Курс лекций по мат. анализу I

arth x =

1 ln

1 + x ,

x

<1 и

2

1 − x

arcth x = 1 ln 1 + x

,

x

>1.

2

x −1

Свойство 1. sin x < x < tg x при 0 < x <

π

,

sin x

≤

x

≤

tg x

−

π

,

π

и

при x

sin x

≤

x

при любом x.

2

2

2

связаны

неравенством:

S OMO

< ScekmOMO < S ONO .

1

1

1

Так как эти площади равны, соответственно:

S OMO =

1 R2 sin x = 1 sin x ;

1

2

2

ScekmOMO

=

1 R2 x =

1 x

и

1

2

2

S

ONO

=

1 OO O N = 1 tg x , то из неравенст-

2

1 1

2

1

ва между площадями получим неравенство

sin x < x < tg x,

0 < x < π .

(*)

2

Используя нечетность функций sin x и

tg x ,

получим,

что

если

−π < x < 0 ,

то

выполнено

неравенство

2

−sin x < −x < −tg x

или

sin x

<

x

<

tg x

.

Тогда,

очевидно,

что, если

x

π

,

π

−

2

, то справедливо неравенство

2

sin x

≤

x

≤

tg x

(**)

и x

имеет место неравенство

sin x

≤

x

. ◄

Используя

неравенство

(**)

и

то,

что

cos

∆x

≤1, получим

x +

2

∆f (x)

≤ 2

∆x

=

∆x

. Отсюда следует, что, если ∆x → 0 , то ∆f (x)→ 0 .

2

Аналогично получается неравенство

cos(x + ∆x)−cos x

=

2sin

∆x

sin

∆x

≤

∆x

,

2

x +

2

из которого следует непрерывность функции cos x .

Функции tg x

и ctg x непрерывны в точках, где они существуют, как ча-

стные непрерывных функций.◄

Свойство 3 (Первый замечательный предел)

lim sin x =1.

x→0

x

►Считая, что

x ≠ 0 , разделим каждый член неравенства (**) на

sin x

и

получим 1

<

x

<

1

или 1

> sin x > cos x , x (−π

2

,π

2

), x ≠ 0 . Так как

sin x

cos x

x

ной

и

[

которая

обозначается

arcsin x, x

−1,1 .

]

[

Аналогично, функцией arccos x ,

x

]

−1,1 будем называть функцию, обрат-

►Докажем первое равенство. Докажем,

что

π

−arccos x = arcsin x . Оче-

π

π

2

π

π

видно,

= cos(arccos x)= x

и

−

≤

−arccos x ≤

. Отсюда

sin

−arccos x

2

2

2

2

словой последовательности {xn}

будет верно равенство lim (1 + xn )

1x

n

= e . То-

n→∞

гда требуемое утверждение следует из определения предела по Гейне. ◄

2).

lim

ln (1 + x)

=1.

x→0

x

122

► Функция

ln (1 + x)

не определена в точке x = 0 , но мы можем исполь-

x

f (t ) непрерывна:

зовать

свойство

сложной

функции

при

условии, что

lim f

(g (x))

= f

lim g (x) .

x→x0

x→x0

Используя

непрерывность

логарифмической

функции,

получим

ln (1 + x)

1

1

lim

= lim ln (1 + x)

x

= ln

lim (1+ x)

x = ln e

=1. ◄

x

x→0

x→0

x→0

Следствие. lim

loga (1 + x)

=

1

.

x→0

x

ln a

► lim

loga (1 + x)

= lim

ln (1 + x)

=

1

lim

ln (1 + x)

=

1

. ◄

ln a

ln a

x→0

x

x→0

xln a

x→0

x

3).

lim

ex −1

=1.

x

x→0

► Пусть ex −1 = y . Тогда x = ln (1 + y). Заметим также, что утверждение

x → 0

равносильно утверждению

y → 0 . Поэтому

lim

ex −1

= lim

y

=1.

x

x→0

y→0 ln (1 + y)

◄

Следствие. lim

ax −1

= ln a,

a > 0, a ≠1.

x

x→0

► lim

ax −

1

= lim

ex ln a −1

= ln a lim

ey −1

= ln a .

Здесь

положено

x

xln a

ln a

y

x→0

x→0

y→0

y = xln a → 0 . ◄

x→0

4).

lim

(1 + x)s −1

= s .

x

►

x→0

s

s ln(1+x)

s ln(1+x)

lim (1 + x)

e

−1

s ln (1 + x)

e

−1

ln (1 + x)

−1 = lim

= s lim

lim

= s .

x→0

x

x→0

s ln

(1 + x)

x

x→0 s ln (1

+ x) x→0

x

колотой окрестности

o

) точки

x . Будем говорить, что функция

U (x

0

0

f (x) = O(g (x)) (читается: функция f

(x) есть О большое от функции g (x))

o

же окрестности точки x0

такая, что x U (x0 )

выполняется равенство

f (x) = h(x) g (x) и

h(x)

≤ C .

Пример 1.

x + 2x =

O(

x )

при x → 0 .

☺

x + 2x =

x (1 + 2

x ) и в окрестности нуля функция h(x) =1 + 2 x

ограничена. ☻

Пример 2.

x + 2x = O(x)

при x → ∞.

1

. При x → ∞ сумма

1

☺ x + 2x = x

2 +

2 +

будет ограниченной.☻

x

x

Пример 3.

xsin 1 = O(x)

при x → 0 .

x

☺ h(x)= sin 1

ограничена. ☻

x

f (x)= O(1) при x → x0

f (x)

Замечание. Равенство

означает, что функция

ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x0 .

Если

f (x)= O(g (x))

и g (x)= O(f (x))

при

x → x0 , то говорят, что

функции f (x) и g (x) одного порядка.

f (x)

Теорема 3.6.1. Если существует конечный, не равный нулю предел lim

,

x→x0

g (x)

o

f (x)= h(x) g (x) и lim h(x) = 0 .

что x U (x0 )

выполняется равенство

x→x

Если данное определение выполнено, то пишут: f (x) = o0(g (x)), x → x0

(читается:

f (x)

есть о малое от g (x) при x , стремящемся к x0 ).

Если g (x)

бесконечно малая, то f (x) тоже бесконечно малая и говорят,

что f (x) бесконечно малая более высокого порядка, чем g (x).

Пример 4.

x2 + 2x = o(x3 ), x →∞.

Пример 5.

x2 = o(x),

x → 0 .

Пример 6.

sin

2 x sin 1

= o(x),

x → 0 .

x

Замечание. Символы O(g (x))

и o(g (x))

при x → x0 означают не конкретную

функцию, а класс функций и равенство

f (x)= o(g (x)) означает только, что

функция f (x)

принадлежит этому классу. Например, запись x2 = o(x) озна-

чает, что x2

при x → 0 является бесконечно малой функцией более высокого

порядка, по сравнению с функцией x .

Поэтому равенство f (x)= o(g (x))

нельзя понимать как обычное равен-