

Оценим модуль этой разности, используя неравенство между средним арифме-

дет непрерывной в каждой точке данного промежутка. Докажем, что эта непрерывность не будет равномерной на G.

дут принадлежать заданному промежутку. Тогда будет справедливо неравенство

110

f (x′)− f (x′′) >ε0 . Это означает, что равномерной непрерывности функции на данном промежутке нет. ☻

Теорема 4.4.7 (Кантора). Если функция непрерывна на компакте G D( f ),

то она равномерно непрерывна на нем.

► Возьмем ε > 0 и, пользуясь непрерывностью функции на множества G , для каждой точки x этого множества найдем окрестность Uδx (x) так, что

жат в одной и той же окрестности точки xk радиуса δk . А тогда, по доказанному выше, получим ρ(f (x′), f (x′′))<ε . ◄

По доказанной теореме, функция f (x)= x2 будет равномерно непрерывной на любом конечном промежутке [0, a], но, как мы видели, не будет равномерно непрерывной на бесконечном луче [0, +∞).

111

§5 Элементарные функции и их непрерывность

В этом параграфе мы изучим конкретные функции и получим ряд замечательных пределов, которые понадобятся нам на практике.

5.1.Определения

Определение 3.5.1. Простейшими функциями будем называть следующие функции:

Замечание. Не все простейшие функции были точно определены в школе. Поэтому мы дадим далее определения таких операций.

Определение 3.5.2. Элементарными функциями будем называть функции,

образованные из простейших функций с помощью конечного числа арифметических действий и конечного числа композиций функций.

Если мы докажем, что каждая простейшая функция непрерывна на своей области определения, то по свойствам непрерывных функций получим, что любая элементарная функция непрерывна на своей области определения.

5.2.Исследование простейших функций

как композиция непрерывных функций во всех точках, где она определена. Перечислим основные свойства степени с рациональным показателем (при x, y > 0 ):

0 < xα1 < xα2 .

Эти свойства легко доказываются на основании свойств степени с целым показателем и свойств арифметических корней.

Для иррациональных показателей определение степени введем позже.

113

Так как rn →0 при n →∞, то можно найти номер n0 , начиная с которого

ет, что lim arn =1.

n→∞

Очевидно, что при 0 < a <1, доказательство останется верным, изменятся лишь знаки неравенств, написанных на основании монотонности функции. ◄

Свойство 2. Если последовательность {rn} рациональных чисел сходится, то последовательность {arn } тоже сходится.

►Воспользуемся критерием сходимости Коши. Возьмем ε > 0 и докажем, что последовательность arn фундаментальна. Для этого рассмотрим

вещественным показателем.

Определение 3.5.3. Пусть x - произвольное вещественное число и {rn} - последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x . Тогда положим

ax = lim arn .

n→∞

Замечания

1. Последовательность рациональных чисел, сходящаяся к вещественному числу x , всегда существует, так как каждое вещественное число является предельной точкой множества рациональных чисел.

114

2.Так как последовательность {arn } сходится, какова бы ни была сходя-

щаяся к x последовательность {rn}, то lim arn не будет зависеть от последо-

n→∞

вательности {rn}(теорема 3.2.1) .

r2 < rn(2). По монотонности показательной функции с рациональным показате-

лем для этих значений n будет верным неравенство arn(1) < ar1 < ar2 < arn(2) .

115

► Предположим, для определенности, что a >1.

Докажем сначала, что функция ax непрерывна в нуле. Возьмем произвольную последовательность вещественных чисел {xn}, сходящуюся к нулю.

Тогда для каждого n можно найти рациональные числа rn(1) и rn(2) такие, что xn − 1n < rn(1) < xn < rn(2) < xn + 1n . Тогда обе последовательности {rn(1)} и {rn(2)}

стремятся к нулю, и, следовательно, по непрерывности в нуле показательной

lim axn =1. Непрерывность в нуле доказана.

n→∞

висит от ∆x ), то по теореме о пределе произведения двух функций получим

lim ∆f (x0 )= 0 , т.е. показательная функция непрерывна в произвольной точке

∆x→0

x0 . ◄

Свойство 5. Для любых вещественных x1 и x2 выполняется равенство

(ax1 )x2 = ax1 x2 .

►Проведем доказательство в два этапа. Сначала предположим, что x2 = r - рациональное число. Возьмем {rn} - последовательность рациональных

чисел, сходящуюся к x1 . Тогда (arn )r = arnr → ax1r при n → ∞. С другой сторо-

ны, sn = arn → ax1 и (sn )r →(ax1 )r по непрерывности степенной функции с ра-

циональным показателем. Следовательно, (ax1 )r = ax1r .

Теперь докажем это свойство для любых вещественных значений x1 и x2 . Пусть {ρn} - последовательность рациональных чисел, сходящаяся к x2 . Тогда,

116

по доказанному в первой части, получим (ax1 )ρn = ax1ρn . По определению степе-

► Допустим, что a >1 и x → +∞.

Пусть n =[x] - целая часть числа x . Тогда по доказанному в (пример 18 §1 главы 2) будет существовать номер, начиная с которого будет выполнено

неравенство ann <1, т. е. неравенство an > n . Следовательно, ax ≥ an → +∞ при

x → +∞.

Все остальные утверждения этого свойства следуют из доказанного. ◄

Следствие. Областью изменения показательной функции является множество

(0, +∞).

4) Логарифмическая функция

Функция f (x)= ax , a > 0, a ≠1 строго монотонна и непрерывна. Следо-

вательно, существует обратная к ней функция, которая называется логарифмической и обозначается loga x . Эта функция определена на промежутке (0, +∞),

непрерывна и строго возрастает, если a >1 и убывает, если 0 < a <1. Множество ее значений – вся числовая прямая.

Если a = e , то логарифм по такому основанию называют натуральным и обозначают ln x .

117

5) Степенная функция (вещественный показатель)

Пусть α - произвольное вещественное число. Положим xα = eα ln x . Такая функция определена на множестве (0, +∞), непрерывна, как композиция непре-

рывных функций и возрастает, если α > 0 , и убывает, если α < 0 .

6) Показательно-степенная функция

Функция (u (x))v(x) = ev(x)ln u(x) , определенная на множестве, где u (x) > 0 ,

называется показательно-степенной функцией. Если u (x) и v(x) непрерыв-

ны, то такая функция непрерывна на области своего определения, как композиция непрерывных функций.

7) Гиперболические функции и обратные к ним Функции

называют, соответственно, гиперболическими косинусом

и синусом. Эти функции определены на всей вещественной оси и непрерывны на ней, причем косинус – функция четная, а синус – функция нечетная.

Из определения этих функций следуют формулы: ch2 x −sh2 x =1,

ch 2x =1 + 2sh2 x = 2ch2 x −1,

sh 2x = 2sh x ch x.

По аналогии с тригонометрическим функциями определяют гиперболические тангенс и котангенс:

Функция th x определена на всей вещественной оси, а функция cth x определена для всех вещественных чисел x , кроме x = 0 . Каждая из этих функций непрерывна на своей области определения.

118

Элементарными методами довольно трудно исследовать монотонность этих функций, поэтому для доказательства существования обратных функций рассмотрим для каждой из этих функций разрешимость уравнения y = f (x) от-

Прежде чем искать функции обратные к th x и cth x , отметим, что область изменения th x - множество (−1,1), а

область изменения cth x - множество (−∞, −1) (1,+∞).

119